第11期 23.2 解直角三角形及其应用-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

中考数学沪科(AH)第10~13期 数理撼 答案详解 2025.2026学年 中考数学沪科(AH) 第10~13期 第10期2版 (3)由计算器，可得∠A≈7819'56”，∠B≈4123'58"” 23.1.1锐角三角函数（第一课时） 第10期3版 蒸瑞训练1.：2C:3c:46:5号 题号12345678 6.AD=/13. 答案ABDAACBB 23.1.1锐角三角函数（第二课时） 基强训练1：2.C:3.D:4景：54 二90；10气；114：1222 能力提高6.(1)因为梯形ABCD中，AD∥BC,∠BCD= 14②7 7 90°，所以∠ADC=90°. 三、15.(1)原式=3+2； 在Rt△ADC中，因为AC=20,sim∠DAC=3@ 10 2②）原式-片 所以CD=6. 在Rt△BCD中，BC=8,CD=6, 16因为AD1BC,∠B=45,所以mB=品=1 所以BD=10. 因为AD=6,所以BD=6. (2)由(1)可得CD=6,BD=10, 因为amC=子-品所以D=10,所以C=16 又因为AC=20,所以AD=2,c0s∠DBC= 4 17.(1)因为∠B=∠BAE,所以BE=AE=5. 过A作AE⊥BD,垂足为E,所以∠AEB=∠AED=90°. 因为AD⊥BC,tan∠ACB=1,所以AD=CD=3. 因为AD∥BC,所以∠ADE=∠DBC, 又因为AD⊥BC,AE=5, 所以cos∠ADE=cos∠DBC=手 所以ED=√AE-AD=4, 所以BD=ED+BE=9. 在R△AED中，AD=2,cos∠A0E=子 (2)因为AD⊥BC,BD=9,AD=3, 所以DB=号所以A5=号 所以AB=AD2+BD=3I0, 所以sim∠B=3 s00 在R△MB中AE=号BE=BD-DE 42 3√10 10 5 18.(1)SABc=90. 所议m∠ABD=能=宁 (2)∠B的余弦值为 23.1.230°，45°，60°角的三角函数值 19.(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 基础训练1.C；2.B；3.75;4.45°； 在Rt△ADC中，AC=4,因为∠ACB=150°， 5.等腰直角. 所以∠ACD=30°， 6.(1)原式= 3 4； 所以A0=4C=2.CD=ACs30=4×号=26 (2)原式=2 能力提高7因为写<0s1<cs6.5 在△D中，mB=品=品=令 2 =c0s30°， 所以BD=16,所以BC=BD-CD=16-25. 当0<a<90°，a越大，cosa越小， (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC=4,连接AM, 所以∠B<∠A<30°. 因为∠ACB=150°， 23.1.3一般锐角的三角函数值 所以∠AMC=∠MAC=15 基础训练1.A;2.C;3.B;4.7;5.10.34. 因为CD=25,所以MD=4+23, 6.(1)由计算器，可得∠A≈3851'57”，∠B≈388”； (2)由计算器，可得∠A≈5118'11”，∠B≈8027'2”； 所m5:m2A0-品=252+万 =2 中考数学沪科(AH) 第10~13期 -5≈0.3. 20.(1)由题意，得sin120°=sin(180°-120°)=sin60° =91055:1124,2(4压-25， 13.(20√2+206)；14.245 ∈：0s120°=-c0s180°-1200)三-c0s600=2 三、15.AD的长为3，AC的长为√0. sim150°=sin(180°-150)=sin30°=2 16.C,D间的距离为202 n mile. 17.此时风筝C处距离地面的高度为13.9m (2)因为三角形的三个内角的比是1：1：4， 1 所以三个内角分别为30°，30°，120°， 18.(1)B=45°，ana=4 ①当∠A=30°，∠B=120°时，易求得方程的两根分别为 1 1 (2)CP的长为5m,sin LAPC=3网 34 2，-2 将=士代人方程，得4×（宁户-m×分-1=0，解得 19()新传滋带4C的长度为米 (2)需要挪走，理由如下： m=0. 由()知，AH=号米，在Rt△ABh中，am31 AH 经检验x=- 分是方程4-1=0的根，所以m=0符 BH' 合题意； 所以BH= ②当乙4=120，∠B=0°时，则方程两根为汽，9，不 在Rt△ACH中，tan22°=A坦 ΓCH 符合题意； 所以ch=品一号米 当∠A=30,LB=30°时，则方程的两根为号， 期CP=PB+BH-CH=3+号-号=名（米）<1米， 将x=子代人方程，得4×（宁2-m×弓-1=0，解得 1 所以距离B点3米的货物MNQP需要挪走. m=0, 20.作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥ 0C于J 经检验 不是方程4x2-1=0的根，所以不符合题意. (1)因为AM⊥CD, 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120° 所以∠QMP=∠MP0=∠OQM=90°， 第10期4版 所以四边形OQMP为矩形， 所以QM=OP. 重点集训营 因为0C=0D=10分米，∠C0D=60°， 1.D;2.C;3.等腰直角三角形. 所以△OCD为等边三角形. 第11期2版 因为OP⊥CD, 23.2解直角三角形及其应用（第一课时） 1 基础训练1B;2.D:3.(号，6)： 所以∠C0P=2∠C0D=30°， 所以OP=0C·cos30°=5√5分米. 4.25+22. 因为∠A0C=∠Q0P=90°，即∠A0Q+∠C0Q=∠C0Q 能力提高5.(1)BC=22+1. +∠COP, (2)am∠DAE=万-分 所以∠A0Q=∠C0P=30°， 23.2解直角三角形及其应用（第二课时） 所以40=70A=5分米。 基础训练1.B;2.C;3.(60-11√5). 所以AM=(5+55)分米. 能力提高4.(1)16. 答：点A离地的距离AM为(5+55)分米 (2)能实施有效救援，理由略。 (2)因为OB∥CD, 23.2解直角三角形及其应用（第三课时） 所以∠BOD=∠ODC=60°. 基础训练1.B;2.8;3.105. 在Rt△OFK中，K0=OF·cos60°=2分米，FK=OF·sim60° 4.A,B两点之间的距离约为1562米 =25分米， 能力提高5.(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为 在Rt△FKE中，EK=√EF-FK=26分米， 360米. (2)河CD的宽度约为195米. 所以BE=OB-OK-EK=(8-26)分米. 第11期3版 在Rt△0FJ中，0J=OF·cos60°=2分米，FJ=OF· sin60°=25分米， 题号12345678 在Rt△FJE'中，E'J=√E'F-F了=26分米， 答案DCACCBAB 所以B'E'=0B'-(E'J-0J)=(12-26)分米. 2 中考数学沪科(AH) 第10~13期 答：B'E的长为(12-26)分米. 所以由勾股定理得BC=4, 第11期4版 所以BE=BC-CE=3. 重点集训营 七、22.(1)可伸缩支撑杆CD的长度为10√10cm. 1.(11+25). (2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于 2.(1)BC的长度为39米. 点G (2)轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米 由题意可知，四边形ABFG为矩形， 第12期综合评估卷 所以∠AGD=90°，FG=AB=10cm. 题号12345678910 DG 3 因为在Rt△AGD中，tana=AG=4, 答案BBDBDCAACB 二、11.5；12.(2-2c0sa)；13.3.08:14.665 所以DG=子AG所以4D=VAG+DG=子4G 13 因为AD=50cm,所以AG=40cm,DG=30cm. 三、15.原式=25. 所以DF=40cm,BF=AG=40cm.所以CF=20cm. 16.CD(即方)的长为128. 所以在Rt△CFD中，CD=√CF2+DF产=205cm. 四、17.(1)BD=12 答：可伸缩支撑杆CD的长度为205cm (2)tan C=2 3 18.(1)B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 八.23aF∥CE号 (2)能安全通过，理由如下： (2)EF=BC·sina.理由如下： 过点C作CN⊥BE于点N, 因为PD⊥AB,点D关于BC的对称点为点F, 在Rt△BCN中，因为∠CBN=45°+25°=70°，BC= 所以∠D=∠F=90°，∠ABC=∠FBC=ax 162海里， 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=a, 所以CN=BC·sin∠CBW≈22.6×0.94≈2L.2(海里)， 所以∠FBC=∠C=a,所以BF∥AC, 因为21.2>20，所以能安全通过. 所以∠F=∠CEP=90°. 五、19.(1)过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△BFP中，PF=PB·sin. 因为AB=AC,BC=4, 在Rt△CEP中，PE=PC·sina 所以EF=BC·sina. 所以B1=宁6C=2 (3)因为∠BAD=60°，对角线AC平分∠BAD, 因为在△ABH中，∠BHA=90°，AB=6, 所以∠DAC=∠BAC=30°. 所以∠BI-器=号 因为AB=BC,所以∠BAC=∠BCA=30°， 所以AD∥BC. 因为DE是AB的垂直平分线， 因为∠AEF=∠BFE=90°， 所以∠BED=90°，BE=3, 又因为∠ACD=90°，CD=5, 所以∠BED=∠BHA=90°， 所以AC=5CD=3,AD=2CD=25. 又因为∠B=∠B,所以∠BAH=∠D, 1 1 所以sin∠D=sin∠BAH=3,即∠D的正弦值为 因为DF=牙，所以分两种情况讨论 (2②)点C到直线DE的距离为号 ①点P在线段AC上，由(2)可得，EF=AC·sin∠DAC= 20.(1)CD的长约为54m. 2 (2)由(1)得CD=54m,在Rt△ACD中，∠CDA=6°，所 以AC=CD·tan∠CDA≈54×0.1=5.4(m),所以AB=AC 因为∠DEF=90°，DF=2 2 +BC=5.4+54≈59(m). 所以DE=5, 答：桥塔AB的高度约为59m. 所以AE=√5， 六21.(1)simB=写 所以AP=2. 5 ②点P在线段AC外，过点C作CG⊥AD于点G,由①易得， (2)因为D=5,mB=5所以4B=20D=25,所 AE∥BF, 所以∠EAC=∠FCP=30°，∠E=∠CFP=90°， 以AC=2. 所以四边形CGEF是矩形，所以CG=EF, 因为∠CAH=∠B,所以sin∠CAH=sinB=E 5 因为CD=5,AC=3,AD=25,DF=2I 2” 设CE=x(x>0),则AE=√5x,由勾股定理，得x2+22= (5x)2,所以CE=x=1. 所以cG=子，DE=万， 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 所以AE=AD+DE=35, 3 中考数学沪科(AH) 第10~13期 所以AP=一 AE os∠PAE=6. 所以直线AD的表达式为y= 3x+12 综上所述，AP的长为2或6. 8 第13期1,2版期未综合评估卷（一） 把y=0代人y=二x+12,解得x=之， 题号12345678910 所以点F的坐标为（号0， 答案DDBCBC C ACC =.16000:2y=120,1a8:149或g 所以cf=9-号=号 所以SAACD=SAcr-S△cHw=9 三，15原式=子 六21.(1)C,的最高点坐标为(3,2)，a=- 9c=1. 16.(1)直线y=ax+b的表达式为y=-3x-3. (2)符合条件的n的整数值为4和5. (2)-2≤x<0或x≥1. 七、22.(1)AB=26. 四、17.(1)证明：因为AC⊥AD,ED⊥AD, 所以∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90° (2)BC=2FG. 因为CB⊥BE,所以∠ABC+∠EBD=90°， 证明：连接BF,因为EF∥BC, 所以∠C=∠EBD, 所以∠AFE=∠C 所以△ABC∽△DEB. 因为∠C=∠ABD: (2)BD=3. 所以∠AFE=∠ABD. 18.(1)抛物线的表达式为y=-x2+4x-3. 又因为∠EAF=∠DAB, (2)P(-1,-8)或P(5,-8) 所以△AFE△ABD. 五、19.作AG⊥CD,FK⊥CD,垂足分别为G,K,延长AB交 所以长。AE 以B=A DE于H,则∠AHE=90°. 因为斜坡的坡度为5：12，BE=6.5米， 所以E=4B AE=AD 所以BH=2.5米，HE=6米. 所以△ABF∽△ADE, 设CD=x米，则CK=(x-1.4)米，CG=(x-25-1.4)米 所以∠AED=∠AFB=90°， 在Rt△AGC中，tan37°=CS, AG 所以∠BFD=∠BED=90°， 所以6=0米 所以∠FBC=∠C=45°， 所以FB=FC. 在Rt△CFK中，∠CFK=45°， 因为FG⊥BC, 所以FK=CK=(x-1.4)米. 所以BC=2FG. 又因为AG=FK+HE, 八23.(1)B(5,5),C(2,-4) 所以心-39 =x-1.4+6, (2)设直线BC的表达式为y=x+b,将B(5,5),C(2, 0.75. 解得x=29.4. 4代人可得k+h=5,解得=3， 2k+b=-4, 1b=-10, 答：建筑物CD的高度约为29.4米. 所以直线BC的表达式为y=3x-10, 20(1)k=-号m=12,点C的坐标为(9.0)， 当点D在直线OB的下方时，过点B作BF⊥x轴，交x轴 于点F,延长OD,交BF于点P, (2)延长DA交x轴于点F, 因为B(5,5),所以OF=BF 将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后表达式为y= +9, 所以∠B0F=∠OBF=45°， 因为∠DOB=∠OBC,所以∠POF=∠HBF, 因为∠OFP=∠BFH=90°， 3x+9, 联立 解得 x1= 2,%=12, 所以△OFP≌△BFH,所以HF=PF 12 Y= y=8,y=1, 对于y=3-10,当y=0时-9所以H(90, 所以点D号8) 则PR==0P-0M=音 设直线AD的表达式为y=kx+b1,把D(子，8)，A(3,4) 所以P(5,号) 代人入，得 +=8, 易求得直线0P的表达式为y=3x, 3k1+b1=4, 8 解得=-氵 联立=了，解得二0（合去）或 x=3 Ly =x2-4x, Ly=0 13 b1=12, y= 9 4 中考数学沪科(AH) 第10~13期 即nc号号： 所以AF=BF,即点F在边AB的垂直平分线上 (2)由上题可知∠FAB=∠CBD, 当点D在直线OB的上方时， 又因为∠BEA=∠FEB, 因为∠DOB=∠OBC,所以OD∥BC, 所以△BEA∽△FEB, 因为直线BC的表达式为y=3x-10, 所以直线OD的表达式为y=3x 所以能-能 联28合未)或 1y=x2-4x, 1y=21, 因为品-铝 即D(7,21) 所以AS=BE 8品=A 综上，当点D的坐标为（号，号）或(7,2)时，∠08 因为∠ADB=∠ABD, ∠OBC 所以AB=AD, (3)由(1)易得抛物线的对称轴为直线x=2, 所号-器即AD:AE=BE80 因为点B(5,5)与点E关于抛物线对称轴对称， 五、19.(1)大、小臂连接处B到移动基座OA的水平距离 所以E(-1,5). 为3米. 过点E,F分别作y轴的平行线，交直线OB于点M,V, (2)点C到工作台的高度CD的长为6.1米 所以M(-1,-1),所以EM=6. 设F(m,m2-4m),则N(m,m), 20.(1)k=2 ,m=-2,6=12 1 所以FN=m-(m2-4m)=-m2+5m (2)由()易得4兮2)，B1,号)，c5), 因为S=2F(,-),S=号EM(x-) 因为CD垂直平分AB, 所以g=贫=m。5=-石(m-5m)=石(n 所以点D是AB的中点， 6 所以D号与， 2 24 设直线CD的表达式为y=cx+n, 所以当m=子时受有最大值，为贸 把c(分》.字g)代人y=+n中， 第13期3,4版期末综合评估卷（二） 1 题号12345678910 【c-2' 解得 答案CBCDDC C BAA 9 n=10 二11.h=20；12.86:13.y=(x-2 所以直线CD的表达式为y=分+0 .9 143而或9 5 5 因为BE∥轴交CD于点E,所以点E纵坐标为子， 三、15.原式=1. 16.(1)二次函数的表达式为y=-(x-2)3+3. 令=号即号=+品 (2)-1≤y≤3. 解得x=-1,所以E(-1,子)， (3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移 4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点(0，-4)， 所以EF=与-(-1)=号 且与x轴只有一个公共点。 因为BE∥x轴，l⊥x轴， 四、17.(1)k=32. 所以EF⊥AC, (2)点M的坐标为(6,5)或(2,16) 所以Sm=24CBF=子x1×号= 3 18.证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC, 六.21.(Dy关于：的函数表达式为y=g+号+2 2 所以∠ADB=∠CBD 因为BD平分∠ABC, (2)该女生在此次测试中是得满分，理由略. 所以∠ABD=∠CBD,所以∠ADB=∠ABD. 七、22.(1)证明略 因为AB=BF·BD, (2)连接CE, 所拟品=铝 因为AB=4,AC=3,∠BAC=90°， 所以BC=5. 又因为∠ABD=∠FBA, 因为∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE, 所以△ABF∽△DBA, 所以△ABC∽△ADE, 所以∠FAB=∠ADB, 所以∠FAB=∠ABD, 所以A想=4D。4 AC =AE=3 -5 中考数学沪科(AH)第10~13期 因为∠BAC=∠DAE=90°， 八、23.(1)①P(-1,4).A(-3,0) 所以∠BAD=∠CAE, ②过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F 所以△BAD△CAE, 因为点A(-3,0),点C(0,3), 所拟上B=∠4C把-80-号 所以OA=OC,所以∠OAC=45°，EF=AE. 所以设BD=4x,CE=3x, 设点M(m,-m2-2m+3)(-3<m<-1),点E(m,0), 所以CD=5-4x. 则EF=AE=m-(-3)=m+3,即点F(m,m+3), 因为∠B+∠ACB=90°， 所以FM=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m. 所以∠ACE+∠ACB=90°， 在Rt△FMN中，易得∠MFN=45°， 所以∠DCE=90°. 所以FM=√2MN 因为am∠f0C=瓷=宁 因为MW=E, 所以子所以x=合 所以FM=2,即-m2-3m=2. 解得m1=-2,m2=-1(舍去)， 所以Ec=多，cD=3, 所以点M的坐标为(-2,3) (2)因为点A(-c,0)在抛物线上，其中c>1, 所以DE=35 所以-c2-bc+c=0,所以b=1-c, 2 所以抛物线的表达式为y=-2+(1-c)x+c,则点 (3)过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于 点M,连接BM, Mm,-m+1-e)m+e),其中-6<m<12号 所以∠BAM=∠ADM=∠BDC=90°. 因为∠BAD=∠DBC, 因为+1-c+e-(x-l2)2+1 4 所以∠DAM=∠BCD. 又因为∠ADM=∠BDC=90°， 所以顶点之，1生)对称轴为直线x=片学 4 所以△BDC∽△MDA, 过点M作MQ上对称轴于点Q,则∠MQP=90°，点 所以器器 +(1-c)m+e). 又因为∠BDC=∠ADM, 由MP∥AC,得∠PMQ=45°，所以MQ=QP, 所以∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM, 即∠BDM=∠CDA, 所以22-m=1去o少-[-m2+(1-cm+e,即(c 4 所以△BDM△CDA, +2m)2=1,解得c1=-2m-1,c2=-2m+1(舍去). 所兴肥 同(1)，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F, 因为am∠MD=品=宁AC=25. 则点E(m,0),点F(m,-m-1),点M(m,m2-1). 因为AN+3MN=AF+FW+3MW=2EF+2√2FM= 所以BD=2CD, 92, 所以BM=2AC=45,DM=2AD, 所以2(-m-1)+2√2(m2-1+m+1)=92,即2m2 因为AB=4, 所以AM=4√2 +m-10=0, 因为AD+DM2=AM, 5 解得m,=-子，m=2(含去)》 所以0-4 所以点的坐标为(-名。 —6—4 素养·拓展 数理热 数理招 年9月1日星期四 初中数学 51-S27126 (上接第3版) 见纸发行质量反喷电话 期总第1155期 沪科 19.(12分)如图17是某货站传送货物前 重点集训营 铺助线 0B5-52248 中考{AH) 平面示意图.为了提高传送过程的安全性，工人 师傅欲减少传递带与论面的夹角，使其由31 周周练 (上接4版参考答案】 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707八F 改为22“，已知漂传送带AB长为5米（参考 19.(1)过点A 据：n2-是un22-子in31-是 坡庄仰角联手解题 .图1，在△ABC中，∠ABC 90°.D为 名师点 例1如图1，在居 01BC,交的红 L,知图1，某中学依山 民楼前方有一斜被，斜 31w). C的中点，点E在AB上，AD.CE交于点FAF 坡 拔干点，在t△A 币建.秘门A处有一皮度 解直角三角形面面观 坡长CD为20m.斜坡 EF=4.FC=9,则s LACB的值为 中，AC=4因为∠C (1)求新传送带AG的长度： 5:12的斜城B,长度为 河北尚超 的坡度：=三，在C,D (2)如果需要在货物着地点C的正前方留 3米，在坡顶B处看教学楼 150，所以∠AD 如图I,在直角三角彩ABG 解析：因为∠A+∠B=90,所以∠B CF的楼顶C的仰角∠CB 处测得楼院端A的印角 出1米的通道，试判断距离B点3米的货物 0,所以A0=子AC 中.∠C=0°，a,b,c,∠1，∠B 仰： 分计知为0°T30°，求写 MNQP是否需要挪走并说明理由. =45°，离B点4米远的F处 0 这五个元素间有如下关系： 民楼的高度AB(保根 个花台，在E处C的仰角是∠CEF (1)锐角之间的关系：∠A 0°，CF的延长线交校门处的水平面于点D,则 ,所以AC= ∠B= 联 表可C的高货CD为 术（陆果保留根 2如图2，△ABC中，CD为边AB上的中线， (2)三边之间的关系：2+62= =，所以AB= △A0中，anR= (句暖定理) 2鹏馨和好阴友一起旅游，如图2，他们相 点E在AC上，连接BE交CD于点F,∠BEG= 归纳总结： (3)边角之的关系： 在解直角三角形中，说角三角函数是沟通 由的宾馆B坐落在城度为i=1:24的斜坡 120,BF=AE+EF,若AB=4万AE=8.则 品品·女所 三角形边角关系的桥，只要题目中已知加肃 BD上宾馆AB高为12四米鹏鹏在宾馆顶楼的 CD的长为 BD=I6,所联C=BD 如的三个元素中有击，有角，光o以德用节角 施景房A处句外看风景，发现宾它前有一座膝像 解：D非图1，寸点D C《摩绿的高度总略不计)，已知准像C巨离海兴 D=16-25 数那么，如何从三角函数的公式中迅速而 题 准确地优选出所需要的公式呢？ 作DE⊥BC,交BC的延 线D的矩离CD为260米，与宾馆AR的水平距离 (2)在C边上取 以上三点正是解直角三角形的依起 (1)若求边：一眼用来知边比已知边，去寻 长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F因为制 为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船￡的 坦43甲￥姆H的整生三部 点.使用醒=C 我们已经掌揖：△4C的边角关系，三边 找已知角的某个三角函数： 俯角为27 0R￥张喜冯中狂时三出时址“L1 关系两角关系，利用这些关系，在知道其中的 (2)若求角：一般用已知边比已知边( 坡的度i子.所以ana子在△DCE =4,连接AM,因为 ()求C的长度： 丙个元素（重少有一个 用常谢三夏裁y学壬D丁Y3制学 一)后，就以求 ACB=1S0,所以 弦，余弦时外迎作为分母》，去寻找未知角的某 (2)求轮船E距高游岸线D的距离ED的民 出其他元素.所以把由已知元素，求出所有未知 买学⊥38T下WV学K冥·= 个三角函数 20.(12分)图18是一种析叠式琼衣 (站果保侧整数，参考数据an27= 0.51 元素的过程叫做解直角三角彩 在优送公式时，尽量利用已知数据.症免 xm,所以GD=5=20m,解得g=4,所以 衣时左右琼衣臂张开后的示意图，两支脚O心 im270.453 31学3斜發【些群】9乞 15.为=25,所 如图2，在R1△4B0 共耳告”中“零积阻筹” DE=I2m.CE■16m,所以BF■DF=2m ■0D■10分米，展开角∠C0D■60°，晾衣背 0A=0B=10分米，草农臂支果HG=E 回￥挂馆238用溜 +中.∠C=90◆，∠A=30◆，B0 (3)有共深形然不是直角三角形，但可 以D,4+2.所 DF■BE.设AF年ym,在B△DF中， =4,求这个不直用一用☑的其也 加适当的辅步线把它门分割成一些直角三角形 6分米，且0=0=4分米. 配来裙体8=V6=门=W8组四 边和角 而把它门转化为直角 准出三#零时作a要0=八G 角形的来解决 (1)当∠AOC=90°时.求点A离地的距离 4为多少分米 (2)当0B从水平状态抱转到0B(在C0 数理报杜试暖研究中心 话身【坐器】【学】 42月 恩维天地 5ym在Rt△ABC中，AB=(y+12)m,BC= 延长线上)时，点E绕点F随之旋转至OB'上的 (参考答案见13期) 2*2--03 角函数中的数学思想 三 店，-16am国言6.解得y 点E”处.求BE 第10期2版参考答案 6)山计算器，可得∠A385157,∠8 6+85,所以B=(8+18)m 231.1经角三角孟数第一课时 38: 2m.(1)由，得 答：居民楼的高度AB为(85+18)m (2)由计算贵，可得∠A=51811°，∠B 120in(180 苏训练1.D:2C:3C:46:5 、转化男期 解析：如图2，当DB∥0 例2在一处坡度为 80272: 例1 如图【，在 时.过点C作CH⊥BD.交B'D =5:12的坡地上新安装了 6.0/ 〔3)由计算器，可得4789'36，∠B △ABC中，∠ACB=90 个路灯EB,某校实我活 23.1.1锐角三希五数[氧二课时 42' 58120.=c(190 CD⊥AB于点D.dn∠BCD ∠ACB.因为在RI△AC中 组对该坡地上的这个路 ∠ABC=0,AB=8.BC6. 基甜调等1.2：3：4品54 第10期3版参考答案 20- ，AB=15,则BC的长为 庄厅了量，如图2为 所以AC=10.因为BD是AC边上的中线，所 力提高.()D的长为0 题号12345678 ain 150* 有量示，已AB长 BD=CD=AC=5.由旋钟的性质可得B"D 13米，地面点G处测得路灯E点的角 （2mLA8D=宁 蓉米AB D AA CB B (180°-150 A.8 9 C.10 D.12 。BD=5.因为在ABC中LCB- 为45用无人知在占C的下十有20米的与D 21.1.20,45°，60°角的三角面数值 解析：在△ABC中，∠ACB=90°，CD上 m30· 处测得E点的俯角为4°，求该路灯EB的高度 B.行以∠ACD+∠BD=90P.∠ACD.+∠A 基训练1.C2B:375:4.45 (果精确到1来，参考数据：加14 0.24 5.等极直角 核子4四 (2)m0,∠A =9O°，所以∠BGD=∠A,所以sin∠BCD= 14=0.97,14°0.25) n∠A=子在△ABc中，B=15,所以 sin LACB =0 L HDC eos LACB 解：如图2，延长EB交AC于点M,延长BE 6(原武：手 三，15.(1)原式▣34反 以D明■CD·r∠GCDH■3.CH■CD 交DF于点N,由题意得，四边形CMND是矩形， (2)原式=子 (2)武- 第10期4版 sim∠CDH=4,所以B"H=BD+DH=8,所以 所C以CW=DN,CD=MN=2D米在R△ABM 参考答案 6.BC长为16 中，i=5:12.QBM=5x米，uAM=12x米 重点集调营 二，分贵讨论思想 BC=√B+CH=4: 7.1)D长为9 例2在△ABC中，∠ABG90,AB= 如图3.当DB∥AB时，设DB 所以132=(5x)24(12x)2,解得±=1（鱼值会 1.D:2.C (2血∠B. ⊥BC于点H.因为在R△CDH中 去)，所以BM■5￥■5米.设C=DN■米 8,C=6,BD是AC边上的中线，把D绕点D DH=CDin∠DCH4.CH 当D<<,a越大*越小 3等直三角 在△ECM中，∠ECM=45,所以EM 莲转，旋转角为(0°<a云90)，对应点为点 8.《)2-90. CD·e∠DCH=3.前以BH= GWt45°=米.在：△EDN中，∠EDV= B,如果DB与直角边平行，则点B到点C的距D-DH=1,所以BC 14“,所以EV=DN·1m4一Q25a米，所以 款型相计试题研密中 2以1.3一酸锐角的三角函数值 (2)∠B的余为号 (全文完】 离为 ）B㎡+C㎡=而. 〔参考答案见13期】 基留训练1，A:2.C:3.B:47:504 (下转1,4版中缝) N=1.25米，所以1.25a=2D,解得a=16,所 A2,5 B.10 综上所述，点B到点C的距房为/而或以V=16米，所以EB=11米 C.28成I0 D.而或45 4S.故选D. 答：该路灯EB的高度为11米 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 3 A.25m B.25m 知关闭折伞后，点A.E,H三点重合，点B与点M置 跟踪训练 C.45m D.8m 2.如图2，某校教学棱后而紧邻着一个山坡】 同步达标 检测题（九） 合，当∠BAC■60时.点H到伞柄AB的距离为 发上面是一决平地已知BC∥AD.解坡AB长 23.2解直角三角形及其应用（第一课时】 26m,料坡AB的坡度为12：5，为了减领坡面，明 【检测范国：232】 止滑坡，学恢决宣计富象被进行收苦，经地 座配训练 (满分：120分) 7.图6所示，河北岸点A处观填到河对岸有 人员勘，当坡角不超过53时，可确保山体不清 精心选一选（每小遁4分，共32分】 点C年A的西0的西上，沿和业西 1,如图I,在R和△ABG中，∠C■90°，simB 2,某数学兴趣小组用无人机测量汐塔A 坡如果改造时保持歧脚A不忘动.坡顶B沿BC 三，耐心解一解（表大题共6小题，失64分） 至少向右移动 m时，才能确保山体不滑 2345 行20m到达B处，又测得C在B的南偏西45的方 音点D在c边上，且D=AC,接D,者 的高度，利量方案如图2所示，无人机在距水平地 向上，请你根起以上数据，则这条河的宽度为（结 15.(10分)如图13，在△ABC中，AB=6,∠B 参发 D9,C=3,AD⊥c点D.KD和4C的 面120恤的点M处博生岁西装A的角灯 果保根号) =13,则BD的长为 22,再将无人机沿水平方向飞行3m到达点》 1.在△A6C中，AB=4,BC=5,imB=子 则 A(10,5+10)m B.(103+20)m B.7 处，测得湖汐塔底端B的俯角为45（点M.N,A,B △ABC的面积为 (203+10)m D.(205+20)m 在问一平面内)，则潮汐塔AB的高度为（某 B.9 D.15 8如图7，在△BC中， A.15 C.6 精到【m.表量据：n220▣037.ns229 0.93,un22°w0.40) 2.如图【是某商场自扶梯的示意图，自动状 A.41m B.42m 梯AB的坡角为30.5“，莱客从扶梯底端升到（顶搁 AD=2,BD=4,连按CD,则 3.如3，轮船B在码头A的正东方向.与 上升的高度BC为5米，则自动扶梯AB的长为 CD长的最大植为 C.43n D.77 m 16.(10分)如图14，海中有一个小岛C,某渔 2.如图2.△ABC中，∠ABC=0 AB 3.如图3，某兴趣小 头A的阳离为100海里，轮船B向北航行40海用 A25+子 B.25+1 船在海中的A点测得小品C位于东北方向上，该 BC=8,D为4C边上一点，且an∠AB0=分，则！组用无人机进行航拍测 到达C处时，接到D处一被渔船发来的求效信号 A.5n30,50米 B.5sim30.5米 船由西向东航行一段时问后到达B点，测得小岛G 于是沿北始西45”方向航行到D处，解微渔船后 D 625+3 D.25+2 位于北偏西0·方向上，再沿北偏东60°方继续 BD的长度为 高，无人机从1号楼和2写 Cin，5米 轮船沿南偏西32返可到码头A,那么码头A与D m305a米 楼的地面正中间B点垂直 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 航行一段时间后到达D点，这时得小岛C位于北 A55 B.25 C.5 纪飞到高g为0米的A 的宽始 海里（结果保留整数，参考数 9.在R△ABC中，∠C■90°，AB4,BC 饷西0°方向上.已知A,C相胞30 n mile,求C,D 据：in320.5.1s3290.8,1n32P0.6} 间的距离（计算过程中的数解不取近位值）， 3.如图3，四边形ABG中，0A在￥轴的正半 处，测得1号楼部￡的 25,则m号= 轴上，∠0CB=∠0AB=90,AB=3,BC=5, 俯角为60，测得2号棱顶 4.如图4，风B在翠微阁A的正南方陶 两个城点被一座小山阻隔，计在A,B之间修建 0.一配电房示意图如图8所示，它是一个轴 郭F的俯角为45“已知1号棱的高度为27米，则 ∠AOC=co∠DCB=三.则点C的坐标是 条直通观，为测量A,两点之问距真，在 对称图形已知BC=6m,BE 4m,∠ABC 2马号好的有为 米然果保图报普 3.如图2，在△ABC中，∠ACB=0,CD是斜27“.则房顶A离地面EF的高度为 m结 名东西向的公客】上洗圣”：0两当印 便力望高 边AB的中线，过点D作DR⊥AC,垂是为点E,若 果精确到0.1m,参考数揭：sin27w0.45,s27 A,B,已知点A在点P的北偏东45方向上，点B在 0.9,an27”0.51 4.如图4是一辆登高云梯消防车工作示意 点Q的北偏东30方向上，BQ=1200米.P0 im=，AB=6,则△CDE的周长为 图，起重臂AC(20米≤AC≤30来)是可仲缩的 200米，试求A,B两点之句的距离（精到1来 A.4+2 B.4+42 日面容AC4绕点A军一定行为下华动 共中2=1.41.5=1.73) C.6+2E D.6+4 角∠CAE(90∠CAE150)，转动点A距离 4.如图3，为了测量某建物AB的高度，在平 17.(10分》正值春日，周来小明姐弟俩在父母 4.如图4.在△ABC中.inB=，m 的面的富度E为4米 地上C处测得建筑物顶端A的彻角为30“，沿CB方 的同下来列一片宽广的场所放风氧小明承4) 19 号4B=4.测△BC的面税为 (1)当起重曾AG的长度为24米，张角∠C4E 向前进18到达D处，在D处测得建筑物端A的 姐姐(B)一前一后在水平地面AD上故风寧，结果 仰角为45“，建筑物AB的高度等丁 山.如图9是一个太阳能面板侧面示意图，点 =120°时，云梯消防车最高点C距北面的高度 风筝在空中C处红在一起，如图15所示，薄得 GF的长为 A.18(+1)m B.18(5-1)m C是AB的中点， -80 当太阳光线与地面 ∠CAD=30°，∠CBD=60°，且小明与姐姐之间的 实角为53计。用龙与用版垂南，十时太日 币离AB=6m.求比时风塔C处面离自的高度 座提高 (2)某日一栋大棱突发火灾，着火点距离地 C.95+1)m D.9(5-1)m 吸收光能的者最高.日中时吉图C兴旗他司 (参考数場：5=1.73边，结装保留一位小数) 5.如图5，在△ABC中，AD是C边上的高 而的高度为26米，该消防车在这栋棱下能否实海 高度为 cm(姑果精确到1cm,参考数； 有效数规？请说明理由（参考数据：石1.7，复 in530.80,cm53°0.60，tan53▣1.33) AB是BC边上的中找，mC=号mB=AD 示：当起重臂AG仲到最长且张角∠CAE最大时 12,如图0，斜坡CD的坡度1=1：2，在城 =1 云稀C可以达到最大高度) 上有一棵垂直干水平面的大树AB,当太阳光与水 平面的史角为0◆过，大对在特上的形子BE长 (I)求BC的长： 座刀提高 5.知图4为单车示意图，AB与地面平行，点A, 为10米，则大树AB的高为 (2)求n∠DAE的值 5.如图5，在河流两边有甲，乙两座山.现在 B,D共，点D,F,G共，坐热C可沿射BE方 从甲山A处的位置向乙山B处拉电线已知甲山 向调背.已知∠ABE=70°，车轮半径为20m, 上A点到阿边C的距离AC=130米，点A到CD的 BC=60m时，小明体登后觉得骑着比较舒，此 18.(10分)中国的深月工程激发了同学们时 垂直高度为120米：乙山D的坡比为4：3，乙山 时坐垫C离地面高度约为结果精确到1m,参考 太空的兴趣某晚，淇淇在家透过商户的最高点 上B点到阿可边D的距离BD=450米，从B处看A 数：sm70°-094，c7050.34,an70° 处的俯角为25（套数福：in25°0.423 2.75 BQ4m,角为a:其其向前虑了3m后到达点 A 80 em B.72 cC.76cm D.70 cu 13.图11是某种型号拉杆控的示意图.已妇语：D,透过点P恰好看到月亮，仰角为B,如图16是示 0s25°=0.906，an25°w0.46h) 6.桔樱示意图如图5所示，M是垂直于水平杆DE,箱休BC,拉杆 AB的长相等，即DE=BC 意图.已知祺的眼睛与水平地面BQ的距离A (1)求乙山B处到阿河边CD的垂距离： =AB.占B.F在AC上，点C在DE上，支平N= =CD=I.6m,点PB0的距2P0=26m,40 23,2解直角三角形及其应用（第三课时】 地面的支撑杆，0M=3米，4B是杠杆，AB=6米， (2)求河CD的觉度（果留整数） 30:CD =:3DCF = 0A:0B=2:1.当点A位丁最高点A时，∠4,0M 的延长线交PQ于点E(注：图中所有燕均在河一平 每配细练 =120°.北时，点A,到面的距离为 30°，则拉杆增点A到水平滑杆ED的距离为 232解直角三角形及其应用（第二课时） m(结果保留根号)， (I)求B的大小及nna的值： 便迎训练 1如图1，在平地和在 4.(25+3)米 B.5米 14.三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的 (2)求CP的长及in∠APC的恤 C,香米 D,7米 上被上树木的株距（甜邻两 骨架是个“移动副”和多个转动”组成的连 1.如图1，一把端子靠在岳直水平地面的描 棵树之间的水平距房)均 杆结构，如图12是三折伞一条骨果的示意图，当 上，梯子4B的长是3米，若佛子与地面的夹角为 为4m,已知山的坡度为 “移动（点）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨 架都可以绕“转动（点A,F,E,D.G,C,N,M)转 α，梯子底W鞋墙而的距离AC为 0.5,1炒上相钻两理 数理报社试题研究中心 动.其中四边形CDEF和四边形NcD都是平行四 A.3ina米 B.3ca米 之可的坡切包为【 (参老答案见13期) 边形，AC=BC=9cm.DE=2rm.DN=Im.已 (下转第4版】