第10期 23.1 锐角的三角函数-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

中考数学沪科(AH)第10~13期 数理撼 答案详解 2025.2026学年 中考数学沪科(AH) 第10~13期 第10期2版 (3)由计算器，可得∠A≈7819'56”，∠B≈4123'58"” 23.1.1锐角三角函数（第一课时） 第10期3版 蒸瑞训练1.：2C:3c:46:5号 题号12345678 6.AD=/13. 答案ABDAACBB 23.1.1锐角三角函数（第二课时） 基强训练1：2.C:3.D:4景：54 二90；10气；114：1222 能力提高6.(1)因为梯形ABCD中，AD∥BC,∠BCD= 14②7 7 90°，所以∠ADC=90°. 三、15.(1)原式=3+2； 在Rt△ADC中，因为AC=20,sim∠DAC=3@ 10 2②）原式-片 所以CD=6. 在Rt△BCD中，BC=8,CD=6, 16因为AD1BC,∠B=45,所以mB=品=1 所以BD=10. 因为AD=6,所以BD=6. (2)由(1)可得CD=6,BD=10, 因为amC=子-品所以D=10,所以C=16 又因为AC=20,所以AD=2,c0s∠DBC= 4 17.(1)因为∠B=∠BAE,所以BE=AE=5. 过A作AE⊥BD,垂足为E,所以∠AEB=∠AED=90°. 因为AD⊥BC,tan∠ACB=1,所以AD=CD=3. 因为AD∥BC,所以∠ADE=∠DBC, 又因为AD⊥BC,AE=5, 所以cos∠ADE=cos∠DBC=手 所以ED=√AE-AD=4, 所以BD=ED+BE=9. 在R△AED中，AD=2,cos∠A0E=子 (2)因为AD⊥BC,BD=9,AD=3, 所以DB=号所以A5=号 所以AB=AD2+BD=3I0, 所以sim∠B=3 s00 在R△MB中AE=号BE=BD-DE 42 3√10 10 5 18.(1)SABc=90. 所议m∠ABD=能=宁 (2)∠B的余弦值为 23.1.230°，45°，60°角的三角函数值 19.(1)过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D, 基础训练1.C；2.B；3.75;4.45°； 在Rt△ADC中，AC=4,因为∠ACB=150°， 5.等腰直角. 所以∠ACD=30°， 6.(1)原式= 3 4； 所以A0=4C=2.CD=ACs30=4×号=26 (2)原式=2 能力提高7因为写<0s1<cs6.5 在△D中，mB=品=品=令 2 =c0s30°， 所以BD=16,所以BC=BD-CD=16-25. 当0<a<90°，a越大，cosa越小， (2)在BC边上取一点M,使得CM=AC=4,连接AM, 所以∠B<∠A<30°. 因为∠ACB=150°， 23.1.3一般锐角的三角函数值 所以∠AMC=∠MAC=15 基础训练1.A;2.C;3.B;4.7;5.10.34. 因为CD=25,所以MD=4+23, 6.(1)由计算器，可得∠A≈3851'57”，∠B≈388”； (2)由计算器，可得∠A≈5118'11”，∠B≈8027'2”； 所m5:m2A0-品=252+万 =2 中考数学沪科(AH) 第10~13期 -5≈0.3. 20.(1)由题意，得sin120°=sin(180°-120°)=sin60° =91055:1124,2(4压-25， 13.(20√2+206)；14.245 ∈：0s120°=-c0s180°-1200)三-c0s600=2 三、15.AD的长为3，AC的长为√0. sim150°=sin(180°-150)=sin30°=2 16.C,D间的距离为202 n mile. 17.此时风筝C处距离地面的高度为13.9m (2)因为三角形的三个内角的比是1：1：4， 1 所以三个内角分别为30°，30°，120°， 18.(1)B=45°，ana=4 ①当∠A=30°，∠B=120°时，易求得方程的两根分别为 1 1 (2)CP的长为5m,sin LAPC=3网 34 2，-2 将=士代人方程，得4×（宁户-m×分-1=0，解得 19()新传滋带4C的长度为米 (2)需要挪走，理由如下： m=0. 由()知，AH=号米，在Rt△ABh中，am31 AH 经检验x=- 分是方程4-1=0的根，所以m=0符 BH' 合题意； 所以BH= ②当乙4=120，∠B=0°时，则方程两根为汽，9，不 在Rt△ACH中，tan22°=A坦 ΓCH 符合题意； 所以ch=品一号米 当∠A=30,LB=30°时，则方程的两根为号， 期CP=PB+BH-CH=3+号-号=名（米）<1米， 将x=子代人方程，得4×（宁2-m×弓-1=0，解得 1 所以距离B点3米的货物MNQP需要挪走. m=0, 20.作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥ 0C于J 经检验 不是方程4x2-1=0的根，所以不符合题意. (1)因为AM⊥CD, 综上所述，m=0,∠A=30°，∠B=120° 所以∠QMP=∠MP0=∠OQM=90°， 第10期4版 所以四边形OQMP为矩形， 所以QM=OP. 重点集训营 因为0C=0D=10分米，∠C0D=60°， 1.D;2.C;3.等腰直角三角形. 所以△OCD为等边三角形. 第11期2版 因为OP⊥CD, 23.2解直角三角形及其应用（第一课时） 1 基础训练1B;2.D:3.(号，6)： 所以∠C0P=2∠C0D=30°， 所以OP=0C·cos30°=5√5分米. 4.25+22. 因为∠A0C=∠Q0P=90°，即∠A0Q+∠C0Q=∠C0Q 能力提高5.(1)BC=22+1. +∠COP, (2)am∠DAE=万-分 所以∠A0Q=∠C0P=30°， 23.2解直角三角形及其应用（第二课时） 所以40=70A=5分米。 基础训练1.B;2.C;3.(60-11√5). 所以AM=(5+55)分米. 能力提高4.(1)16. 答：点A离地的距离AM为(5+55)分米 (2)能实施有效救援，理由略。 (2)因为OB∥CD, 23.2解直角三角形及其应用（第三课时） 所以∠BOD=∠ODC=60°. 基础训练1.B;2.8;3.105. 在Rt△OFK中，K0=OF·cos60°=2分米，FK=OF·sim60° 4.A,B两点之间的距离约为1562米 =25分米， 能力提高5.(1)乙山B处到河边CD的垂直距离为 在Rt△FKE中，EK=√EF-FK=26分米， 360米. (2)河CD的宽度约为195米. 所以BE=OB-OK-EK=(8-26)分米. 第11期3版 在Rt△0FJ中，0J=OF·cos60°=2分米，FJ=OF· sin60°=25分米， 题号12345678 在Rt△FJE'中，E'J=√E'F-F了=26分米， 答案DCACCBAB 所以B'E'=0B'-(E'J-0J)=(12-26)分米. 2 中考数学沪科(AH) 第10~13期 答：B'E的长为(12-26)分米. 所以由勾股定理得BC=4, 第11期4版 所以BE=BC-CE=3. 重点集训营 七、22.(1)可伸缩支撑杆CD的长度为10√10cm. 1.(11+25). (2)过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,交AD'于 2.(1)BC的长度为39米. 点G (2)轮船E距离海岸线D的距离ED的长约为202米 由题意可知，四边形ABFG为矩形， 第12期综合评估卷 所以∠AGD=90°，FG=AB=10cm. 题号12345678910 DG 3 因为在Rt△AGD中，tana=AG=4, 答案BBDBDCAACB 二、11.5；12.(2-2c0sa)；13.3.08:14.665 所以DG=子AG所以4D=VAG+DG=子4G 13 因为AD=50cm,所以AG=40cm,DG=30cm. 三、15.原式=25. 所以DF=40cm,BF=AG=40cm.所以CF=20cm. 16.CD(即方)的长为128. 所以在Rt△CFD中，CD=√CF2+DF产=205cm. 四、17.(1)BD=12 答：可伸缩支撑杆CD的长度为205cm (2)tan C=2 3 18.(1)B处距离小岛C的距离约为22.6海里。 八.23aF∥CE号 (2)能安全通过，理由如下： (2)EF=BC·sina.理由如下： 过点C作CN⊥BE于点N, 因为PD⊥AB,点D关于BC的对称点为点F, 在Rt△BCN中，因为∠CBN=45°+25°=70°，BC= 所以∠D=∠F=90°，∠ABC=∠FBC=ax 162海里， 因为AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=a, 所以CN=BC·sin∠CBW≈22.6×0.94≈2L.2(海里)， 所以∠FBC=∠C=a,所以BF∥AC, 因为21.2>20，所以能安全通过. 所以∠F=∠CEP=90°. 五、19.(1)过点A作AH⊥BC于点H. 在Rt△BFP中，PF=PB·sin. 因为AB=AC,BC=4, 在Rt△CEP中，PE=PC·sina 所以EF=BC·sina. 所以B1=宁6C=2 (3)因为∠BAD=60°，对角线AC平分∠BAD, 因为在△ABH中，∠BHA=90°，AB=6, 所以∠DAC=∠BAC=30°. 所以∠BI-器=号 因为AB=BC,所以∠BAC=∠BCA=30°， 所以AD∥BC. 因为DE是AB的垂直平分线， 因为∠AEF=∠BFE=90°， 所以∠BED=90°，BE=3, 又因为∠ACD=90°，CD=5, 所以∠BED=∠BHA=90°， 所以AC=5CD=3,AD=2CD=25. 又因为∠B=∠B,所以∠BAH=∠D, 1 1 所以sin∠D=sin∠BAH=3,即∠D的正弦值为 因为DF=牙，所以分两种情况讨论 (2②)点C到直线DE的距离为号 ①点P在线段AC上，由(2)可得，EF=AC·sin∠DAC= 20.(1)CD的长约为54m. 2 (2)由(1)得CD=54m,在Rt△ACD中，∠CDA=6°，所 以AC=CD·tan∠CDA≈54×0.1=5.4(m),所以AB=AC 因为∠DEF=90°，DF=2 2 +BC=5.4+54≈59(m). 所以DE=5, 答：桥塔AB的高度约为59m. 所以AE=√5， 六21.(1)simB=写 所以AP=2. 5 ②点P在线段AC外，过点C作CG⊥AD于点G,由①易得， (2)因为D=5,mB=5所以4B=20D=25,所 AE∥BF, 所以∠EAC=∠FCP=30°，∠E=∠CFP=90°， 以AC=2. 所以四边形CGEF是矩形，所以CG=EF, 因为∠CAH=∠B,所以sin∠CAH=sinB=E 5 因为CD=5,AC=3,AD=25,DF=2I 2” 设CE=x(x>0),则AE=√5x,由勾股定理，得x2+22= (5x)2,所以CE=x=1. 所以cG=子，DE=万， 在Rt△ABC中，因为AB=25,AC=2, 所以AE=AD+DE=35, 3 中考数学沪科(AH) 第10~13期 所以AP=一 AE os∠PAE=6. 所以直线AD的表达式为y= 3x+12 综上所述，AP的长为2或6. 8 第13期1,2版期未综合评估卷（一） 把y=0代人y=二x+12,解得x=之， 题号12345678910 所以点F的坐标为（号0， 答案DDBCBC C ACC =.16000:2y=120,1a8:149或g 所以cf=9-号=号 所以SAACD=SAcr-S△cHw=9 三，15原式=子 六21.(1)C,的最高点坐标为(3,2)，a=- 9c=1. 16.(1)直线y=ax+b的表达式为y=-3x-3. (2)符合条件的n的整数值为4和5. (2)-2≤x<0或x≥1. 七、22.(1)AB=26. 四、17.(1)证明：因为AC⊥AD,ED⊥AD, 所以∠A=∠D=90°，∠C+∠ABC=90° (2)BC=2FG. 因为CB⊥BE,所以∠ABC+∠EBD=90°， 证明：连接BF,因为EF∥BC, 所以∠C=∠EBD, 所以∠AFE=∠C 所以△ABC∽△DEB. 因为∠C=∠ABD: (2)BD=3. 所以∠AFE=∠ABD. 18.(1)抛物线的表达式为y=-x2+4x-3. 又因为∠EAF=∠DAB, (2)P(-1,-8)或P(5,-8) 所以△AFE△ABD. 五、19.作AG⊥CD,FK⊥CD,垂足分别为G,K,延长AB交 所以长。AE 以B=A DE于H,则∠AHE=90°. 因为斜坡的坡度为5：12，BE=6.5米， 所以E=4B AE=AD 所以BH=2.5米，HE=6米. 所以△ABF∽△ADE, 设CD=x米，则CK=(x-1.4)米，CG=(x-25-1.4)米 所以∠AED=∠AFB=90°， 在Rt△AGC中，tan37°=CS, AG 所以∠BFD=∠BED=90°， 所以6=0米 所以∠FBC=∠C=45°， 所以FB=FC. 在Rt△CFK中，∠CFK=45°， 因为FG⊥BC, 所以FK=CK=(x-1.4)米. 所以BC=2FG. 又因为AG=FK+HE, 八23.(1)B(5,5),C(2,-4) 所以心-39 =x-1.4+6, (2)设直线BC的表达式为y=x+b,将B(5,5),C(2, 0.75. 解得x=29.4. 4代人可得k+h=5,解得=3， 2k+b=-4, 1b=-10, 答：建筑物CD的高度约为29.4米. 所以直线BC的表达式为y=3x-10, 20(1)k=-号m=12,点C的坐标为(9.0)， 当点D在直线OB的下方时，过点B作BF⊥x轴，交x轴 于点F,延长OD,交BF于点P, (2)延长DA交x轴于点F, 因为B(5,5),所以OF=BF 将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后表达式为y= +9, 所以∠B0F=∠OBF=45°， 因为∠DOB=∠OBC,所以∠POF=∠HBF, 因为∠OFP=∠BFH=90°， 3x+9, 联立 解得 x1= 2,%=12, 所以△OFP≌△BFH,所以HF=PF 12 Y= y=8,y=1, 对于y=3-10,当y=0时-9所以H(90, 所以点D号8) 则PR==0P-0M=音 设直线AD的表达式为y=kx+b1,把D(子，8)，A(3,4) 所以P(5,号) 代人入，得 +=8, 易求得直线0P的表达式为y=3x, 3k1+b1=4, 8 解得=-氵 联立=了，解得二0（合去）或 x=3 Ly =x2-4x, Ly=0 13 b1=12, y= 9 4 中考数学沪科(AH) 第10~13期 即nc号号： 所以AF=BF,即点F在边AB的垂直平分线上 (2)由上题可知∠FAB=∠CBD, 当点D在直线OB的上方时， 又因为∠BEA=∠FEB, 因为∠DOB=∠OBC,所以OD∥BC, 所以△BEA∽△FEB, 因为直线BC的表达式为y=3x-10, 所以直线OD的表达式为y=3x 所以能-能 联28合未)或 1y=x2-4x, 1y=21, 因为品-铝 即D(7,21) 所以AS=BE 8品=A 综上，当点D的坐标为（号，号）或(7,2)时，∠08 因为∠ADB=∠ABD, ∠OBC 所以AB=AD, (3)由(1)易得抛物线的对称轴为直线x=2, 所号-器即AD:AE=BE80 因为点B(5,5)与点E关于抛物线对称轴对称， 五、19.(1)大、小臂连接处B到移动基座OA的水平距离 所以E(-1,5). 为3米. 过点E,F分别作y轴的平行线，交直线OB于点M,V, (2)点C到工作台的高度CD的长为6.1米 所以M(-1,-1),所以EM=6. 设F(m,m2-4m),则N(m,m), 20.(1)k=2 ,m=-2,6=12 1 所以FN=m-(m2-4m)=-m2+5m (2)由()易得4兮2)，B1,号)，c5), 因为S=2F(,-),S=号EM(x-) 因为CD垂直平分AB, 所以g=贫=m。5=-石(m-5m)=石(n 所以点D是AB的中点， 6 所以D号与， 2 24 设直线CD的表达式为y=cx+n, 所以当m=子时受有最大值，为贸 把c(分》.字g)代人y=+n中， 第13期3,4版期末综合评估卷（二） 1 题号12345678910 【c-2' 解得 答案CBCDDC C BAA 9 n=10 二11.h=20；12.86:13.y=(x-2 所以直线CD的表达式为y=分+0 .9 143而或9 5 5 因为BE∥轴交CD于点E,所以点E纵坐标为子， 三、15.原式=1. 16.(1)二次函数的表达式为y=-(x-2)3+3. 令=号即号=+品 (2)-1≤y≤3. 解得x=-1,所以E(-1,子)， (3)该二次函数的图象向下平移3个单位长度或向左平移 4个单位长度，再向下平移3个单位长度恰好经过点(0，-4)， 所以EF=与-(-1)=号 且与x轴只有一个公共点。 因为BE∥x轴，l⊥x轴， 四、17.(1)k=32. 所以EF⊥AC, (2)点M的坐标为(6,5)或(2,16) 所以Sm=24CBF=子x1×号= 3 18.证明：(1)在平行四边形ABCD中，AD∥BC, 六.21.(Dy关于：的函数表达式为y=g+号+2 2 所以∠ADB=∠CBD 因为BD平分∠ABC, (2)该女生在此次测试中是得满分，理由略. 所以∠ABD=∠CBD,所以∠ADB=∠ABD. 七、22.(1)证明略 因为AB=BF·BD, (2)连接CE, 所拟品=铝 因为AB=4,AC=3,∠BAC=90°， 所以BC=5. 又因为∠ABD=∠FBA, 因为∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE, 所以△ABF∽△DBA, 所以△ABC∽△ADE, 所以∠FAB=∠ADB, 所以∠FAB=∠ABD, 所以A想=4D。4 AC =AE=3 -5 中考数学沪科(AH)第10~13期 因为∠BAC=∠DAE=90°， 八、23.(1)①P(-1,4).A(-3,0) 所以∠BAD=∠CAE, ②过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F 所以△BAD△CAE, 因为点A(-3,0),点C(0,3), 所拟上B=∠4C把-80-号 所以OA=OC,所以∠OAC=45°，EF=AE. 所以设BD=4x,CE=3x, 设点M(m,-m2-2m+3)(-3<m<-1),点E(m,0), 所以CD=5-4x. 则EF=AE=m-(-3)=m+3,即点F(m,m+3), 因为∠B+∠ACB=90°， 所以FM=(-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m. 所以∠ACE+∠ACB=90°， 在Rt△FMN中，易得∠MFN=45°， 所以∠DCE=90°. 所以FM=√2MN 因为am∠f0C=瓷=宁 因为MW=E, 所以子所以x=合 所以FM=2,即-m2-3m=2. 解得m1=-2,m2=-1(舍去)， 所以Ec=多，cD=3, 所以点M的坐标为(-2,3) (2)因为点A(-c,0)在抛物线上，其中c>1, 所以DE=35 所以-c2-bc+c=0,所以b=1-c, 2 所以抛物线的表达式为y=-2+(1-c)x+c,则点 (3)过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于 点M,连接BM, Mm,-m+1-e)m+e),其中-6<m<12号 所以∠BAM=∠ADM=∠BDC=90°. 因为∠BAD=∠DBC, 因为+1-c+e-(x-l2)2+1 4 所以∠DAM=∠BCD. 又因为∠ADM=∠BDC=90°， 所以顶点之，1生)对称轴为直线x=片学 4 所以△BDC∽△MDA, 过点M作MQ上对称轴于点Q,则∠MQP=90°，点 所以器器 +(1-c)m+e). 又因为∠BDC=∠ADM, 由MP∥AC,得∠PMQ=45°，所以MQ=QP, 所以∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM, 即∠BDM=∠CDA, 所以22-m=1去o少-[-m2+(1-cm+e,即(c 4 所以△BDM△CDA, +2m)2=1,解得c1=-2m-1,c2=-2m+1(舍去). 所兴肥 同(1)，过点M作ME⊥x轴于点E,与直线AC相交于点F, 因为am∠MD=品=宁AC=25. 则点E(m,0),点F(m,-m-1),点M(m,m2-1). 因为AN+3MN=AF+FW+3MW=2EF+2√2FM= 所以BD=2CD, 92, 所以BM=2AC=45,DM=2AD, 所以2(-m-1)+2√2(m2-1+m+1)=92,即2m2 因为AB=4, 所以AM=4√2 +m-10=0, 因为AD+DM2=AM, 5 解得m,=-子，m=2(含去)》 所以0-4 所以点的坐标为(-名。 —6—4 素养·拓展 鼓理极 质量反破 025年9月4日星期因 初中数学 51-527126 专题辅导 见纸发行质量反喷电话 10期总第1154期 沪科 特殊角的三角函数值这样 重点集训营 0B51-52248 数理招 中考{AH 第9期综合评估 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707F) 。湖南李向峰 特嫌角的三角函数值 卷每害答案 一、求三角函数值 例1m45的值等于 则nc=eoB= -.1,D2.B 名师课堂： 同学们在学习角三角函数的过程中，由 ∠C=45 1.在直角三角形中，30°角对的直角边是 下的角数的甲螺不移香胡.在深 ∠B量30°，7以∠A■1800-45"-30=■1050 A.2 c. 斜边的一半若n(a+20)=,则的度数 5A:6C: 确定三角函数值有妙招 就会出现这样或那样的误下面就客易出现 B.1 故远B 的错误简体制折如下， 三，计算 是 7.D:8.B 。广东顾钰 分析：直根搭特殊角的三角函值求解 9A:10.B 一，对三角函数的实质理解不透 A.40 我.30 .20° D.I0 、回定义 三，等角代换 中可 例4计算3-（）in30°+ms45 例1若把B1△A6C的各边都扩大3倍得 二，1.2：1 2如果∠A为角msA=，那么∠A 例1在R1△ABC中，∠ACB=90,CD是 例3如图1，在RIAAB 解：tn450=1,放选B 列么4'B'C,则∠A,∠A'的余弦值的关系是 分析：根据零决，负整指数，珠角的 12,4:1314,4: 斜边AB上的中线，CD=4,AC=6.则smB的中，∠ACB=90°.CD是AB边 二，求角度 三角画值，二次根式的性黄进行计算印可求 的取值范是 422厘 值是 上的中线，AC=8,BC=6,则 A.0sA=34A" B.3cosA os A' 例2在△4BC中，LC=90°，若sA A09<2A330三 B.30<∠A≤45 三，5.甲，乙地 解析：因为∠ACB=0,CD是斜边AB上∠ACD的正切值是 C.cna A cos A' D,不能确定 =7,则∠A的大小是 解：原式=1-4×+2×号=1 C.450c∠A<60° D.60°c∠A<0 的中线，CD=4.所以Ag=8 模析：因为CD品AB边上 错解：先A成 A.30 B.40 3.在△4BC中.(2A-2)3+1 的实际离是123k C.60 D.75 6、不定，四 因为4C=6,所以nB=号=子故填子 的中线，以CDAD,所以∠A=∠ACD.因 爸断：在直衡三角步中，锐角的余旅是筑角 分析：根据特珠商的三角面数值本解即可 四、求边长 nB=0,则△ABC的形状是 为∠ACB=90,AC=8.BC=6,所以n∠A 的邻边与针边的比，三边都扩大3传后对良 例5如图，在△AB0 略 数理报杜试题研究 心 二，巧设想回 的比值不重，错解没有真正里解这一蜜座，误记 解：因为ro6A=7,∠A是R△ABC的内中，∠ABC=0°，LA=30°， 四，7.(1)图略 琴考香案见下明 例2在R△ABG中，∠C=90,iA= 能-子所以tamL4CD的值为子益端是 无”海“有类” D是边AB上一点，∠BDC= (2)3:1. 角.所以∠A=09故选C. 45,AD=4,求BC的长（站果 例3在△4BC中，∠C,LB为悦角，且满 铺助线周周练 《39+35+3/5 气，则anB的植为 四、构造直角 正解： 保藤号》 例4如图2，将△ABG 18.B 解析：因为在R△ABC中，∠C=0°，inA 足1iG-号1+（号-)2=0.则LA的 分析：由题意可得△BCD为等腰直角三而 五，9，这条可逻 放在每个小正方形的边长为」 数学诊所 形，则BD=BC.在RI△ABC中，科用锐角三角 鲨为30米 的网格中，点A,B,C均在格点 度数为 盛数的定义及精殊角的三角函值即可求出BC 锐角角函数 A.100B.1050 D.60° .如图1，在R△ABG中，∠ACB=0BG 边.(1)明略 以设直角边2，另一个直角边为， 上，则oA的值是 的长. 分析：直楼利用绝对值以及偏次方的性喷 解：因为∠ABC=90.∠BDC=45“,所以 10,AC=20,D为AB的中点.接CD.将 2)荒的值为 则边e=3m 架析：如图2，过点B作 错解诊治 得出∠G=45°，∠B=30°，再报据三角形的内△BCD为等腰直角三角形，所以BD■BG.在 △BCD用CD斤到△B'CD,BDACF 根据勾股定理可得= √(3m)-(2m下 BH⊥AC.则∠AHB=90 二，忽视锐角三角函数值的取值范围 角和得出答餐， =5m 所以AH=22,AB=而，所以在 例2已知nr(a为就角)是方程3x- 解：为1iG-号1+（-eo)产0， DAGF). 所以tanB= 故城 R1△ABH中，nA= 425故城25 x+2=0的限，求sin的值， ,夏，解得BC26,+).所以BC的长为 六，21，(1)明德 错解：解方程3x2-7x+2■0，得■2， 所以simc- -osB=0, 的高A为2米 思堆天地 2(5+1) 所以ima=2或ia= 《2)塑像F的 进 角 三角函数爱上“网 诊断：因为直角边小于并边，所以镜角的三 长休为4术 第8期2版参考答案 (2)横的影子AB,DC的长度和为2e出 弦值应在0与1之间，而错解您视了这一点 3相似三角的性质（第一课时】 19.明：1)因为ADG,所以∠AB■180 七2（成 2A,5为∠=∠E.所L∠A出=0 2如图2，ia∠0亏长度为2的线段D 0安徽蒋爱芳 正解： ∠：F.月为∠A雷=10P-∠GF.折以∠AGN= 在射找0B上滑动，点C在射线O4上，且0C= 一，用网格求正弦值 的值是 例1如图1，方格纸中小 能力提高7.四边形AE的面积为24 CM因为四边无CD为菱形，以A 5,△CDE的两个内角的角平分线相交于点F, 解析：由知，BC=5 三、忽视分类讨论 《2#=音秘 正方形的边长都为1，点A,B, 223相版三角形的性质（第二课时1 n.因 肌以 时齿F作G⊥DE,为G.川PG的号大 因为AD⊥BC 例3在AABC中，BC=4,AB=5,求 基出1B:2.3.6:3.12. 所以AC==CD因为为的中点，以C 八.23.(1)证明 都在格点上，那么siA的值为 winA的值， 力提高4该龙形博的 度为3.5m 为△ABC一△AE 又因为5m=子AC·AB=CD, 224困形的位似变换 口阳口用热袖 解析：如图.过B作AC的 基陆1C:2D:3.C:4 以G·=,以G ∠：∠n怨 垂线.垂足为M, 1 所以0是： 基0+D'3Y'L士80落y 5 诊断：错解是受与服数3,4,5这一思雏定 能因为，6分别是 因为在边长相等的小正方形组成的网格 的影响误认为AB是边而数错事实上，通 ∠BC,所以△BCC∽△CM所 中，点A,B,C都在格点上 所以B即=华. 日未明境哪一边是件边，应分是讨论 文因为∠ 能力提高6(1)国照 BC,E的中点，所以F 以∠8= 所以AB=√10，BC=1,AC=22 正解： (2)图8 2或1正明：因为4边春A0短感，以0 C,GDE 开C以AB=BC (3)点4的坐标为(3.6)，△AC与△A,B,C的 '9=(03+3+)·:厘 长比是：2 因为BM⊥AC,以点是AC的中点， 年丹Q0H0x0H-上701 三，利用网情求正切值 四、忽视锐角三角函敏运用的前提 第8期3版参考答案 ∥CE,ACE,四边形ACED是平行图边形，以 3学N士3TN士DTm 所以AM=子C=瓦 例3如图3，点A,B.C 列4已知a,b,c灯△ABC的三边，月.量= 题2343678 爹来CA C BBB DX 制1学力些醛】1一可乙 想在正方网格的格点上， =5,c=6,求oB,anB的值 旗￥扣留岁关准型排明3影半口液 怨所以△46D 在R△RW中，BM■√AB-A■2，E, 则an∠BAC的值是( 结解：因为4=6=5，e=6,所以eB= 二9.(2,4：1a.3:.22: 123: (2)的长度为 图w三时s=s,g7 AAFB. B.I 2 第8期4版参考答案 D0程7口品耳甲'年#H0D'H8 2斯= 诊断：锐角三角函数的运用，必類是在直用 三.5.图第 重点集训营 冰血不和限墨三阴甲‘斗限r米 16.O的度是63m 《3)PG的最小值为 平安甲y带士OT相3行何H罚 二，利用网精求余弦值 c D. 三角形中，里然△ABC不是直角三角形，错 1.c:21 却以“卧“代“直”.正骑解法应把乙B效在直角 1.1)翼 例2如图2，边长为1 解析：设小正方形的边长为1，由图可划D 三角形中， {2)5w=50. 3(1)略 上0T阳W8学【些裤】号（曼】 的小正方形网格中，点A.B 系(1)灯池实地的高度P为80cm (2)(-4.-6 =5,AD=5, C在格点上，连接BC,点D在 正解 BG上且满足AD⊥C,则 所以m∠8C=肥=山放法B 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 俺刀提高 17.(1D分)如图1D,在△ABC中，AD⊥C 跟踪训练 已知<csA<R,且∠A,∠B均为 同出达标 检测题（几） ∠B=∠BAE,AE=5.CD=3,n∠C=1. (I)求BD的长： (2)求sin∠B的值， 2311锐角三角函数（第一课时） 能角，求∠A,∠B的取值围 【检测范国：23.1】 (满分：120分】 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 91 精心选一选{每小题4分，共32分) 9.已知a为笑角.且51an(90-a)=1,则a 1,在R△ABC中，∠C■90°，BC=4.anB =2,则4C的长为 4,在△ABG中，∠G=90,若iA" 的度数为 答重 10.在△ABC中，如果AB=AC=7,BC=10, A.2 B.4 C6 D.8 sA的值为 部及cs君情品 2.斜面坡度常用来反映斜妓的倾斜程度，如 5,如图2.在Ra△ABC中，∠C=0,AC= 1.2si旧45的值为 1L.在R△ABC中，∠C=90°.斜边AB上的电 图1，斜坡AB的坡度为 cm,AB的垂直平分钱MN交AC于点D,连接BD A. B.I A1:4 B.4:I 若ee2BDC=号，则Bc的长为 em. 线是3em,inA=,则m G1:/5 D,I5:1 2已知在R△ABC中，∠C=0,∠A=a, 8.(10分)如图11，在△ABC中，AB=AC= 12.如图6，在1△ABC中，∠CBA=90°，以点 座力提高 23.13一般锐角的三角面数值 AC=3.那么AB的长等于 A为圆心，适当长为半径画，分别交AB.AC于点 15,amA=子求 6.如图3.已知在梯形ABCD中，AD∥BC 每出训练 D,E,再分以点D,B为圆心，大于DE长为半径 (1)S ∠BCD=90°.BC=8,AC=2vIo,sin LDAC= 3,如图1.在平面直角坐标系中，点A坐标为 (2)∠B的余弦值 1.用计算器求m2437'的值，以下按键翻序 画弧，两弧交于点F.作射战AF交边BC于点G,着 4.3),那么ana的值是 310 E确的是 BG=1,BC=4,则emsC的值为 10 1 2 C. 3.如图2所示.△ABC的顶点是正方彩网格 (I)求D的长： A.ia20DMS37DMS▣ 的格点，则am∠ABC的值为 (2)求∠ABD的正切值 B.Lin DMS 24 DMS 37- B c D.5 C.2nd Fein 24 DMS 3 7 DMS= 图7 D.sin 24 DMS 37 4.如知图3，在直角△ABG中，CD是边AB上 13.如图7，矩形ABCD的四个顶点分别在直到 的高，AD=4,BD=9,则CD= 2.已知inA=08917.运用科学计算器求锐 4.国图2，在R立灸5为1的落中，△AC的 ,七，，山上若直线4∥马∥（∥（且间距相等， 角∠A时，若要显示以“度”“分”“秒”为单位的结 三个顶点均在格点上，则n∠ACB的值等于 AB=4,BC=2,则tana的值为 19.(12分)如图12，在△4BC中，∠C=150 果，按下的健是 4,加8.在污开征出 A.sin B.2nd F ABCD中，AB=2.∠A AC =4.tm= 231230°45”，60角的三角函数值 60,将菱形纸片帮折，使点 (1)求BC的长： C.DMS D.alve 落在CD的中点E处.折德 (2)利用此图形求an15的值（精确到0.1。 便团训炼 3,用课本上介绍的科学计算器依次按键：国 5.他式子有意义的的取值范 为下G.点F.G分别在边AB 参考数据：2-1.41.万-1.735-2.24) 5,如图4，将矩形ABCD沿CE折叠.使得点B 国60日，显示的结采在阿个相邻整数之间 围是 AD上，Ra∠EFG的情为 三，耐心解一解（本大题6小短，共科分） 落在D边上的点F处，若器，则an阳 1,m60°的值为 A.x3-且x1B.x 15,10分}i上克： A.2-3 B.3.4 的值为 A. B D.5 C.4-5 D.5-6 Cx-分 D>-且￥+1 )am60+245 6.图5，在Rt△4BC中，乙C=90°，D为BC 2在中面直角坐标系中，点A(1m30,-6r】 4.运用课本上的计算器进行计算，按谜顶序 6.如图3，在菱形ACD中，对角线AC,BD相 的中点，AC=3,a∠CDA=多求Ab的长 关于：轴付称的点的坐标是 如下：45E45D]☒+ 交于点0AC=8,BD■6，则∠B4D的正弦值为 A(-.- R(分克 9三，则啡十算器显示的洁果是 5在平面直角坐标系中，0是坐标源点，点 D. c 0(-- 是第二象限内一点，连接0P若0P与x轴的负半 20.(12分)对于钝角，定义它的三舟数值 2)5an30°+w45°+n0,o00 3.已知△4BC中，∠A,∠B都是锐角，且(s 轴之间的夹角a=S0°，0N=135,则点P到r轴 如下：ina=in(180°-a）,eo:a■-60(180° 的距离与为 (用并学计算器计算，然果情 a). )2+1mB-11=0.则4C= 确到001). (1)求in120°，cw120,in150°的值： (2)若一个三角形的三个内角的比是1：1：4。 4.关于的一元二次方程x2-2x+ama= 6.已知下列锐角三角函数值，用计算器求其 有两个相等的实数根，则锐角《= 相应锐角的度数： A,B是这个三角形的两个顶点，sinA,B是方程 4x2-mx-1=0的两个不相等的实数根，求m的 (1)sinA=0.6275.sinB=0.0547: 5.在△ABC中，nA=1,emB= 7.如图4，是嘉琪用带有该度的直尺在数轴上 值及∠A和∠B的大小 211蜕角三角故（第二课时 (2)cA=0.6252.0sB=0.1659: 作图的方法，图中线段：与直尺垂直，线段6与数 16.(0分)如图9，在△4BC中，∠B=45 △ABC是 三角形， (3)anA=4.8425,anB=0,8816 轴垂直，点D表示的数是 便母训练 6.计算： nG=亏，AD⊥BC于点D,若AD=6,求BC的 B号 C.2 D. 1.在△ABC中，∠C=90,AB=25.sinB= (1)2.in309-tan45°◆c.230°： 8.如图5，在正方形ABCD 号则4C的长为 中，E,F分别为边AB与AD上 40 B.15 C.18 D.12 的点，连接CE,BF,交点为G 2.在R△4BC中，∠C=90°，若AC=4,MB 且CE⊥BF连接DG,若DG= =5,则a6A等于 (2)2·545-4n30+n60 CD.则tan∠DGF的值为 c B. 3.如图1，AD是△ABC的高，若BD=AD 数理报杜试题研究中心 2CD,则in (参考答案见下期】 c. D. 数理报社试题研究中心 「参考答案见下期}