第17期 1.4 解直角三角形-1.6 利用三角函数测高（答案见19期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 鼓理极 量反 351-27126 数理招 2025年10月23日·星期四 初中数学 1上接第3版) 点E在AC上，连接BE交CD干点F.∠BEC= 铺助线周周练 纸发行质量反喷电话 第 17期总第1161期 北师大 19,(12分)如图16是一款波浪能转换器的 120°，BF=AE+EF,若AB=4万，AE=8.则 B51-527248 中考 平面几示意图，该密形关于直线M对利 CD的长为 上摇4版梦光答案 线段PE和PF是可连接杆，点E,F的位圆 山两师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-205 (2)因为CD为士 固定不变，在海浪波的带动下，点P处齿轮组可 1.如图1，在AAG中，∠ABC=0,D为 p72率M画细 的中，A出 以在MN上来回滑动生成动力.已知AB∥CD BC的中点，点E在AB上，AD,CE交于点F,AE 名师点 例1如图1，在居 B=2 m,CD 4.8 m,MV =9.82 mEAB 听以D=A =EF=4.FC=9,划m∠ACB的值为 体钳LH'I用茶由三用里热y士0DTY3 127,∠ECD=18°，求连接杆PE◆PF的最 25因为E三2，所 解直角三角形面面观 民楼前方有一斜被，斜 坡 坡长CD为20m.斜坡 值（结果精确到0.1m,参考数携：n62 =L闲L3【些群】9 DE =05 河北尚超 的坡度：=三，在C,D 在△CF中，C6 0.88,eos62=0.47,an62=1.88,dn530 e论牌am3V‘D8 如图I,在直角三角彩ABG 解析：因为∠A+∠B=90,所以∠B 处积格梦「总品A的和 仰 0.80,os53=0.60,lan531.33) -1,BE-4.5, 用米海G出生'A8=9*6==N8 中。∠C=0°，a,,c,C1,∠B 90 分计知为0°T30°，求写 这玉个元素间有如下关系： 民楼的高度AB(保根 鑫 3 m阳到*有低r野【出解】；（悬】 2 (1)锐角之间的关系：∠A ,所以AC= ∠B= 2.知图2，△ABC中，CD为边AB上的中线 2道(1)由图，料 联 20=sim(180 (2)三边之间的关系：m2+6= =.所以AB= 第16期2厦参考答案 (2)在划 D中 (句暖定理) 20)=im0P= 归纳总结： 1.1统角三角函数（第一果时 以∠B=∠AB=75 (3)边角之的关系 在解直角三角形中，说角三角函数是沟通 基础U练1.C:2A,3,D1 由疗鞋质得C=厅G=4。 120 三角形边角关系的桥梁，只要题目中已知加 m以∠EBC■∠那'C■5，环以∠D8'C■0 w(180- t20 解 如的三个元素中有击，有角，光o以德用节角 因为∠D-0,所拟①·号℃·2， 数那么，如何从三角函数的公式中迅速而 解：D非图1，寸点D 题 能力提离&(1)4E 2)用为在正方形ACD中，AB=4,AG为对角找 以Ag-cD。2 im130 作DE⊥BC,交BC的延 以上三点正是解直角三角形的依起 准确地优选出所需要的公式呢？ 3三角毛转的 市日A》=A月44CAA5=AC m(180 50 (1)若求边：一眼用来知边比已知边，去 长线于点E,过点D作DFAB于点F因为料 CD边上 基训练 1A2.10;3.a3 我们已经掌揖：△4C的边角关系，三边 找已知角的某个三角函数： 关系两角关系，利用这些关系，在知道其中的 坡的度i子.所以ana子在△DCE PW和△'P美于V对称， 第16期3版参考答案 (2)若求角：一般用已知边比已知边( 而以AP=A'P,∠P40=∠40■45 (2)因为三角形的 丙个元素（重少有一个 _)后，就以求 因为∠MQ=∠C4+LA'0C=∠PA'Q+ 个内角的比是 弦，余弦时外迎作为分母》，去寻找未知角的某 出其他元素.所以把由已知元素，求出所有未知 个三角函数 20(12分)图17是一种折叠式琼衣琼 LPM'D.新以∠A'OG=∠AD =60:0.4229 1:1:4,所以三个内 元素的过程叫做解直角三角彩 在优送公式时，尽量利用已知数据.症免 xm,所以GD=5=20m,解得=4,所以 时左名晾衣臂张开后的示意图，两支脚汇= 因为AP=3PD,AD=4 为30·.30.1》 如图2，在R1△4B0 共耳告”中“零积阻筹” ①当∠A=30 DE=I2m.CE■16m,所以BF■DF=2m 0D=10分米，展开角LC0D=60°，琼衣臀0 以A'mAP=3,D1,所是AD=22 子：45 +中.∠C=90◆，∠A=30◆，B0 (3)有共深形然不是直角三角形，但可 B2”时，易求传 DF■BE设AF■于m,在R△DF中， =OB=10分米，琼衣臀支架HG=FE=6分 =4,求这个不直用一用2的其世 米，且0=F0=4分米 三，5()-子：(2 1,1领角三角函数（第二课时】 为程的两根分别为习 加适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形 边和角 而把它转化为直角 角形的来解决 (1)当∠A0C=90°时.求点A离地的距园 6因为0⊥，∠：5，所以品 ,将x代人月 恩维天地： 万ym在△ABC中，AB=(y+12}m,BGC= 4W为多少分米 4子：5华 (2)当0B从水平状态旋转到0B'(在C0 因为AD=6,所以=点因为C=：所以 限，得4×（ 能力提高6.1)图为翰形48C0中，A0∥BC, 三 长线上)时，点E绕点F随之旋转至0B上的A 角函数中的数学思想 店，-16am国言6.解得y ∠CD■90，雨以∠A0C。0在由△4ADC中，因为 1=0,解得 6+83,所以B=(8+18)m E处，求BE. ∠BE,所以E 所以CD 6在 AD⊥BC,m∠ACB=1,所以A山■CD=3 一东 答：居民楼的高度AB为(85+18)m m△BCD中，C=8,CD=6,以HD=10 为初上E=5.以=-AD 、转化男期 解析：如图2，当DB'∥0 例2在一处坡度为 4,以0 D+E=9 方程4x2-10的根 (2)出}得0■6,0■0，又因为C■ 例1 如图【， 时过点C作CH⊥BD.交B'L 5:2的炒h上折想 (2}周为A》⊥BC,B0=9,AD=3.所AB 所以精惠0济合明阀 △ABC中，∠ACB=90 个路灯EB,某校实我活 ACB.用为在且AAB士 过A作E⊥BD,车起为E.所以∠AB=∠AED= ∠B=30时，军Π CD⊥AB于点D.dn∠BCD 组对该坡地上的这个路 ABC=0.AB=8.BC6. 0因为A山∥C,所以∠ADE·∠DC,丽以 1发(1)过点C作边上AB,纸是为点D,在出△AD =，AB=15,则BC的长为 庄厅了量，如图2为 em∠ADE-os∠BC-号 中，mA=君=子所股m=,副切=张由银 所以AC=10.因为BD是AC边上的中线，所 有量示，已AB BD=CD=AC=5.由旋钟的性质可得B"D 在AED中，M0=2,ms乙AE子，所以E。 13米，在地面点C处测得路灯端E点的向年 4出∠A=0 9 C.10 D.12 团为4C。15,丽25=15.解将4-3，用以A=9 A.8 为45用无人知在占C的下十有20米的与D 多，所以证·务在△B中，c:号，E8D B=30时，为程 解析：在△ABC中，∠ACB=90°.CD 公川得E版的有角为4“，求该路E君的高 C》-2,所以Sam=2B.田0 AB.行∠ACD+∠BD=9DP.∠ACD.+∠A (果精确到1来，参考数据：加14 0.24 (2)在m△D中，D=A-0=6,CD-2, 【,230°，45,60°角的三角孟数值 所以由勾段定理，得BC=√CD+面=65.所以 行代人方程.得4为 =90°，所以∠BGD=∠A,所以sin∠BCD= 14=0.97,14°0.25) n∠A=子在△ABc中，B=15,所以 sin LACB =0 L HDC eos LACB 解：如图2，延长EB交AC于点M,延长BE 阳练1：2：38：4 cn导一熙-套所t∠B的为夏 -m×气 以D明■CD·r∠GCDH■3.CH■CD 交DF于点N,由题意得，四边形CMND是矩形， 5):2)-1 9.()过C作CE⊥AB于E,设CE=,在△8C 0,解得0， sin∠CDH=4,所以BH=BD+DH=8,所以 所C以CW=DN,CD=MN=20米在R△ABM 中，i=5:12.QBM=5x米，uAM=12x米 能力提离6(1》在形ABC中， 4,则山中，恤8~号-是用以流-号解群C~ 二，分贵讨论思都 BC=√B+CH=4: C=4.AB=CD,∠=∠D=W 如图3.当DB∥AB时，设DB 所以132=(5x)24(12x)2,解得±=1（鱼值会 因为8C3,所以5,幫得：。1.C 是42-1=D的， 例2在△ABC中，∠ABG90,AB= 由转的性场得批=B"G=4,LF=Q, ⊥BC于点H.因为在B△CDH中 去)，所以BM■5￥■5米.设C=D■米 以不符合担微 因为是A)的点， =1.在h△8CE中，CE=【,C■月，瓢由勾段定理可 8,C=6,BD是AC边上的中线，把D绕点D DH=CDin∠DCH4.CH E=2 在△ECM中，∠ECM=45,所以EM 所以B0:0-2.即g'D■BC 莲转，旋转角为(0°<a云90)，对应点为点 在A4CE中，nA--子因为E= 2A=30,∠ 130 CD·e∠DCH=3.前以BH= GWt45°=米.在：△EDN中，∠EDV= B',如果DB与直角边平行，则点B到点C的距D-DH=1,所以B'C 数理报社试盟研究中， 因为∠D=四所钱m∠D=是=子所以 全文毫 14“,所以EV=DN·1m4一Q25a米，所以 断以A=3,所以AB=5 离为 ）√B+C㎡=/可. (参考答案见19期 N=1.25米，所以1.25a=2D,解得a=16,所 LrD·30,所以g·90-∠8"CD-0 (下转1.4版中缝】 A2,5 B.10 综上所述，点B到点C的距房为/而或以V=16米，所以EB=11米 C.28成I0 D.而或45 45.故选D. 答：该路灯EB的高度为11米 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 3.如图1，在水情底部A处安装一支射灯，当 .6利用三角函数测高 动，其中四边形CDEF和四边形NMGD都是平行 跟踪训练 水情无任何介时会在右侧情壁上处形成 四边形，AC=BC=9cm,DE=2cm,DN=1m 亮煲：当向水情内注入某种透明溶液至图中EF位 堡迎训练 同出达标 检测题（十） 已知关闭折伞后，点A,E:H三点重合，点B与点M 时，会在右侧槽壁上C处形成一个充觅已知人 重合，当∠BAC=60时，点H列伞柄AB的距离为 1.如图1，某校学楼AB的后面有 一硅流物 1.4解直角三角形 身甘角∠A0N=45,斤时角∠C01M=60°.日0 CD,当光线与地面的夹角是30时，教学楼在建筑 【检测范困：1,41.6】 =0cm.则前后两个亮斑B.C之问的距离为 物的墙上下的影千正好与建筑物GD一样高.当 堡团训炼 定在支撑杆上的点A处若 ∠B4D=150°，A2 光线与地如的夹角是60时，敦学楼顶A在地面上 (满分：120分) 1.如图1，在△5C中，∠C=0,∠A=a. A.25 cm 150厘米.AD■30厘米，则活动杆端点D离地面的 的影子E到墙角C的距离EC=55m,到墙角R 精心选一选（每小4分，共32分 高度为 ( AB=5,则BC的长为 B.03:m 的距送BE=75m(点BE,C在同一条意线上) 2 5 6 7 8 A165厘米 B.(150+153)厘米 A.5tan a B.5sin o 建筑物CD的高度为 三，耐心解一解（本大息6小是，共6d分） C503-5)m C210知 0.10420.31W C.Scos a D. 5 n302-2005m A.9 B.5万m 15(I0分)在R△ABC中，∠C=90.4,b L,在△ABC中.∠B=90°，∠A=a,AB 8.如时7.在t△AB0中， 分别是∠A,∠B,∠C的对边，∠B=60”,a=4.解 6 C.21 m D.125m 4,则AC的长是 ABG=90,∠ACB=60°，在AC 这个直角三角形 上取一点E,使EC=3AE,D为AB 的中点.EB与DC交干点F.若DB 4 D.dian o ■25，ZADE■30°，则BF的民 度是 2如图1，一架民航客机在行途中遇到需绿 2.如图2.在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E. 区域，机组请示后决定从C点处以仰角α直线爬升 B.2万 c8 ∠B=120°，BC=10,则DE的长为 4.为出行方使，越来感多的市民使用起了共 至云层上方，爬升后客机所在的A点处相对于C点 二、组心填一填（每小题4分，共24分） A.5 B4 G.8 D.5 享单车，图2为单车示意图AB与地面平行，坐 2某数学兴趣小组用无人机测量南汐塔AB 处的飞行高度上升了12D0米，则客机直线E升的 9.在R△ABC中.∠G=90°AR■4.BC 的高度，测量方案如图2所示，无人机在距水平地 E离AG为 16.(10分)如图13，数学兴避小组利用无人 3.客含有30角的直角一角好知图3放智在 C可沿射线F方向节.已知∠ABE■70°，车轮 25,则o号 机薄量学校浙杆AB的高度，在距离撕杆20m处无 平面直角坐标系中，0B在x轴上，将三角板绕原 半径为30em,当BC=60cm时，小明体验后觉得 面120m的点M处测得潮汐塔顶潜A的俯角为 B.1200ina米 点0面时计旋转75，若04=3，则点A的对应点 骑着比较舒适，此时坐垫G离地面高度约为 22°，再将无人机沿水平方向飞行73m到达点N A米 10.一配电房示意图如图8所示，它是一个轴 人机竖直升空至D处，从无人机上测得杆端A A'的坐标为 处，测得潮的塔底播B的染角为45(，点M,N,A,B C.12D0esa米 D.1200ana米 点的第角∠EDA=37“,利得煎杆端B点的的角 em(结某情角到1：国，套考牡锡：i口70 对称图形已知BC=6m.BE=4m,∠ABC= ∠EDB=60°，求旗杆AB的高度（泰考数据： 094,es70°-0.34，am70°-2.75) 在一平面内).则湖塔AB的高度为（裹精 27,则房顶A离地面EF的高度为 m(结 sin371-0.60.co537*-080,an37°-075,3 5,如图3，轮船从B处沿渐偏 确到1m,参考数据sin22°w0.37,cos22°啊 要精确到01m,参考数据：wn27°=0.45，re%27a 东20方向匀速航行，在B处观测 0.93.an22-0.40) 0.89,an27w0.51) 1.73,站果精确到0.1m) A 4l m 日42m 灯塔A位干南偏东50°方向上，轮 好航行40海到达C处，在C处 C.43 m D.77m 玉.如图3，某兴睫小 得T赛A广于化信求0°片 3.加保图2，灯CD外别是一个相的南比调 4.如图4.在四边形ABCD中，∠C=20 上，则C处与灯塔A的距是 组用无人机进行航拍测 和B正东方向的财个村庄，CD=6km.且D位司 ∠B=∠D=90°，CD=3,BC=12,则四边形 高，无人机从1号楼和2号 ABCD的面积为 海用 的化偏东30方向上，则AB的长为 孝的地面正中间R点垂有 6.2025年央视春节联欢晚会中机墨人参与表 A.2 3 km B.33 km C.6 km D.3 km 11,如图9是一个太阳佳面板期面示意图，点 俺升提高 起飞到高度为60米的A 演的（秧0T》今人印象深刻，毓着科技发展，机 4.如图3，在矩形ABCD中，AB=1.BC=2,对 C是AB的中点.AB=8Dm当太阳光线与地面的 处，测得1号棱侦部E的 5,如图5.在△4CB中，∠A=30°，∠B= 器人逐步走进我门的生活，给生产活动带来了极 角线AC的亚直平分线分别交AD,AC于点E,0,则夹角为53时，太阳光线与面板亚直，此时太阳面 17.(10分)如图14，D为口ABCD的对线 角为60，得2号楼顶 45,AC=8 大的助力，如图4一①所示的~手驾机器人”的手 E的长为 板吸收光能的效半最高，则此时支果C增离地面的 E平分∠ADB,交AR于点E,过点E作下E⊥DE 部F的俯角为45.已知1号楼的高度为27米.则 (1》求AB的长： 臂与人体上技类威如图4-②，这是处于工作状 A 度为 rm(结果精确到Icm,参考数据： 号楼的高度为 米（结果保总考） BD于点F.AD=2,AB=2E,BD=4. (2)点P在线段AB上，连接CP,且an∠APG 本其型号手营机类人的示富，04经垂直十 tn53-0.80.co%53-0.60,lan53-1.33) 4.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物 (1)求证：口ABCD是矩形： 12.如图10，将45的∠A0B按下面的方式放 2,请直接写出∠BCP的值， 作台的移动基座，AB,C分别为机器人的大、小 (2)求EF的长 CD的高度，如图4，建筑物CD前有一段坡度为5 臀，其中小臂C=4米，大臂AB=5米，移动基 图在一把度尺上，点0与尺下沿的点重合 2的E.小、明同业上在上的用 10=4.5米，当AB⊥BC∠0AB=143°寸. 0A与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的 灯用义好求有量阳C的角为37“，容雪明 (1)求大，小臂连处B到移动基座0A的水 数为2m,若按相同的方式将38的∠A0C放置 又向下走了6.5米，网好到达坡花E处，这时测到 平拒离： 在该度尺上，别OC尺上沿的交点C在尺上的读 前均阳C的由为45，与A.B.CDE.F有 数 :m(结某到D,1m,参考数」 (2)求点C到工作台的高度CD的长（参考数 5.如图4为一大圳的横藏面图AD∥C,背水 同一平面内.若测角仪的高度AB=EF=1.4米 据：5in3790.60,w37n=080,n37° 求建筑物CD的高度（然果精确到0.1米，参考就 坡AB的坡度为原：1，迎水坡的坡角为0°，若D三 4413890.78} 0.75) 据：in37=0.60,0w370.30.37 4米，圳高为4万米，坡底C长为 A.17米B,18米C19米 D.0 18.(10分)如图15，小乐和小静一起从点A出 .75) 6.如图5，把一个长方形卡片ABCD板在何格 发去白是本阳对，乐日着水面步了7米可 1,5三角漏数的应用 宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线 达点B时拍到树点F,仰角为3：小静沿着坡度 年型调练 上，已划a■37，则BC的长约为（参考t据： =5：2的度步厅13米达点C时日到对使点 13.图11是某种型号拉杆箱的示意图.已知滑 时，的角为45。.发文烟末你对的高应（松果情蜂列 1,如果斜坡的坡面的铅重高度=子米，水 杆DE,箱体C,拉杆AB的长都相等，即DE=BC 1米芳：sn63 。0.9.w63g05 A.I5 ■AR点B,F在AC上，点C在DE上，支杆DF n63◆2.0 平宽度1。米，那么斜坡的坡角为 30m,CE:CD=1:3,∠DCF=45,∠CDF= 30°，则拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为 A.30B.45C.6r D.750 em(特果保阁报背). 2.一果飞机在密地面6000米的上空测得某 4,三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的 建筑物底部的俯角为30°，比时这架飞机与这 骨架是一个“移动刚”和多个“转动副”组成的连 图S 建流物底部之间的距离是 A.6000米 B.12000米 数理报社试整研究中心 7.如图6是战置在水平地面上的落抢式话简 “移动”（点B)沿着伞柄移时，折伞的每条骨 C6005米 D.2000米 (参考答案见19期】 架示意支撑杆AB重直于地面，活动杆CD固果都可以绕“转动幅”（点A,F,E,D,G,C,V,)转 (下转第4版)】