第10期 4.6 利用相似三角形测高-4.8 图形的位似（答案见12期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 数理超 数理据 2025年9月4日·星期图 初中数学 (上接第3版) 20.(12分)如图17，△4C是等使三角形。 351-27126 理纸发行质量反喷电话 19(12分)学习了相假三角形相关知识 AB=AC=5a,BC=6m.点D,E分别在BC,AC 10期总第1154期 北师大 035-5271248 中考 后，小明和同学想利用标杆湖量大楼的高度 上，目ADE=∠B. 铺助线周周练 如图6，小明站立在龙面点F处，使得小明的头 (1)求i证：BD·D=AC·CE: 上援4版参考答案) 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社辑出版 社长：徐文信国内统一连续出版物号：CN140707F) 邮发代号：21-205 1911D;D管 間点￡，示汗面点A、大搭的C在一系是 (2)若CD=2BD.求AD的长： 1.如图1所示，AB=4,AC=2,以BC为 (点F,B,D色在一条真线上).已知小明的身高 (3)探究：4E的长是否存在最小值？若存 力尚为出年腰有角三角形BD.车在D (2) 名师课堂 例1 如图1是器 EF=1.5米，标杆AB=25米，D=23米，FB 在，请求出该最小值：若不存在，请说期理由 长至点P,使PD=AD,则PB的是大值为 由：作AE 跷板示意图，支柱OM =2米 AF. 性质应用小超市 经过AB的中点0，OW 与抽古面CD正商干齿 (I)求大楼CD的高度为多少米(CD每直 。山东王文静 于地面BD)? 相做三角形具有“周长比等于相似比：对应 0M■30m.当晓跷板 (2)小明站在原来的位置，同学门通过移动 中线的比，对应角平分线的比，对应高的比都等 端B离地面的高度为 标杆，可以用同样的方法测得大楼CD上点G的 干相比：面积比等于相似比的平方”等性质 解析：因为四边形ABCD是平行四边形，厅 高度D=1.5米，折AB夜度向大整方间 灵活运用上述性压，可以帮助同学门解决许多以AB=CD,AB∥CD,所以∠AEF=∠CDF 移动多少米 2如图2，在口ABCD中，对角线AC和D 所以 相关问题 ∠FAF=∠DCF,折以△FAF△DCF,因为 形 相于点0.ADm5.AC8.Dm6.5王长0 应用一 相似三角形周长的比等于相比 D ∠2ME,所以△O 至点E,连接OE交CD于点F,若∠E= 例1若两个相以三角形周长的比为1：4。 所盖子所以 则这两个三角形对应边的此是 解析：司BBE 子∠ACD.刘战段0F的长为 A1:2 B.14 C,1:8D1:16 (=云敞地去 CD于E,则OM∥BE 处 解析：因为两个相似三角形周长的比为1： 0(1)正期：因为 应用三：相似三角形对应高的比等干相做比 因为0是AB的中点，所 4以相及一珀时应力的比为1：4，故先B, 例3已知△AC△DEF,且AC:DF= 程的中点，所似CW 应用二：相似三角形面积的比等干相比 头转0甜洋甲3087睡弹·号- 30 2:3,BC与EF边上的高分别记为4，和：，则 M =AB.2 的方 别2们，在三行四 A,:等于 用群g707街到8∥0'号 ■20■2×30■60(em).故填60 =∠BCM因为DE 边形ABCD中，E是线段AB 解析：因为△ABC∽△DEF.AC:DF=2: 例2 (九意算术)中 阳二■0话面中坐=出 GM.所以∠CDF 上一点，连接AG,DE交于点 3,所以为，：A2=AC:DF=2:3.故填2：3. 有这样一个同题：“今有 ” 邑方不知大小，各中开门 方法技 出北门一百步立一表，出 酒到作中D座（些醛】广之 门二百二十五步适可见 ∠GE,所以△GD ACB4. 位似变换中点的坐标的确定 之，何逼方几间？”女的商 H. 2)证明： 思是：如图2，M,N分别是正方形城鱼ABCD的 。山西赵华 知，C。 力AD.AB向中5,1ELAD.WF⊥AB.口川EF 王所面直角华乐中。里位退变机是以 与△AB'C”的相以比为 过点A,且ME=100步，NF=225步，那么该正 0医量鳕钢明猛电三讲8V 数理报牡试题研究中心 3HV7#里.St=8V7=1837 原点为位假中心，变换后的图形与变换前图意 1:2.点A是位中心，已 有并形成层的动长AD的为 参考答案见12期 DE=CM,所以DE 8 的相腻比为k,那么原图上点(x,y)的对应点的知点A(2,0),点C(@ 解析：因为ME⊥AD,NF⊥AB.所以 ,所瓷- 坐标为（点，y)或(-，-）：对于位似中心).∠C=90.则点C的 LFNM=∠AME90，因为四边形ABCD是 第9期2版参考答案 三出县到会#“订'3程“d3“4 ,即BC2D 非原点的位似变换，解题时要充分发挥位赋图 坐标为」 (站果用含，b的式子表示 正方形，所以∠AN=90,所以∠F= 4.4探索三角形相的条件（第一课时 似△4'B"C一△A8C (3)过点A作 形的定义和相假三角形的性质的作用 解析：过点C,C分别作x轴的垂线CD 基述塔1，C:2: 44损索三角形相低的条件（第四课时】 刻于点P,过点居作同 一，位似中心是原点，求图形上点的坐标 CD',延足分别为D,D因为△ABC与△ABC ∠B,所以△WE一△P,所袋-兴 某到1B:1D:3(0510》: 例1如图1，在平面直 的相似比为1：2，点A是位鼠中心，A(2,0).所 设AD=2a步，则AM=AN=a步，因为ME= M,M正长线 是平行四边 所园 能力提5》设4，-，，--，因为 店=2，=.所以- =2又因为∠ABC= Am.又因为4CCB,所以乙 点O,刚AP∥DE 线：：，用：1-动×，得.号 角华标系中，矩形0ABC的顶 以AD=2AD,因为G(,b).所以AD=#-2 10步，25步，所以2高解得 ∠D.时△ACADE =∠CAB=∠AG.因为∠EAF=∠CB,所以∠BA 点0在坐标煤点，边04在x CD=6,所以AD'=2a-4.CD=2b.所圆 150(负值会去)，所以正方形城邑的边长AD= m∠AE,所以AFA△A. 17.I)正明：因为AC平分∠，所以∠D4C= 44探索三角形相板的条件（第二课时】 成=二山气去》，所以的长4的 上C4因为AC=A括 A,所-所烈△A 器因为点M为 轴上，边C在y轴上，果矩 6 广(2-2a+4.0),所以(6-2a,-2站).故填 2a=300步.故填300 形OABC与矩形0ABC关 (6-24,-26). 例3“矩”在古代 基础练1：2.D:1号攻9 长度为黄金分致 的中点，所以A 因为 干点0位限，且相比为 三、求位似中心的坐制 ,那么点B的坐标为 指两条边呈直角的曲尺 4.(1,42或3,4. (2M,=5 2》CE月A,用由：因为△ADC△ACB,所以 到3☒3.已 (-图中的DEF)小南 能力提高5(I)明：因为4B=24D,AC= ∠ACB■AC9.因为点E为A的中点，所以CE ￥以△AWPa△RO 矩形ABC0与矩形 利用“矩”离量大树AR 2,所能2又园为L4，所以△4E 第9期3版参考答案 =AE=AR,所以EAC=LEC4国为∠D4C= 以P程mOM.因为 4.(3,2) B.(-3,2》或(3，-2) DEF是位限图形，M是 的高度.如图3，小南通 -,题？345678 F为C的中点，所以 C-3.-2)D.(23)或(-2，-3) 位限中心，若点B的坐 过不析围款购口a容势打“5“的限收位香，姓 (2)因为A52,4D3,所以.20-64C #黄D ABB CC B D 1R)明：因为浩-能，长所以△AC一 CF=FM=Gf,所 解析：由图可得B(-6,4),因为矩彩标为(4,3)，点E的坐标 边DF保特水平，并且边DE与点B在同一直 品·警器， 4'B'C与矩形04BC关于点O位，且相比 线上.已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m, 22或号4《-号)或-3 △AE,所以∠星C=∠DAE,所以∠BAC-∠DAF= 为(-2.三)，图中点M的华标为 DEQ3m,点D到地面的距离DM为.6m 士-品-3所以3aw“宁msm- D4E-∠DAP斤以∠及4D=CAE 三，5旺明：因为△CD是等边三角形，所以 《2)因为△BC一△AE,以∠ABC=∠AE 为所以当矩形01'C在第二象限时，点 解析：因为点B的坐标为(4,3)，点E的坐 附得AM=21m,求树高AB. 5 LD=∠PDC=ms.PC=CD=D=2.所以∠G4 ++W+四 解：制据题意，得LDEF=∠CD=90 的∠AG∠E+∠，∠AD=∠AB直+∠4D, ,∠PmB,120,又因为G1,m4,嗣%一焉所以∠C=∠4D=2 的坐标是(-6×，4×)，即(-32)：当矩形标为(-2.2)，所以4B=3,04=4,0D=号 ∠EDF=∠CDB,所以△DEF∽△DCB,所以 44探索三角相的条件（第三课时 基陆训练1，D；2.C；36；42现4 《(球明：)如∠D=2CE因⅓德-答 +。2 CF 0A'B'C在第四象限时.点B的坐标是(6×， 因为矩形ABC0与矩形ODEF是位图形，M是 5△4C气△C相拟，理由：因为点A”,,C 16(1)135,22, 所-新以△D△4E (金文完) 分是我段04,0,0C的中点，所以A8”=一8，C 4×，即(3-2).故达 位中e,所以··以0 =CD=21m,所-%=子，解得BC= 2)△A5C一ADEF.理由：因为A出-2，C,22, (下转1,4版中缝 14m.因为AC=D=L.6m,所以AB=AC 二，位似中心非原点，家围形上点的坐标 =01=4.所以点半标为(-4,0).故填C=15.6m 例2如图2，在平面直角坐标系中，△4BC(-4,0). 答：树高AB为15.6巴 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 2.已知AABC∽△DEF,且面风比为9：16， .8图形的位似 三，耐心解一解（本大题6小，共科分》 跟踪训练 则△AC与△DFF的对应中线之比为 A.3:4 且尽：2 修出铺练 同出达标 检测题（七） 15(10分)小华在平面直角坐标系中画出了 △ABC的位假图形△A,B,C,如图12所示 C.0:16 D.81:256 1.如图1在正方形冈格图中，△4BC与 (1)写出△AC与△A,B,C,的位似中心的坐 16利用相似三角形测高 3.如图1，D,E分别是△ABG的边AB,BC上 △A'BC是位似图形.则位氨中，心是 【检测范：4.64.8】 的点，且DE∥AC,AE,CD相交于点O,若Sa A点B.点PC.点Q (2)以点0为位腿中心，在y轴的左画山 D.点0 S8an■1：16，则5amw:Sam■ (满分：120分 △AB,C,的位敏图形△AB,C,且△AB,C与 △A,BC2的相比为2：1. 1.如图1，阳光从某仓库度户射入照到地面 A.1:3 H.1:4 D.1:25 ,精心选一选（每小题4分，共32分 上，垂直地面的户边框AB在地面上的影长D 号1 3 6 7 =3m,窗户下檐到地面的距离C=5m,EC= 4m.那么窗户的高AB为 8.如图6.在菱形ABCD中，∠ABC■120°.A月 A.2.75m 且.3.25m 【.下列方中的两个图形不是位似图形的 2如图2，已知△ABC与△ABC是以点0 =6,E为BC的中点，F是CD上一点，G为AD上 C.35m ).3.75m 为位似中心的位以彩，相似比为2：3，下列说法 点，且CF=2,∠GEF=60°，GE交BD于点H,则 共里的是 A.AC∥A'C 0D4同 品约为 16.(10分)如图13，已知∠B4C■∠D4E 一个题形空心零件的上面有个孔，面 B.4:9 4.4 c ∠ABD=∠ACE (1)求E:△ABD∽△ACE: 图如图2所示，若0A:OD=0B:OC= ,且 C.△BCDA△B'G0 2.两个相赋三角形的相似比为1：2，则这两个 二、细心填一填（每小题4分，共24分】 得AB■a,则厚度x可表示为 D.0B:BB=3:2 角形的对应高之比为 9.如图7，AB"∥AB.BC （2)若光5m27请直接写出5a 5.如图3，将△ABC沿BC方向平移得到 3如图3，以点0为位似中 A.1i16B.1r2C.3:1D.114 2.(九章算术》中记藏了一种测且古并水面 BG,且0:AA=4:3,若 的值 以上部分深度的方法，如图2所示，在井口A处立 △DEF,△ABC与△DEF重叠部分（图中游瑟布 心，作四边形ABCD的位图 3.如图1，为了估计河的宽度，在河的对岸选 △ABC与△A'B'C是位以图 形A'BCD',已知0A=2.0A 定一个目标作为点A再在可的这一边达定点B和 一一根垂有十共口的大杆AB,从太干的山出B离 )的面积是△ABC的面积的)已如BC=5,则 形，则△BC与△ABC的相 并水水岸D.视线BD与井口的直径AC交于点E, :5,若四边形ABCD的血积男 C,使AB⊥BC,然后再选定点E,使EC⊥BC,用视 以出为 △ABC平移的距离为」 线确定BC与AE交于点D,此时，测得D■8Om, 向m里只AB2米，3.2米，AE■0.8来， 8,图边彩术BCD心的面积为 I.已知△ABC△DEF,△DEF的周长是 DC=40m,EC=36m,两岸间的距离AB为 么CD为 △ABC得长的一半.若Sw=6,AB=8,则AB边 A.3米 B,4米 4.已知△4BC的点4的坐标为(0，-2)，若 上的高等于 以原点0为位但中心回△4，B,C,,使△A,B,C,与 A.72m B,84m C.88m D.92m C.5米 D.6米 11.如图8，现有薄试离为5m的一张视力 3.如3，在A时测得撳杆 △ABC的相假比为2：1，测点A,的坐标为 表，表上一个E的高AB为2.5m,要制作测试距 的影长是4米，B时滴测得旗杆的 离为3m的视力表，其对应位置的E的高CD应为 影长是16米，若两次的日照光 5.如图4，△A0中三个 em. 17,(10分)为了解土法，某校在一次综合 6如图4，在△ABC中，D,F为AB的三等分 顶点的坐标分捌为(4.0).(0， 尖践活动中进行实龙测量，如图4.产生日影的杆 线恰好垂直，则旗杆的高度是 点，点E.G在AG上，且DE∥FG∥BC,△ADE,四 米 0).(4,3).AP为△A0C的 子AB垂直于地面.在夏季的某天正午，杆子AB在 边形DFGF,四边形FGCB的面积分别为5，.S: 条中线.以0为位氨中心，把 4.如图2，在平面直角坐标系中，△BC 太阳光线AC照射下形成影子BC:在冬季的某天正 使刀提商 ,,05:5,F5= △A0P每条边扩大到原来的2 3 △A'BC是位似图形，位限中心为点0.若△AB 午，杆千AB在太阳光线AD照射下形成影子BD,若 能力提高 倍.得到△4'0P“.则PP的长为 ∠ACB+∠D=90,BC=2.5尺，CD=23.1尺. 4,如图4，晓波拿碧一根笔直的小BG,站 的周长为6，且点A(-3,I)的对应点为A'(-6, 距某建筑物约30米的点N处（即V=30来），把 7.如图5，在△ABC中，点D在AB上（点D不 唾力提高 2),则△AC的周长为 12.将一把直尺与△4BC按如图9所示的方式 求杆子AB的高度 手臂向前仲直且让小棍C影真，C∥DE,晓被 A12 B.24 C.32 D.36 与点A,B童合).且DE∥BC交AC于点E 摆放，AB与直尺的一边重合，AC,C分别与直尺的 6如图5，在平面直角坐标系中，△A0B的质 香利山B如君简物的斜D在一原直安上，互C面 (1)若AN⊥BC于点N,交DE于点M,求E 5.如图3，五线游是由等距送，等长度的五条 另一边交于点D,E.若点A,B,D,E分别与直尺上 家猫￡在一条直线上已知晓被的臂长CM约为 点坐标分别为A(2.1).0(0,0).B(1,-2)。 E 平行横线组成的，同一条直线上的三个点A,B,C的刻度45,8,5,5,7对应，直尺的宽为1m,则点 (1》画出将△AOB向左平移3个单位长度 60厘米，小棍BC的长为24米，AN⊥EN,CM」 部在横线上，过点A的另一条直线分别与点B,C所 C边AB的距离为 再向上平移1个单位长度后的△4，O,B,: AN.DE⊥EX.求这个建筑物DE的高度 (2)若D是AB的中点，设△ABC的面积为S, 在横线的交点为点D,E,则△ABD与AACE的面 (2)以原点0为位线中心，相假此为2：1，在 △DBC的面积为s,求号的的 阴比为 轴的左面出△A0,B,故大后的△AO,B: D. 3》指r△A0R与△A.0.B.甚台片共干某 点为位似中心的位似图形？若是，请直接写出该 点的坐标：若不是，请说明理由， 13如图10，在杠杆的点A处焊接圆，已 18.10分)卤知15.在正方形ABCD中，5G 门印B0=240,共速婆用求向司上台开（餐直高 是对角线D上一点，CG的延长线交AB于点B,交 度)12cm,杠杆的另一增点B需要向下压的竖直 DA的延长战于点F,连接AG 百资只 (1)求证：AB=BE·DF 6.如图4，将△ABC沿BC边上的中线AD平移 到△ABC的位置.已知△ABC的面积为9.阴影 14.如图11，在平面直角坐 (2)若GE=百，GC=3E.求EF的长 示xy中，以)为位饭中心 B分三角形的面积为4，若AM”=1,则A'D的长为 将边长为8的等边三角形04 作位变换，经第一次变换后 A.2 B.3 c子 D. 得到等边三角形0A,B,04= 4,7相似三角形的性质 7.如图5，在平面直角坐标系中，△0A是等 O4,经第二次变换后得到苦 稷三角形，OA=AB.△OAB与△YA'是位就图 每证训练 形，其中对应点A和的坐标分是(1,2)，(7， 边三角形0A:B,04,=0A,…,按此规律，经第 -4),则位威中心的华标是 1,已知△ABC∽△DEF,相限比为1：3，且 L(3,0) B.(4.0) :次变换后，所得等边三角形0A,B,的顶点A的坐 △ABC的周长为15，则△DEF的周长为( 数理报牡试题研究中心 A.1 .45 C.5 D.30 (参考答案见12期) C(3.0) D(3,0) 际为（分，0），则n的值是 (下转第4版)