第5章 三角函数（知识清单）数学湘教版必修第一册

第5章 三角函数（知识清单） 清单01 任意角与弧度制 知识点01 角的概念的推广 1、条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为 正角 ；如图1-1。 以顺时针方向旋转所成的角称为 负角 ；如图1-2。 不旋转所成的角称为 零角 ，用0°表示。零角的始边与终边重合；如图1-3。 图1-1 图1-2 图1-3 2、我们把所有与角终边相同的角用集合表示出来，即 ， 当k=0时，角就是角本身. 知识点02 弧度制 1、把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作 角度制 。 2、规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 1弧度 的角，弧度用符号rad表示，读作弧度。 3、以“弧度”作为单位来度量角的单位制，叫作 弧度制 。 注意：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 4、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°=≈0.01745(rad) 1rad=≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是。 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 4．弧长公式、扇形面积公式: 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为。 (1)由公式，可得扇形的弧长公式 ；(2)扇形的面积公式 。 清单02 任意角的三角函数 知识点01 任意角三角函数的定义 1、用比值定义三角函数： 1）如图，设是一个任意角，在角终边上OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标为(x，y)定义：，，，其中。以上三个比值分别称为角的正弦、余弦、正切。 2）三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 三角函数 正弦函数： 余弦函数： 余弦函数： 定义域 2、用有向线段表示三角函数：在三角函数的定义式中，取r=1，即让点P（x，y）在单位圆上， 则，，。 正弦线：PD； 余弦线：OD； 正切线：AT。 正弦线、余弦线、正切线统称为 三角函数线 。 3、三角函数的符号 【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02 同角三角函数的基本关系 1、平方关系： ， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。 2、商数关系： ，文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切。 知识点03 诱导公式 1、诱导公式 诱导公式一：，，，其中。 诱导公式二： ，，。 诱导公式三： ，，。 诱导公式四：，，。 诱导公式五：，，，。 诱导公式六： ，。 诱导公式口诀：“奇 变 偶 不变 ，符号看 象限 ”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号。 2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1）“负化正”：用公式一或二来转化；2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； 3）“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。 清单03 三角函数的图象与性质 知识点01 正弦函数、余弦函数的图象与性质 1、如图1，正弦函数的图象叫 正弦曲线 ；如图2，余弦函数的图象叫 余弦曲线 。 图1 图2 2．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 正弦函数的五点是：； 余弦函数的五点是：,,,,。 3、周期函数的定义 1）函数，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则函数是 周期函数 ，T是它的一个 周期 。 2）若T是函数的一个周期，则T的非零整数倍也是函数的 周期 。 3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指 最小正周期 。 4、正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点02 正切函数的图象与性质 1、如图1，正切函数的图象叫正切曲线。 2、正切函数的图象： 3、正切函数的性质 1）定义域： ； 2）值域： R ； 3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ； 4）奇偶性：正切函数是 奇函数 ，即； 5）单调性：在开区间内，函数单调 递增 。 清单04 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 知识点01 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 1、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1）A决定了函数的值域及函数的最大值和最小值；2）φ决定了x=0时的函数值；3）ω决定了函数的周期。 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1）简谐运动的振幅就是A；2）简谐运动的周期是T＝；3）简谐运动的频率是f＝＝； 4）ωx＋φ称为相位；5）x＝0时的相位φ称为初相。 4、三角函数图象变换：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 清单05 三角函数模型的简单应用 知识点01 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 3、解三角函数应用问题的基本步骤 4、建立三角函数拟合模型的注意事项 1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数。 2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题。 3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题。 【易错01：忽略扇形相关公式应用中角的度量制】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（24-25上·江苏南京·高一联考阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的弧长为，半径为，根据已知的扇形的圆心角，面积， 由扇形的面积公式，得，解得（负值舍去）， 由弧长公式，故选：B 【针对训练】 1．（24-25上·四川成都·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】D 【详解】由扇形的圆心角为，即为，又弧长为，故扇形的半径为，故选：D 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设该扇形的圆心角弧度为，则， 则.故选：A. 【易错02：应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置】 【典例】（24-25上·黑龙江·高一校考期末）已知终边过点，且，则得值可以为（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】ABC 【详解】根据三角函数的定义可得，， 所以或，即. 故选：ABC 【针对训练】 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）的值可能为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】AD 【详解】因为，所以且， 若在第一象限，则，故原式， 若在第二象限，则，原式， 若在第三象限，则，原式， 若在第四象限，则，原式故选：AD 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若角的终边经过点，且，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】ABC 【详解】由三角函数定义得，故， 若，满足要求，若，则，解得，综上，.故选：ABC 【易错03：应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围】 【典例】（24-25上·广东珠海·高一校考期末）已知角的终边过点，且． (1)求的值；(2)若，，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）因为角的终边过点，， 所以，解得，（舍），则，． （2）因为，，所以， 则 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏·期中）已知角的终边经过，且，求三角函数的值； 【答案】； 【详解】，解得（负根舍去），则. 所以. 2.（24-25高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【答案】 【详解】由于为第二象限的角，则， 根据三角函数的定义，，解得，则 【易错04：忽略题目隐含范围致错】 【典例】（24-25上·天津·高一校考阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求的值． 【答案】(1)，钝角三角形；(2). 【详解】（1）由，两边平方得， 即，所以； 由是的一个内角，得，则，而， 则，有，所以是钝角三角形. （2）由（1）知，，， 所以. 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 【答案】 【详解】因为为三角形的内角，所以， 又，所以，即，所以， 所以，所以.故答案为： 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：因为是三角形的内角，所以，即， 又，，所以. 法二：由①两边平方得， 所以，又因为是三角形的内角，所以，即， 所以，所以， 又，所以②， 联立①，②，解得，所以.故选：B. 【易错05：不能精确确定角的取值范围导致错解】 【典例】（24-25上·安徽安庆·高一校考阶段练习）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值；（2）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【详解】（1），解得或，由于是第三象限角，所以， 所以. （2）由两边平方并化简得， 由于，所以，所以， 所以， 所以. 【针对训练】 1．（2025高三·重庆·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以，故B正确． 又，所以，所以由，解得，故C错误， 所以，，故A错误，D错误，故选：B． 2．（2025高一·江苏·专题练习）已知是三角形的内角，，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】设，则． 因为，所以，得到， 又，所以．设，则， 因为，所以， 又，则，所以，故答案为：. 【易错06：不能确定角之间的特殊关系导致诱导公式应用失误】 【典例】（24-25上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题，令，则，， 所以.故选：A 【针对训练】 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】.故选：D. 2．（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】, 由于，所以，结合 故，所以，故选：A 【易错07：忽略中系数k的分类讨论】 【典例】（24-25上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】点的初始位置，锐角， 设时刻两点重合，则，即， 此时点，即，， 当时，，故A正确； 当时，，即，故C正确； 当时，，即，故D正确； 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合，故B错误，故选：ACD. 【针对训练】 1．（2025高三·广东·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，得，， 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 由，，得，， 当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为， 所以在区间不单调. 故选：B 2．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，且同时出发．A的起点为圆O与x轴正半轴的交点，其角速度大小为；B的起点为射线与圆O的交点，其角速度大小为．则当A与B重合时，B的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】设ts时A与B重合，依题意，，，解得，， 若B的坐标为，则，，则， 整理得，，，显然当，时，成立，A正确； 若B的坐标为，同理，整理得，，， 显然当，时，成立，B正确； 若B的坐标为，同理，整理得，，， 显然当，时，成立，C正确； 若B的坐标为，由上可知，，整理得，，， 因为为偶数，为奇数，因此不存存，，使得成立，D错误．故选：ABC 【易错08： 利用图象求三角函数解析式时选点不当】 【典例】如图是函数的部分图象，则其解析式可以为（ ） A．  B． C．     D． 【答案】A 【解析】 观察题图可得函数的最小正周期为， 所以，故或．观察题图可得当时，函数取最小值， 当时，可得，，所以，，排除BC； 当时，可得，， [易错警示选点不当致错！此处若选取或求解，则容易因忽视该点所在的单调区间产生错解．故选点时优先选取图象上的最高点或最低点] 所以，，令，得，故函数的解析式可能为，A正确． 对于D，，D错误．故选A． 【针对训练】 1．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（   ）（多选题）    A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D．函数在区间的值域是[] 【答案】AC 【详解】由图可知：，的最小正周期， 当时，，，，所以故； 对于A，，正确；对于B，，错误； 对于C，将向右平移，得到，正确； 对于D，时，，则，因此，在区间的值域是[]，错误；故选：AC. 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】对于A，由图可知的最小正周期，则，故A正确； 对于B，由，可得， 因为，所以，所以，所以，故B错误； 对于C，由对A、B的分析得， 则，故C正确； 对于D，当时，，又在上单调递增， 故在上单调递增，D正确．故选：ACD 【易错09：忽略函数定义域出错】 【典例】（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【答案】(1)(2). 【详解】（1）由图可知的最小正周期，则. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，， 当，即时，取得最大值，， 则，即在上的值域是. 【针对训练】 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）令，则， 的单调递减区间为； （2），，在上单调递增， ， 方程在区间上有解，的取值范围为. 2．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值；(2)求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1).(2)(3) 【详解】（1）解：因为函数的最小正周期为，且，所以，可得. （2）由（1）知，令，解得， 所以函数的单调递减区间为. （3）解：当，可得，所以， 则，所以函数在区间上的值域为. 1．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为．故选：C. 2．（25-26高三上·山东·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得角α的终边经过点，，根据三角函数的定义得.故选：C 3（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则.故选：A 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第k个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】由题意，令， 则，所以，解得， 因为，所以，则一年中是“旺季”的月份有5个.故选：C 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得， 由， 所以，则.故选：D. 6.（2025北京清华大学附属中学月考）已知，，，，则（ ） A．1     B．2     C．3     D．4 【答案】D 【解析】的最大值为1，最小值为，设的最小正周期为T， 因为，，，， 所以[易错警示利用三角函数图象上的点求周期时，若选择相邻的两个最高点或最低点，它们之间的水平距离就是一个最小正周期；若选择相邻的一个最高点和一个最低点，它们之间的水平距离就是半个最小正周期；若选择相邻的两个平衡点，它们之间的距离也是半个最小正周期]， 即，解得．故选D． 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知终边过点，且，则得值可以为（    ）（多选题） A．0 B．1 C． D．4 【答案】ABC 【详解】根据三角函数的定义可得，， 所以或，即.故选：ABC 8．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】角的终边与单位圆交于点，则，解得， 对选项A：，正确；对选项B：，错误； 对选项C：，正确；对选项D：，错误；故选：AC. 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为， 由题意可知，两质点起始点相差角度为，则，解得， 若，则，则重合点坐标为， 若，则，则重合点坐标为，即， 若，则，则重合点坐标为，即， 根据周期性可知，其余重合点与上述点重合，故A和D正确，B和C错误.故选：AD 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（    ） （多选题） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 【答案】ABC 【详解】由图可知：，故， 结合以及位于函数上升的图象上，故， ，且点位于减区间内，故，所以， 由于则，故，因此，故，A正确， ，故是函数的一条对称轴，B正确， 对于C，令，则 ，当时，， 要使在上有且只有6个根，则，解得，故C正确， 对于D, 的图象向左平移个单位长度后得到函数，故D错误，故选：ABC 11．（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 【答案】 / 【详解】因为圆心角为，半径为4，所以弧长为，该扇形的面积为． 故答案为： 12.（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ． 【答案】 【详解】设，由题意得，， 根据诱导公式五，.故答案为： 13．（2025高二·广东·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【详解】因为， 所以.故答案为： 14．（2025高三·湖北·专题练习）函数在上的单调递增区间为 ． 【答案】 【详解】由函数， 令，可得， 当时，可得；当时，可得， 所以在上的单调递增区间为．故答案为：. 15．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由可得：， 因为正弦函数的单调递增区间是， 所以，解得：，由解得：， 因为，所以当时，有，当时，有，故答案为： 16．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 【答案】 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 而且，， 所以由函数的定义域为，值域为， 可得：，所以实数的取值范围为，故答案为：. 17．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值；(2)求的值. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）将两边平方得：，， 又，，， . （2）由（1）可知， 又，，，. 18．（24-25高一上·四川德阳·期末）（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）原式. （2）因为，所以， 解得，所以， 因为角为第二象限角，，所以， 所以由解得. 所以，所以. 19．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知函数． (1)求的单调减区间；(2)求在区间上的值域． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由得， 所以的单调减区间为； （2）当时，，所以，所以. 20．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)，的递增区间为(2)表格见解析，函数图像见解析(3) 【详解】（1）因为，所以． 令，解得， 所以的递增区间为； （2）因为，当时，，列表如下： 0 1 4 6 1 2 0 0 1 作图如下： （3）因为，所以， 又，由（2）的图象，且，可知，所以的取值范围是． 21．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数，(1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值；(3)求方程的解. 【答案】(1)(2)(3)或或或 【详解】（1）的单调递减区间为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 且，， 所以当时，，所以函数在区间上的最小值为. （3），则.因为，所以或或或. 22．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. (1)求函数的解析式；(2)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (3)将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 【答案】(1)(2)图形见解析(3) 【详解】（1）由已知有，解得，， 由题意可知，函数的最小正周期为，故， 因为点是函数图象上的最高点，则，所以， 因为，所以，故. （2）用“五点法”画函数在一个周期内的简图， 令，则，列表如下      （3）将函数的图象向右平移个单位长度所得函数为 ，其图象关于轴对称， 则，所以， 又，所以，即的最小值为. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 三角函数（知识清单） 清单01 任意角与弧度制 知识点01 角的概念的推广 1、条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为 ；如图1-1。 以顺时针方向旋转所成的角称为 ；如图1-2。 不旋转所成的角称为 ，用0°表示。零角的始边与终边重合；如图1-3。 图1-1 图1-2 图1-3 2、我们把所有与角终边相同的角用集合表示出来，即 ， 当k=0时，角就是角本身. 知识点02 弧度制 1、把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作 。 2、规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作 的角，弧度用符号rad表示，读作弧度。 3、以“弧度”作为单位来度量角的单位制，叫作 。 注意：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 4、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°=≈0.01745(rad) 1rad=≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是。 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 4．弧长公式、扇形面积公式: 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为。 (1)由公式，可得扇形的弧长公式 ；(2)扇形的面积公式 。 清单02 任意角的三角函数 知识点01 任意角三角函数的定义 1、用比值定义三角函数： 1）如图，设是一个任意角，在角终边上OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标为(x，y)定义：，，，其中。以上三个比值分别称为角的正弦、余弦、正切。 2）三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 三角函数 正弦函数： 余弦函数： 余弦函数： 定义域 2、用有向线段表示三角函数：在三角函数的定义式中，取r=1，即让点P（x，y）在单位圆上， 则，，。 正弦线：PD； 余弦线：OD； 正切线：AT。 正弦线、余弦线、正切线统称为 。 3、三角函数的符号 【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知识点02 同角三角函数的基本关系 1、平方关系： ， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1。 2、商数关系： ，文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切。 知识点03 诱导公式 1、诱导公式 诱导公式一：，，，其中。 诱导公式二： ，，。 诱导公式三： ，，。 诱导公式四：，，。 诱导公式五：，，，。 诱导公式六： ，。 诱导公式口诀：“奇 偶 ，符号看 ”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号。 2、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1）“负化正”：用公式一或二来转化；2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； 3）“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。 清单03 三角函数的图象与性质 知识点01 正弦函数、余弦函数的图象与性质 1、如图1，正弦函数的图象叫 ；如图2，余弦函数的图象叫 。 图1 图2 2．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 正弦函数的五点是：； 余弦函数的五点是：,,,,。 3、周期函数的定义 1）函数，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则函数是 ，T是它的一个 。 2）若T是函数的一个周期，则T的非零整数倍也是函数的 。 3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指 。 4、正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 知识点02 正切函数的图象与性质 1、如图1，正切函数的图象叫正切曲线。 2、正切函数的图象： 3、正切函数的性质 1）定义域： ； 2）值域： ； 3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 ； 4）奇偶性：正切函数是 ，即； 5）单调性：在开区间内，函数单调 。 清单04 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 知识点01 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质 1、A，ω，φ对函数y＝Asin（ωx＋φ）图象的影响 1）A决定了函数的值域及函数的最大值和最小值；2）φ决定了x=0时的函数值；3）ω决定了函数的周期。 2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 3、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1）简谐运动的就是A；2）简谐运动的是T＝；3）简谐运动的是f＝＝； 4）ωx＋φ称为；5）x＝0时的相位φ称为。 4、三角函数图象变换：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 清单05 三角函数模型的简单应用 知识点01 三角函数模型的简单应用 1、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 2、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 3、解三角函数应用问题的基本步骤 4、建立三角函数拟合模型的注意事项 1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数。 2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题。 3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题。 【易错01：忽略扇形相关公式应用中角的度量制】 由于函数的值域是由函数的定义域及对应关系（法则）来确定，所以判断两个函数是否表示同一个函数，只需判断定义域和对应关系（法则）是否都相同即可。 【典例】（24-25上·江苏南京·高一联考阶段练习）一个扇形的圆心角为，面积为，则该扇形弧长为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25上·四川成都·高一校考阶段练习）已知扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为（    ） A． B．3 C． D．6 2．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【易错02：应用三角函数的定义求值时遗漏终边的位置】 【典例】（24-25上·黑龙江·高一校考期末）已知终边过点，且，则得值可以为（    ） A．0 B．1 C． D．4 【针对训练】 1．（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）的值可能为（    ） A．1 B．3 C． D． 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）若角的终边经过点，且，则（     ） A．0 B．1 C． D．2 【易错03：应用三角函数的定义求参数时忽略参数的取值范围】 【典例】（24-25上·广东珠海·高一校考期末）已知角的终边过点，且． (1)求的值；(2)若，，求的值． 【针对训练】 1．（24-25高一上·江苏·期中）已知角的终边经过，且，求三角函数的值； 2.（24-25高一·上海·课堂例题）已知为第二象限的角，其终边上有一点，且．求． 【易错04：忽略题目隐含范围致错】 【典例】（24-25上·天津·高一校考阶段练习）已知，其中是的一个内角． (1)求的值，并判断是锐角三角形还是钝角三角形；(2)求的值． 【针对训练】 1．（24-25高一下·上海嘉定·阶段练习）已知三角形内角满足，则 . 2．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知是三角形的内角，且，则的值是（   ） A． B． C． D． 【易错05：不能精确确定角的取值范围导致错解】 【典例】（24-25上·安徽安庆·高一校考阶段练习）（1）已知是关于的方程的一个实根，且是第三象限角，求的值；（2）已知，且，求的值． 【针对训练】 1．（2025高三·重庆·专题练习）已知，，则下列选项中正确的有（ ） A． B． C． D． 2．（2025高一·江苏·专题练习）已知是三角形的内角，，则的取值范围是 ． 【易错06：不能确定角之间的特殊关系导致诱导公式应用失误】 【典例】（24-25上·江苏常州·高一校联考阶段练习）若 ，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（24-25高一下·广东湛江·阶段练习）若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·重庆九龙坡·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【易错07：忽略中系数k的分类讨论】 【典例】（24-25上·江苏无锡·高一校联考阶段练习）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点，的角速度大小为，起点为角的终边与圆的交点，则当与重合时，的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（2025高三·广东·专题练习）下列区间中，函数不单调的区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）质点A和B在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆O上逆时针做匀速圆周运动，且同时出发．A的起点为圆O与x轴正半轴的交点，其角速度大小为；B的起点为射线与圆O的交点，其角速度大小为．则当A与B重合时，B的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 【易错08： 利用图象求三角函数解析式时选点不当】 【典例】如图是函数的部分图象，则其解析式可以为（ ） A．  B． C．     D． 【针对训练】 1．（25-26高三上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是（   ）（多选题）    A．的图像关于直线对称 B．的图像关于点对称 C．将函数的图像向右平移个单位长度得到函数的图像 D．函数在区间的值域是[] 2．（2025·陕西·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D．在区间上单调递增 【易错09：忽略函数定义域出错】 【典例】（25-26高三上·河北·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式；(2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 【针对训练】 1．（24-25高一下·陕西汉中·期末）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)若方程在区间上有解，求实数的取值范围. 2．（24-25高一下·广东中山·阶段练习）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值；(2)求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的值域． 1．（25-26高一上·河北保定·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·山东·阶段练习）在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）随着生态环境的改善，每年来某地湖泊繁育幼鸟的各种鸟类越来越多，鸟类众多、比较集中，且各种鸟类的数量在3500及以上的时间称为鸟类繁育“旺季”．第k个月，当地湖泊中各种鸟类的数量可近似用函数来表示，那么一年中是“旺季”的月份有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（25-26高三上·河北·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6.（2025北京清华大学附属中学月考）已知，，，，则（ ） A．1     B．2     C．3     D．4 7．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知终边过点，且，则得值可以为（    ）（多选题） A．0 B．1 C． D．4 8．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知角的终边与单位圆交于点，则（    ）（多选题） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·山东青岛·期中）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为射线与圆的交点．则当与重合时，的坐标可以为（    ）（多选题） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则（    ） （多选题） A． B．的图象关于直线对称 C．若方程在上有且只有6个根，则 D．的图象向左平移个单位长度后得到函数 11．（25-26高二上·辽宁·开学考试）一扇形的圆心角为，半径为4，则弧长为 ，该扇形的面积为 ． 12.（25-26高一上·河北保定·开学考试）已知，则 ． 13．（2025高二·广东·专题练习）已知，则 ． 14．（2025高三·湖北·专题练习）函数在上的单调递增区间为 ． 15．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则的取值范围是 ． 16．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 17．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知. (1)求的值；(2)求的值. 18．（24-25高一上·四川德阳·期末）（1）已知，求的值. （2）已知角为第二象限角，且满足，求的值. 19．（24-25高一下·山东·阶段练习）已知函数． (1)求的单调减区间；(2)求在区间上的值域． 20．（24-25高一下·广西梧州·期末）已知函数． (1)求的最小正周期与单调递增区间； (2)根据“五点作图法”完善下列表格，并在给出的坐标系中作出函数在的图象； 0 6 (3)当时，，求实数的取值范围． 21．（24-25高一下·陕西渭南·阶段练习）已知函数，(1)求的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值；(3)求方程的解. 22．（24-25高一下·四川南充·阶段练习）已知两点、是函数图象上相邻的最高点和最低点. (1)求函数的解析式；(2)用“五点法”画出函数在一个周期内的简图；    (3)将函数的图象向右平移个单位长度后关于轴对称，求的最小值. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $