第5章 三角函数（复习讲义）数学湘教版必修第一册

第5章 三角函数（复习讲义） 1、理解掌握正角、负角、零角的概念，掌握象限角的范围，终边相同的角的表示方法与判定方法； 2、了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，掌握弧度制中的扇形的弧长公式和面积公式，并解决相关问题； 3、理解任意角三角函数的定义（结合单位圆），掌握同角三角函数关系，并能进行相关运算（如：齐次式、化简、证明等）；‌ 4、灵活运用诱导公式（口诀“奇变偶不变，符号看象限”），并进行相关的化简、求值、证明等；‌ 5、掌握正弦、余弦、正切等基本函数及其性质，绘制正弦、余弦、正切函数图像，掌握周期性、对称性、单调性、值域等； 6、理解函数的图象与性质，掌握图象的平移、伸缩变换规律，会用“五点法”作图，能根据图象求解析式；‌ 7、能将三角函数知识应用于实际问题（如简谐运动、圆周运动、气温变化等），提升数学建模与实际应用能力。 1、条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角；如图1-1。 以顺时针方向旋转所成的角称为负角；如图1-2。 不旋转所成的角称为零角，用0°表示。零角的始边与终边重合；如图1-3。 图1-1 图1-2 图1-3 2、我们把所有与角终边相同的角用集合表示出来，即 ， 当k=0时，角就是角本身. 补充1: 象限角和轴线角的集合表示 第一象限角：；第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：； 轴的非负半轴：； 轴的非正半轴：； 轴非负半轴：； 轴非正半轴：； 轴：； 轴：。 3、把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制。 4、规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度用符号rad表示，读作弧度。 5、以“弧度”作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制。 注意：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 6、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 1°=≈0.01745(rad) 1rad=≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是。 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 7．弧长公式、扇形面积公式: 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为。 (1)由公式，可得扇形的弧长公式；(2)扇形的面积公式。 8、用比值定义三角函数： 1）如图，设是一个任意角，在角终边上OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标为(x，y)定义：，，，其中。以上三个比值分别称为角的正弦、余弦、正切。 2）三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 三角函数 正弦函数： 余弦函数： 余弦函数： 定义域 9、用有向线段表示三角函数：在三角函数的定义式中，取r=1，即让点P（x，y）在单位圆上， 则，，。 正弦线：有向线段DP； 余弦线：有向线段OD； 正切线：有向线段AT。 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。 10、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 11、同角三角函数的基本关系 1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 补充2：三角函数求值问题处理方法 1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个。解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负。 2）已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口。 补充3：三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 补充4：三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简；②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)； ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 12、诱导公式 诱导公式一：，，，其中。 诱导公式二： ，，。 诱导公式三： ，，。 诱导公式四：，，。 诱导公式五：，，，。 诱导公式六： ，。 诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 13、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1）“负化正”：用公式一或二来转化；2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； 3）“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。 补充5：特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 补充6：三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2）已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3）已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 14、如图1，正弦函数的图象叫正弦曲线；如图2，余弦函数的图象叫余弦曲线。 如图3，正切函数的图象叫正切曲线。 图1 图2 图3 15、五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 正弦函数的五点是：； 余弦函数的五点是：,,,,。 16、周期函数的定义 1）函数，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则函数是周期函数，T是它的一个周期。 2）若T是函数的一个周期，则T的非零整数倍也是函数的周期。 3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 17、正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 18、正切函数的性质 1）定义域：； 2）值域：R； 3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是； 4）奇偶性：正切函数是奇函数，即； 5）单调性：在开区间内，函数单调递增。 19、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 20、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1）简谐运动的振幅就是A；2）简谐运动的周期T＝；3）简谐运动的频率f＝＝； 4）ωx＋φ称为相位；5）x＝0时的相位φ称为初相。 21、三角函数图象变换：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 22、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 23、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 24、建立三角函数拟合模型的注意事项 1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 任意角、角度制与弧度制的概念 【例1】（25-26高一上·湖南·专项训练）（多选）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【答案】AD 【详解】对于A，由正角和负角的定义得，所有的正角都比负角大，故A正确， 对于B，只有始边与终边没有做任何旋转，始边与终边重合的角才是零角，故B错误， 对于C，令第三象限的角是，第二象限的角是， 则，可得第三象限的角不一定大于第二象限的角，故C错误， 对于D，设为锐角，为钝角，由锐角的定义得，， 由第一象限角的定义得一定是第一象限角，由第二象限角的定义得一定是第二象限角， 即锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角，故D正确.故选：AD 【变式1-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】经过150分钟，钟表的时针相当于转了1圈的，1圈的弧度数为， 则1圈的的弧度数为，且钟表的时针按顺时针转所形成的角应为负角， 因此钟表的时针转过的弧度数为，故D正确.故选：D. 【变式1-2】（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得120密位等于.故选：C 【变式1-3】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【答案】D 【详解】A，第一象限角指终边落在第一象限的角的集合，有正有负， 而锐角仅指大于小于的角，故A错误； B，为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足，故B错误； C，圆心角为1弧度的扇形的弧长为，与半径有关， 半径不相等，则扇形的弧长不相等，故C错误； D，由弧度的定义得，弧度的大小与圆的半径无关，它由比值唯一确定，故D正确.故选：D 【变式1-4】（24-25高一上·河北·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 【答案】B 【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误； 整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确； 角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误； 无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．故选：B 题型二 求终边相同的角 【例1】84．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知角．(1)将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角；(2)在区间上找出与角终边相同的角． 【答案】(1)，角是第二象限角．(2)，，. 【详解】（1）因为，所以角与的终边相同， 又，所以角α是第二象限角． （2）因为与角终边相同的角（含角在内）为， 所以由，得． 因为，所以． 当时，； 当时，； 当时，； 故在区间上与角终边相同的角是，，. 【变式1-1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以与的终边相同.故选：D. 【变式1-2】（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以的值为，故选：C 【变式1-3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ）．（多选题） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由于，故与405°终边相同的角应为或． 故选：BC 【变式1-4】8（24-25高一下·湖南·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来；（2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②；③； （3） 【详解】（1）与终边相同的角的集合为． 取；取；取，． （2）①；②； ③ 即. （3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为. 题型三 确定n分角与n倍角的象限 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【详解】∵是第三象限的角，∴（）， ∴（），∴（），∴是第四象限的角. ∵（），∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（），∴（）. 若（），则（），∴是第一象限的角； 若（），则（），∴是第三象限的角； 若（），则（），∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 【变式1-1】（25-26高一上·广东·专项）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由题知，则， 故角的终边所在的象限是第三象限．故选：C 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为，所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【变式1-3】（24-25高一·山东·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限；(2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限；(4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【详解】（1）由于为第四象限角，所以，所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限，所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 题型四 扇形的弧长、面积计算 【例1】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【答案】(1)；(2)；(3),. 【详解】（1）由题意可知扇形圆心角的弧度为，则该扇形的面积为； （2）设扇形圆心角的弧度为，则该扇形的弧长为，所以有， 解方程得（舍去）或，所以扇形圆心角的弧度数为； （3）设扇形圆心角的弧度为，则，则 扇形的周长为， 当且仅当时，周长可取得最小值，此时，故此时扇形的圆心角. 【变式1-1】．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为 . 【答案】12 【详解】根据题意扇形的面积.故答案为：12. 【变式1-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则， 又扇形的圆心角为，由弧长公式得， ，解得，，该扇形的面积为.故选：. 【变式1-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为， 可得，，故，解得．故选：C． 【变式1-4】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l；(2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 【答案】(1)(2) 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． 题型五 sina、cosa、tana知一求二 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，知，，故，． 又，所以，．所以．故选：C 【变式1-1】（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为第四象限角，且，所以，且. 所以.故选：D 【变式1-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【答案】 【详解】因是第四象限角，则，由，可得. 故答案为：. 【变式1-3】（25-26高三上·天津南开·开学考试）在中，，则 ． 【答案】/ 【详解】因为且为三角形内角，故为钝角，故， 故，故答案为： 【变式1-4】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，且在第一象限，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以，又，可得，因为在第一象限，，所以．故答案为：． 题型六 正、余弦齐次式的应用 【例1】（25-26高三上·上海·阶段练习）若，那么= ． 【答案】 【详解】根据题意，，. 故答案为： 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故选：D 【变式1-2】（2025·四川德阳·模拟预测）若，则 . 【答案】 【详解】.所以答案为：. 【变式1-3】（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由. 故选：C 【变式1-4】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】，.故答案为： 题型七 sinacosa、sina±cosa知一求二 【例1】（24-25高一·湖南·专题练习）若，则 ， ． 【答案】 / 【详解】由条件知，则， 令，两边平方得，得，所以，故答案为：，． 【变式1-1】（2025高一·成都·专题练习）已知，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，由平方，得，即，∴，故A正确；对于B，由，，则，即， ，，故B正确； 对于C，由，解得，所以，故C错误； 对于D，，故D正确.故选：C. 【变式1-2】（2025·湖北咸宁·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【详解】由两边平方，得， 而， .故答案为：. 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】已知，两边平方可得，即； 因为，所以，解得. 则.故选：C. 题型八 同角三角函数的化简与证明 【例1】（25-26高一上·湖北·课后作业）求证： (1)；(2)． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. 【变式1-1】（25-26高一上·湖南课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】原式．故选：C. 【变式1-2】（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)；(2)． 【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解 【详解】（1）左边 右边. 则恒等式成立. （2）右边 左边. 则恒等式成立. 【变式1-3】（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式： (1)若，化简；(2)若，化简. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）若，则，， 所以 . （2）若，则，， 所以 . 【变式1-4】（24-25高一上·湖南·课后作业）求证： (1)；(2). 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）等式左边 . （2）等式左边. 题型九 利用诱导公式求值化简 【例1】（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 .故选：A. 【变式1-1】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值 . 【答案】 【详解】.故答案为：. 【变式1-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ）（多选题） A． B． C．. D． 【答案】AC 【详解】由，得，. 对于A：，故A正确；对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误.故选：AC 【变式1-3】（25-26高三上·天津·期中）已知角的终边经过点，则 ． 【答案】 【详解】由题意，，则. 故答案为：. 【变式1-4】（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知， (1)化简(2)若，求的值 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意得. （2）由题意得，则， . 题型十 三角函数的性质1（周期性、奇偶性） 【例1】（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得.故选：C 【变式1-1】（25-26高二上·海南·阶段练习）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是.故选：C 【变式1-2】（24-25高二下·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因，则最小正周期为：.故选：C 【例2】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于函数，令，解得， 所以函数的对称轴为， 当时，故B符合题意，、、均不符合题意.故选：B 【变式2-1】（25-26高三上·四川南充·阶段练习）函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数图象的对称轴为直线， 令，得， 令，得，令，得，令，得， 结合选项可知函数图象的一条对称轴是.故选：B. 【变式2-2】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，由，解得， 因此函数的对称中心为， 当时，为对称中心；当时，为对称中心； 当时，为对称中心；不存在整数，使得，不是对称中心.故选：C 【变式2-3】（24-25高一下·云南迪庆·期中）已知函数．求函数的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程； 【答案】；； 【详解】由题得，最小正周期为，由，可得， ∴函数的单调递增区间为， 由可得，，∴的对称轴方程为． 【变式2-4】（2025高一·湖南·专题练习）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【答案】BD 【详解】对于A，中，则最小正周期为，错误； 对于B，由正切函数的定义域得，解得， 则的定义域为，正确； 对于C，令，解得， 则函数图象的对称中心为，错误； 对于D，由正切函数的单调性得，解得， 则函数的单调递增区间为，正确． 故选：BD 【变式2-5】（24-25高二下·浙江·期中）设函数，则下列结论正确的是（   ）（多选） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 【答案】ABC 【详解】函数，其中，根据周期公式，故选项正确. 由题意得，令，解得， 令时，函数的一条对称轴为，故选项正确. 由题意把代入，得， 是的一个零点，故选项C正确. 对于函数，的最大值为，，故选项错误.故选：ABC. 题型十一 三角函数的性质2（单调性、最值） 【例1】（25-26高二上·河南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】A 【详解】由，可得， 则函数的单调递减区间为， 由，可得， 则函数的单调递增区间为， 在上单调递增，上单调递减，故A正确，BCD错误.故选：A. 【变式1-1】（2024高三·天津·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【详解】化简原函数得，即 由函数的最小正周期为，可得，所以.因为，所以时，则， 由，得，，所以.故选：A. 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【详解】因为单调递增，所以.故选：B. 【变式1-3】（2025高一·山东·专题练习）已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递减区间是 ． 【答案】 【详解】已知函数的一个零点是，则， 即，或①， 又直线是的图象的一条对称轴，则②， 由①②得，所以； 此时，，所以， 又，则，所以． 由，得． 所以的单调减区间是.故答案为： 【变式1-4】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则， 所以.故选：B 【变式1-5】（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 【答案】 【详解】令，又，则， 函数可化为：， 由二次函数的性质可得：当时，，当时，. 所以函数在上的值域为.故答案为：. 题型十二 三角函数的性质3（零点、方程的根） 【例1】（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）函数在区间内的零点个数为 【答案】3 【详解】由得， 令，解得，即， 所以函数在区间内有3个零点.故答案为：3 【变式1-1】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知的部分图象如图所示，，，是相邻的两个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，且由图像可得；又因为，可得；故选：A． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由可得，因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为.故选：C. 【变式1-3】（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知是函数的一个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，得，所以，.故选：A 【变式1-4】（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 【答案】AC 【详解】对于A，时，，此时函数取最小值，故为函数图象的一条对称轴，故A正确； 对于B，时，，而在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于C，时，，在上单调递减，在上单调递增， 则，故C正确； 对于D，，，因在上只有两个零点， 且由，即；由，即， 即在区间上有2个零点，故D错误.故选：AC 【变式1-5】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数，若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 【答案】 【详解】由，则，又在上单调递增，对应的值域为； 在上单调递减，对应的值域为， 又函数在区间上恰好有二个零点， 即与在区间上恰好有二个交点，如下图： 所以，即．故实数k的取值范围为． 题型十三 三角函数图象变换及应用 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度． 【答案】 扩大 2倍 左 【详解】由 ．故答案为：扩大，2倍，左，. 【变式1-1】（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】A 【详解】因， 故可以将函数的图象向右平移个单位长度，即可得到函数的图象.故选：A. 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变）, 可得到函数的图象，再将所得函数的图象向左平移个单位， 可得到函数的图象.故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【详解】由题意可知， 所以， 所以可将的图象上所有的点先向右平移个单位长度得到， 再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变得到的图象， 即的图象，故选：A 【变式1-4】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【答案】(1)答案见解析 (2)，（答案不唯一） 【详解】（1）列表得 0 y 0 2 0 0 再描点，得图象如下， （2）将图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象， 再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 故的解析式为， 由，解得，故函数图象的一个对称中心为（答案不唯一）. 题型十四 五点作图法与已知图象求函数解析式 【例1】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【答案】(1)答案见解析(2)，（答案不唯一） 【详解】（1）列表得 0 y 0 2 0 0 再描点，得图象如下， （2）将图象上所有点向右平行移动个单位长度，得到的图象， 再将其各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象， 故的解析式为， 由，解得，故函数图象的一个对称中心为（答案不唯一）. 【变式1-1】（2025·四川·校考一模）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间；(2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【答案】(1)，(2)见解析 【详解】（1）因为直线是函数的一条对称轴， 所以，则，解得， 又，所以，所以. 令，解得， 所以函数的单调增区间为. （2）由可知 故函数在区间上的图像如下： 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 (2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 【答案】(1)表格见详解，图象见详解(2)，，. 【详解】（1）列表如下： 0 2 0 0 2 再描点连线，得图象如下： （2）因为，所以，令， 因为为奇函数，所以，所以，. 又因为，所以当时，，所以， 所以的对称轴方程为，，即的对称轴方程为，. 【变式1-3】（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以． 因为的图象过点，所以， 由图可知，点在减区间内，所以，即． 因为，所以，所以， 所以，所以.故选：D 【变式1-4】（2025高三·江苏·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，且函数的图象上相邻两零点的距离为，则（    ）（多选题）    A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，所以，解得，即， 由图象可知过点，， 则，得，，又，则， 又，则，则，故A正确，B错误； 又，故C正确； 而，故D错误．故选：AC. 题型十五 三角函数实际应用 【例1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 【答案】(1)(2)（i）；（ii）第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻” 【详解】（1）设，， 由题意可知，，，则，，又易知，所以，得， 又当时，，则，因，则， 所以，化简得. （2）（i）设乙的座舱高度与时间函数为，同（1）可求得， 因为甲乙离地面高度相等，即，可得：，即， 可解得，即， 故时，有最小值，即当时，甲乙首次高度相等. （ii）由题意易知，所谓“震撼时刻”，即要求，化简得， 因，则，故，则，故第六分钟到第十二分钟为“震撼时刻”. 【变式1-1】（25-26高一上·湖南·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】BC 【详解】对于A，由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故A错误； 对于B，因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故B正确； 对于C，若，则，又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故C正确； 对于D，，令，则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故D错误.故选：BC 【变式1-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ）（多选题） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【答案】CD 【详解】函数中，，所以， 时，，解得，所以，所以，故A错误； 令时，得，则， 解得，所以的最小值为分钟，即用时秒， 所以点第一次到达最高点需用时秒，故B错误； 由题意知，点再次接触水面需用时分钟，即秒，故C正确； 当点运动2秒时，即时，，故D正确；故选：CD 【变式1-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数．(1)依据图中的信息确定函数的解析式；(2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【答案】(1)；(2)6h． 【详解】（1）由图象可知，函数值域为，则，解得， 由图象可知，函数的最小正周期，所以，所以， 又因为函数图象过点，所以，即， 则，即，因为，所以. 综上，函数的解析式为. （2）由题意，时，由可得， 则，解得. 因为，所以.所以，允许该船进出港口的时长为. 【变式1-4】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 【答案】(1)(2)①16个小时；②23时 【详解】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图,如图： 根据图象，可考虑用函数刻画水深与时间之间的对应关系， 由数据和散点图可以得出， 由，得，所以这个港口水深与时间的关系可用近似描述． （2）①依题意，时就可以进出港，由，得， 则，解得， 又，因此或，而该船1:00进港，则可以17:00离港， 又在1:00到17:00这段时间内，水深最浅时为9:00，且该时刻水深为7米，大于6.5米， 所以在同一天安全出港，在港内停留的最长时间是16个小时． ②依题意，吃水深度，则要求为， 当，时，单调递增， 又当时，，则由，解得，所以该船应在23时停止卸货，离开港口. 题型十六 三角函数综合运用 【例1】（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式；(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由图知函数图像过，，，即， ，，，即， ，解得， 又，即，，； （2）因为对任意的，，都有，所以. 因为，所以，所以，所以， ，令，则，. 对称轴为，所以①，可得， ②，可得， ③，可得，综上. 【变式1-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知函数 (1)写出的单调增区间.(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）令， 所以的单调增区间. （2）因为，则，所以，， 所以，， 因为不等式对任意恒成立，所以，对任意恒成立， 则，解得.因此，实数的取值范围是 （3）将的图象向左平移个单位，可得到函数 再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，可得到函数的图象， 当时，， 因为关于的方程在上有且只有一个实数解， 所以，直线与函数在上的图象只有一个公共点，如下图所示:    由图可知，当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点， 因此，实数的取值范围是. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【答案】(1)，(2)(3)5， 【详解】（1）因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，所以，可得． 又由函数为奇函数，可得，所以， 因为，所以，所以函数， 令，解得， 所以的单调递减区间为． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象， 当时，， 当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为， 故函数在区间上的值域为． （3）由方程，即，得， 因为，所以， 设，则，，结合正弦函数的图象，如图所示： 可得方程在区间上有5个根，即， 其中，，，， 即，，，， 解得：，，，， 所以． 【变式1-3】（25-26高一上·广东·单元测试）已知函数在上有最小值，无最大值，且满足．(1)求的最小正周期．(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值；（ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ） 【详解】（1）由在上有最小值，无最大值， 可知，故有． 又与在一个最小正周期内，且， 所以时，函数取到最小值， 所以．故有． 又因为，所以．所以函数的最小正周期． （2）（ⅰ）由可知，中一个对应最大值，一个对应最小值． 对于函数其最大值与最小值对应的相邻的距离为半个最小正周期． 所以有（借助图象理解，如图）．即． （ⅱ）由以上可得，． 因为对任意的，都有成立， 所以当时，恒成立． 由可得，此时， 由可得，此时． 所以，解得．即实数的取值范围为． 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，而与终边相同的角可表示为， 对于A，因，不是的整倍数，故A错误； 对于B，因，不是的整倍数，故B错误； 对于C，因，不是的整倍数，故C错误； 对于D，因，是的整倍数，故D正确.故选：D. 2．（24-25高一下·辽宁·期中）为钝角是为第二象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为钝角，则，则为第二象限角； 反之，若为第二象限角，例如，则不为钝角. 所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件.故选：A. 3.（25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，由，解得， 因此函数的对称中心为， 当时，为对称中心；当时，为对称中心； 当时，为对称中心；不存在整数，使得，不是对称中心.故选：C 4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以 ， 又因为，所以 .故选：. 5．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又，， 解得：，（舍去），故选：A． 6．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得， 所以的对称中心坐标为； 由，解得，故不是对称中心，故A错误； 由，解得，故不是对称中心，故B错误； ，解得，故不是对称中心，故C错误； 由，解得，故是对称中心，故D正确.故选：D. 7．（25-26高三上·北京·阶段练习）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题图知，且，则， 不妨令，则，且， 则，可得，此时，. 经验证，其他取值组合所得最简函数式均为上式.故选：A 8．（25-26高一上·江苏·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，解得， 所以的单调递减区间为．故选：B 9.（25-26高三上·广西桂林·开学考试）对于函数，则（   ）（多选题） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，正切函数没有对称轴，因此的图象不关于对称，B错误； 对于C，当时，，正切函数在上不单调， 因此函数在上不单调，C错误； 对于D，由，得的图象关于点对称，D正确. 故选：AD 10．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ）（多选题） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 【答案】BCD 【详解】根据弧度制的定义可知1弧度的角约等于，故A选项错误； 锐角，第一象限角，B选项正确； 若是第三象限角，则，则 当时，，是第四象限角， 当时，，是第二象限角，故C选项正确；终边在轴正半轴上的角的集合为，D选项正确.故选：BCD. 11．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数，则（   ）（多选题） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的一个零点为 【答案】BC 【详解】由题可知，的最小正周期为，A不正确. 因为，所以的图象关于直线对称，B正确. 由，可得，则在上单调递增，C正确. ，，D不正确.故选：BC 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 【答案】/ 【详解】因为时针旋转一周为小时，转过的角度为，按顺时针转所形成的角为负角， 所以经过小时，时针所转过的弧度数为.故答案为：. 13．（25-26高二上·广西·阶段练习）已知，则 . 【答案】 【详解】，分子分母同时除以得， 已知，则，故答案为：. 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 【答案】 【详解】因为是第二象限角，所以， 所以， 故答案为：. 15．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积. 【答案】(1)1(2) 【详解】（1）由题意可知扇形的半径，周长， 弧长，圆心角. （2）由（1）可得，扇形面积. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合， 则角的终边与单位圆的交点在第一象限，设点的坐标为． 方法一：易知， 所以，所以． 由三角函数的定义可知，所以． 方法二：如图，过点作轴，垂足为，    则， 由三角形两边之和大于第三边，可知，即． （2）方法一：左边 右边． 方法二 ： ， 因为， 所以． 17．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值；(2)求的值. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）依题意，，解得， 所以，. （2）由（1）知，， 所以. 18．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线的对称轴方程；(2)求在上的值域． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由函数， 令，得， 所以曲线的对称轴方程为． （2）因为，可得．令，则， 因为，所以在上的值域为． 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 【答案】(1)单调增区间为：，，单调递减区间为：，零点为，，； (2)答案见解析；(3)当时，；当时， 【详解】（1）由得，即函数在内为一个完整周期的图象，列表如下： 其函数图象如下： 由图象，函数在定义域上的单调增区间为，，单调递减区间为， 函数在定义域上的零点为，，； （2）将函数的图象横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得， 再将函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得， 再将函数的图象向右平移个单位长度可得的图象； （3）因为，所以，令，即，， 所以，当时，由最大值为，此时， 当时，由最小值为，此时， 综上：当时，；当时，. 75．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数，在上有最小值，无最大值，且满足． (1)求的解析式； (2)求的对称中心； (3)求的对称轴方程； (4)用五点作图法作出的图象； (5)求的单调递增区间； (6)求的解集； (7)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，求的值． 【答案】(1)(2)，(3)， (4)作图见解析(5)，(6)，(7) 【详解】（1）因为，在上有最小值，无最大值， 所以，故有，又与在一个周期内，且， 所以时，函数取到最小值，则，，故有，， 又因为，所以，即. （2）令，，则，，所以的对称中心为，. （3）令，，则，，所以的对称轴方程为，. （4）列表如下： 0 0 1 0 0 所以在一个周期内的图象如下： （5）令，则， 所以的单调递增区间是，. （6）由，则， 则，，即，， 所以的解集是，. （7）由可知的中一个对应最大值，一个对应最小值， 对于函数其最大值与最小值对应的的距离为半个周期， 则有，即． 能力提升进阶练 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，则，即 且，即，可得， 且为第二象限角，则，可得，.故选：A. 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为锐角的终边与单位圆交点的纵坐标为，由三角函数定义可知， 又将角逆时针旋转角后得到角，所以.故选：B. 3．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知是函数的图象的一条对称轴， 则，，则，， 又，可知，则，且， 则当时，取得最小值为，故选：C. 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数图象关于点对称，得，即， 由，得，于是，而， 因此或，或，所以当时，.故选：D 5．（24-25高一下·山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得，因为， 要使得上的最小值为，则满足， 解得，所以，所以的最大值为.故选：D. 6．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，依题意，，解得， 所以的取值范围为.故选：B 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ）（多选题） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 【答案】ACD 【详解】设，则. 代入，得：. 解得： 因为，与同号，故，两解均成立. 故A对. 当时，，故，即. 设，（）， 则，此时，，故B错. 当时，，故. 所以，故C对. 当为第三象限角时，，，故. 所以 开方，故D对.故选：ACD. 8．（25-26高三上·重庆渝北·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则ω的取值集合的子集可能是（    ）（多选题） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为在上单调递增，所以，则， 由于，所以，解得：， 令，解得：， 所以函数的增区间为， 若在上单调递增，所以， 则，解得：，由于，且， 当时，，则，故A正确； 当时，，则，故C正确； 当时，，不满足条件；综上：ω的取值集合的子集可能是和；故选：AC 9．（2025高三上·广东·专题练习）设，则 . 【答案】 【详解】对于等式，两边平方可得， 又，所以， 因为，所以.故答案为:. 10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，则的最大值为 . 【答案】/0.25 【详解】由题意得，可得，解得， 则， 令，因为，所以， 则原函数可化为，由二次函数性质得其对称轴为，且图象开口向下， 可得，即的最大值为.故答案为： 11．（2024高一·上海·专题练习）若，证明：(1)；(2). 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.       由，为直角三角形，且，，， 在中，，所以. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结， 由，显然有， 而，， ， 所以，即. 12.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）由题意可知：， 则，即， 又，所以即， 所以； （2）易知大扇形与小扇形的面积分别为：， 所以扇环的面积为， 结合（1）得， 则砖雕面积与雕刻费用之比为， 整理得 ，当且仅当时等号成立， 所以砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为5. 13．（25-26高一上·湖北·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2). 【答案】(1)(2) 【详解】（1）方法一  分离常数法 ，， ， ，的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得，所以，由，得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则.当时，.当时，， 由基本不等式可得，当且仅当 ，即时，等号成立， 所以，所以或 此时函数的值域为.故函数的值域为. 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数．(1)求在上的值域；(2)设，若对，，使得．求实数的取值范围． 【答案】(1)(2) 【详解】（1） 因为，所以所以当时，取最大值； 当或1时，取最小值1；所以的值域是 （2）由复合函数单调性可知在区间上单调递增， 所以当时，的值域为， 对，，使得，故的值域包含的值域，其中， 所以，解得 15．（24-25高一下·陕西渭南·期中）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 【答案】(1) , ；(2),. 【详解】（1）由的振幅为2，且经过点，得，， 则，，解得，， 而，因此，， 又与关于轴对称，所以. （2）依题意，， 当时，，， 而，在上递减，在上递增， 则当 时，恰有两个不同的零点， 由，得，则，所以. 16．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)当和时；用五点作图法在给定坐标系中作出函数在上的图象．（写出必要的作图步骤） (2)当和时（其中），对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于8次，不多于16次，求的值 (3)当和时，对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于次，不多于次，求满足上述条件时的最多个数以及对应，的取值．（其中） 【答案】(1)答案见解析(2)．(3)当，时的最多个数为384个． 【详解】（1）由（1）知． 描点，连线，可得函数在上的图象如图所示． 0 0 1 0 -1 0 （2）函数在区间上有两次出现函数值，区间的长度为4，为了满足题意， 必须使4不小于4个周期且小于8个周期，即，解得， 又因为，所以． （3）函数在区间上有两次出现函数值，区间的长度为， 为了满足题意，必须使不小于个周期且小于个周期，即， 且，解得（其中） 要使得的个数最多，必须使区间长度最大． ①当时，区间长度最大值为384．此时当，时不等式化为， 这是共有384个．此时作如下验证：时，，与在长度为4的区间上有4个交点． 满足题意时，，区间长度．且， 故与在长度为4的区间上有个交点． 满足题意时，，．区间长度．且 与在区间长度上有个交点．不满足情况 ②当，时不等式化为，这时，，386共有384个． 验证：时，，与在长度为4的区间上有9个交点．满足题意 时，．区间长度．且 ，与在长度为4的区间上有个交点．满足题意． ③当，时不等式化为，这时共有384个． 验证：时，，与在长度为4的区间上有12个交点．满足题意 时，，．区间长度．且满足题意． ，与在长度为4的区间上有个交点．满足题意 综上当，时的最多个数为384个． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 三角函数（复习讲义） 1、理解掌握正角、负角、零角的概念，掌握象限角的范围，终边相同的角的表示方法与判定方法； 2、了解弧度制，能进行弧度与角度的互化，掌握弧度制中的扇形的弧长公式和面积公式，并解决相关问题； 3、理解任意角三角函数的定义（结合单位圆），掌握同角三角函数关系，并能进行相关运算（如：齐次式、化简、证明等）；‌ 4、灵活运用诱导公式（口诀“奇变偶不变，符号看象限”），并进行相关的化简、求值、证明等；‌ 5、掌握正弦、余弦、正切等基本函数及其性质，绘制正弦、余弦、正切函数图像，掌握周期性、对称性、单调性、值域等； 6、理解函数的图象与性质，掌握图象的平移、伸缩变换规律，会用“五点法”作图，能根据图象求解析式；‌ 7、能将三角函数知识应用于实际问题（如简谐运动、圆周运动、气温变化等），提升数学建模与实际应用能力。 1、条射线绕着端点以逆时针方向旋转所成的角称为正角；如图1-1。 以顺时针方向旋转所成的角称为负角；如图1-2。 不旋转所成的角称为零角，用0°表示。零角的始边与终边重合；如图1-3。 图1-1 图1-2 图1-3 2、我们把所有与角终边相同的角用集合表示出来，即 ， 当k=0时，角就是角本身. 补充1: 象限角和轴线角的集合表示 第一象限角：；第二象限角：； 第三象限角：； 第四象限角：； 轴的非负半轴：； 轴的非正半轴：； 轴非负半轴：； 轴非正半轴：； 轴：； 轴：。 3、把周角分成360等份，每一份叫作1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制。 4、规定：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度用符号rad表示，读作弧度。 5、以“弧度”作为单位来度量角的单位制，叫作弧度制。 注意：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。 6、角度制与弧度制的换算 角度化弧度 弧度化角度 1°=≈0.01745(rad) 1rad=≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×＝度数 如果半径为r的圆的圆心角所对的弧长为l，那么，角的弧度数的绝对值是。 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定。 7．弧长公式、扇形面积公式: 设扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为。 (1)由公式，可得扇形的弧长公式；(2)扇形的面积公式。 8、用比值定义三角函数： 1）如图，设是一个任意角，在角终边上OM上任取不同于原点O的点P，利用点P的坐标为(x，y)定义：，，，其中。以上三个比值分别称为角的正弦、余弦、正切。 2）三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 三角函数 正弦函数： 余弦函数： 余弦函数： 定义域 9、用有向线段表示三角函数：在三角函数的定义式中，取r=1，即让点P（x，y）在单位圆上， 则，，。 正弦线：有向线段DP； 余弦线：有向线段OD； 正切线：有向线段AT。 正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线。 10、三角函数的符号【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 11、同角三角函数的基本关系 1）平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2）商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 补充2：三角函数求值问题处理方法 1）同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途“知一求二”，即在sinα，cosα，tanα三个值之间，知道其中一个可以求其余两个。解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负。 2）已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，分析解决问题的突破口。 补充3：三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 补充4：三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简；②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)； ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 12、诱导公式 诱导公式一：，，，其中。 诱导公式二： ，，。 诱导公式三： ，，。 诱导公式四：，，。 诱导公式五：，，，。 诱导公式六： ，。 诱导公式口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说角(为常整数)的三角函数值： 当为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当为偶数时，函数名不变， 然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号. 13、利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 1）“负化正”：用公式一或二来转化；2）“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角； 3）“角化锐”：用公式三或四将大于90°的角转化为锐角；4）“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值。 补充5：特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 补充6：三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 1）已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2）已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3）已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 14、如图1，正弦函数的图象叫正弦曲线；如图2，余弦函数的图象叫余弦曲线。 如图3，正切函数的图象叫正切曲线。 图1 图2 图3 15、五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 正弦函数的五点是：； 余弦函数的五点是：,,,,。 16、周期函数的定义 1）函数，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，都有定义，并且，则函数是周期函数，T是它的一个周期。 2）若T是函数的一个周期，则T的非零整数倍也是函数的周期。 3）对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 17、正弦函数、余弦函数的性质 图象 定义域 值域 [-1,1] [-1,1] 最值 周期性 奇偶性 奇 偶 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性 对称轴方程： 对称中心， 对称轴方程： 对称中心， 18、正切函数的性质 1）定义域：； 2）值域：R； 3）周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是； 4）奇偶性：正切函数是奇函数，即； 5）单调性：在开区间内，函数单调递增。 19、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示. x － －＋ － ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 20、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意义 1）简谐运动的振幅就是A；2）简谐运动的周期T＝；3）简谐运动的频率f＝＝； 4）ωx＋φ称为相位；5）x＝0时的相位φ称为初相。 21、三角函数图象变换：函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 22、三角函数模型的应用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用． 实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用信息技术． 23、运用三角函数模型解决问题的几种类型 1）由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，在求解过程中还要结合函数性质． 2）由图象研究函数的性质：通过观察分析函数图象，能得出函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性． 3）利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解决实际问题． 24、建立三角函数拟合模型的注意事项 1）在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系数法来确定参数． 2）在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成熟悉的问题． 3）在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题． 题型一 任意角、角度制与弧度制的概念 【例1】（25-26高一上·湖南·专项训练）（多选）下列说法正确的是（    ） A．所有的正角都比负角大 B．始边与终边重合的角一定是零角 C．第三象限的角一定大于第二象限的角 D．锐角一定是第一象限角，钝角一定是第二象限角 【变式1-1】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）考生你好，语文考试需要150分钟，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·河北保定·期中）密位制是度量角度的一种方法，我国在航海和军事领域采用的是6000密位制，即把一个周角等分为6000份，每一等份是1密位，则120密位等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一上·河南新乡·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．第二象限角必大于第一象限角 C．圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等 D．1弧度角的大小与圆的半径无关 【变式1-4】（24-25高一上·河北·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（    ） A．正角或者负角的弧度数都是正数 B．四分之一圆所对的圆心角是 C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于 D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关 题型二 求终边相同的角 【例1】84．（24-25高一上·广东揭阳·阶段练习）已知角．(1)将角改写成的形式，并指出角是第几象限的角；(2)在区间上找出与角终边相同的角． 【变式1-1】（24-25高一下·山东威海·期中）下列各角中，与角终边相同的角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）把表示成的形式，且使，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（    ）．（多选题） A． B． C． D． 【变式1-4】8（24-25高一下·湖南·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来；（2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 题型三 确定n分角与n倍角的象限 【例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【变式1-1】（25-26高一上·广东·专项）若角与角的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【变式1-3】（24-25高一·山东·随堂练习）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)；(2)；(3)；(4)． 题型四 扇形的弧长、面积计算 【例1】（24-25高一下·广西钦州·阶段练习）已知一个扇形的中心角是，所在圆的半径是R． (1)若，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为，面积为，求扇形圆心角的弧度数； (3)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角． 【变式1-1】．（24-25高一下·江西上饶·期末）已知扇形的弧长为6，半径为4，则扇形的面积为 . 【变式1-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知一个扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）从半径为r的圆中剪下圆心角为弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为，剩余部分扇形的周长为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25高一下·江西上饶·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l． (1)若，求扇形的弧长l；(2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； 题型五 sina、cosa、tana知一求二 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）若是三角形的一个内角，且，则（    ）． A． B． C． D． 【变式1-1】（2025高三·天津·专题练习）已知为第四象限角，，则（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知是第四象限角，且，则 ． 【变式1-3】（25-26高三上·天津南开·开学考试）在中，，则 ． 【变式1-4】（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，且在第一象限，则 ． 题型六 正、余弦齐次式的应用 【例1】（25-26高三上·上海·阶段练习）若，那么= ． 【变式1-1】（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·四川德阳·模拟预测）若，则 . 【变式1-3】（24-25高一下·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】（25-26高三上·北京·阶段练习）已知，则 . 题型七 sinacosa、sina±cosa知一求二 【例1】（24-25高一·湖南·专题练习）若，则 ， ． 【变式1-1】（2025高一·成都·专题练习）已知，，则下列等式错误的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·湖北咸宁·模拟预测）已知，则 . 【变式1-3】（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型八 同角三角函数的化简与证明 【例1】（25-26高一上·湖北·课后作业）求证： (1)；(2)． 【变式1-1】（25-26高一上·湖南课前预习）化简（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式： (1)；(2)． 【变式1-3】（24-25高一下·山东潍坊·阶段练习）化简下列各式： (1)若，化简；(2)若，化简. 【变式1-4】（24-25高一上·湖南·课后作业）求证： (1)；(2). 题型九 利用诱导公式求值化简 【例1】（25-26高三上·广东佛山·阶段练习）（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·天津河东·阶段练习）求的值 . 【变式1-2】（2025·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ）（多选题） A． B． C．. D． 【变式1-3】（25-26高三上·天津·期中）已知角的终边经过点，则 ． 【变式1-4】（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）已知， (1)化简(2)若，求的值 题型十 三角函数的性质1（周期性、奇偶性） 【例1】（25-26高三上·云南昆明·阶段练习）函数 的最小正周期是（    ） A．2π B．π C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·海南·阶段练习）函数的最小正周期是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二下·云南·期末）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D．1 【例2】（25-26高三上·广东·阶段练习）函数的图象的一条对称轴方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高三上·四川南充·阶段练习）函数图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·云南迪庆·期中）已知函数．求函数的最小正周期、单调递增区间、对称轴方程； 【变式2-4】（2025高一·湖南·专题练习）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的定义域为 C．函数图象的对称中心为 D．函数的单调递增区间为 【变式2-5】（24-25高二下·浙江·期中）设函数，则下列结论正确的是（   ）（多选） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 题型十一 三角函数的性质2（单调性、最值） 【例1】（25-26高二上·河南·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（　　） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【变式1-1】（2024高三·天津·专题练习）已知函数的最小正周期为，则在的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【变式1-3】（2025高一·山东·专题练习）已知函数的一个零点是，是的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调递减区间是 ． 【变式1-4】（25-26高一上·湖北·期中）已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式1-5】（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为 . 题型十二 三角函数的性质3（零点、方程的根） 【例1】（25-26高三上·江苏宿迁·阶段练习）函数在区间内的零点个数为 【变式1-1】（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）已知的部分图象如图所示，，，是相邻的两个零点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知是函数的一个零点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．为函数图象的一条对称轴 B．在区间上单调递增 C．在区间上的值域为 D．在区间上有3个零点 【变式1-5】（24-25高一下·辽宁·期末）已知函数，若函数在区间上恰好有二个零点，求实数k的取值范围． 题型十三 三角函数图象变换及应用 【例1】（2025高一·湖南·专题练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的横坐标 到原来的 （纵坐标不变），再向 平行移动 个单位长度． 【变式1-1】（24-25高一下·河南南阳·期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移是个单位长度 D．向左平移个单位长度 【变式1-2】（24-25高二下·浙江·期中）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再将图象向左平移个单位，得到的函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·广东茂名·阶段练习）已知函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为，为得到的图象，可将的图象上所有的点（   ） A．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 C．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 D．先向右平移个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 【变式1-4】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 题型十四 五点作图法与已知图象求函数解析式 【例1】（24-25高一下·甘肃武威·开学考试）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出函数在的图象； x 0 y   0    2    0 (2)将图象上所有点向右平行移动个单位长度，再将得到的图象上的各点横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，求的解析式，并写出曲线的一个对称中心. 【变式1-1】（2025·四川·校考一模）设图象的一条对称轴是直线． (1)求，并求函数的单调增区间；(2)用“五点作图法”画出函数在区间上的图象． 【变式1-2】（24-25高一下·辽宁·期中）已知函数. (1)根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 (2)若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 【变式1-3】（2025·广东·模拟预测）已知函数的部分图象大致如图所示，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式1-4】（2025高三·江苏·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，且函数的图象上相邻两零点的距离为，则（    ）（多选题）    A． B． C． D． 题型十五 三角函数实际应用 【例1】（24-25高一下·湖北黄冈·期中）摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上旋转，可以从高处俯瞰四周景色.如图该摩天轮最高点距离地面高度为，转盘直径为，开启时按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要. (1)以轴心为原点，与地面平行的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求在转动一周的过程中，关于的函数解析式； (2)若游客甲在点进入座舱时，游客乙此时恰好在处（轴与圆的交点）， （i）在运行一周的过程中，运行两人首次距离地面的高度相等，求时间； （ii）当座舱距离地面的高度不低于时，能鸟瞰全城壮观景色，因此这段时间被称为“震撼时刻”，求游客甲在开始运行一周的过程中，甲处于“震撼时刻”的时间段. 【变式1-1】（25-26高一上·湖南·期中）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（    ）（多选题） A． B．与时小球偏离平衡位置的距离之比为 C．当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 D．当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【变式1-2】（24-25高一下·湖北武汉·期中）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动5圈，当水轮上点从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过分钟后点距离水面的高度为米，下列结论正确的有（   ）（多选题） A．关于的函数解析式为（） B．点第一次到达最高点需用时5秒 C．点再次接触水面需用时8秒 D．当点运动2秒时，距水面的高度为2米 【变式1-3】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，某港口一天从4时到20时的水深变化曲线近似满足函数．(1)依据图中的信息确定函数的解析式；(2)甲船需在水深不低于5m时才能进出港口，求一天4时到20时期间允许该船进出港口的时长． 【变式1-4】（24-25高一下·辽宁沈阳·阶段练习）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头：卸货后，在落潮时返回海洋. 下面是某港口在某季节某天时间与水深（单位：米）的关系表： 时刻 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 水深 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 (1)请用一个函数近似地描述这个港口的水深y与时间t的函数关系： (2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上认为是安全的（船舶停靠时，船底只要不碰海底即可），某船吃水深度（船底离地面的距离）为6.5米. ①如果该船是旅游船，1:00进港，希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？②如果该船是货船，在17:00开始入港卸货，吃水深度以每小时0.5米的速度减少，由于天气等原因该船必须在休整四个小时后尽快离开该港口，那么该船在什么整点时刻可以停止卸货并且能安全驶离该港口，（忽略出港所需时间）？ 题型十六 三角函数综合运用 【例1】（25-26高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，    (1)求函数的解析式；(2)设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围. 【变式1-1】（25-26高二上·上海嘉定·阶段练习）已知函数 (1)写出的单调增区间.(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)将的图象先向左平移个单位，再将各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象.若关于的方程在上有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【变式1-2】（25-26高一上·湖南·单元测试）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．(1)求的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求函数的值域； (3)对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为，，，，试确定n的值，并求的值． 【变式1-3】（25-26高一上·广东·单元测试）已知函数在上有最小值，无最大值，且满足．(1)求的最小正周期．(2)将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，且对满足的，有． （ⅰ）求的值；（ⅱ）若对任意的，都有成立，求实数的取值范围． 基础巩固通关测 1．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）下列选项中，与角的终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·辽宁·期中）为钝角是为第二象限角的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（25-26高三上·广东广州·阶段练习）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·四川眉山·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·北京房山·阶段练习）函数的图象的一个对称中心是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·北京·阶段练习）函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式可能是（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高一上·江苏·课前预习）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高三上·广西桂林·开学考试）对于函数，则（   ）（多选题） A．的最小正周期为 B．的图象关于对称 C．在上单调递增 D．的图象关于点对称 10．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）下列说法正确的是（    ）（多选题） A．1弧度的角与的角一样大 B．锐角一定是第一象限角 C．若是第三象限角，则是第二或第四象限角 D．终边在轴正半轴上的角的集合为 11．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知函数，则（   ）（多选题） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递增 D．的一个零点为 12．（24-25高一下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要小时，则在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为 . 13．（25-26高二上·广西·阶段练习）已知，则 . 14．（25-26高三上·上海·开学考试）已知是第二象限的角，化简：= . 15．（24-25高一下·河南周口·期中）一个扇形所在圆的半径为5，该扇形的周长为15. (1)求该扇形圆心角的弧度数；(2)求该扇形的面积. 16．（25-26高一上·全国·单元测试）（1）当时，证明：； （2）求证：． 17．（25-26高三上·天津·开学考试）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边上一点，且. (1)求，的值；(2)求的值. 18．（25-26高二上·辽宁·开学考试）已知函数． (1)求曲线的对称轴方程；(2)求在上的值域． 19．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）请用“五点法”画函数在内的图象. (1)并指出函数在定义域上的单调区间，零点. (2)当定义域都为时，如何平移伸缩，能得到的图象？ (3)求函数在区间上的最值及取得最值时的值. 75．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知函数，在上有最小值，无最大值，且满足．(1)求的解析式；(2)求的对称中心；(3)求的对称轴方程；(4)用五点作图法作出的图象；(5)求的单调递增区间；(6)求的解集；(7)将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对满足的，有，求的值． 能力提升进阶练 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，锐角的顶点与重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为．将角沿逆时针旋转角后，得到角，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·福建·阶段练习）已知是函数的图象的一条对称轴，则的最小正值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·山东聊城·阶段练习）已知函数的图象关于点对称，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·山东烟台·期中）若函数在上的最小值为，则t的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·四川成都·期末）函数在上有且仅有3个零点和2个最小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·辽宁朝阳·期末）已知，则（    ）（多选题） A．的值为或 B．当时，的值为 C．当时，的值为 D．当为第三象限角时，的值为 8．（25-26高三上·重庆渝北·阶段练习）设函数，若在上单调递增，则ω的取值集合的子集可能是（    ）（多选题） A． B． C． D． 9．（2025高三上·广东·专题练习）设，则 . 10．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知函数，则的最大值为 . 11．（2024高一·上海·专题练习）若，证明：(1)；(2). 12.（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图是一扇环形砖雕，可视为扇形截去同心扇形所得部分.已知扇环周长为300cm，大扇形半径，小扇形半径，则    (1)求关于x的函数关系式； (2)若雕刻费用关于x的解析式为，求砖雕面积与雕刻费用之比的最大值. 13．（25-26高一上·湖北·课后作业）求下列函数的值域：(1)；(2). 14．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数．(1)求在上的值域；(2)设，若对，，使得．求实数的取值范围． 15．（24-25高一下·陕西渭南·期中）降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种.其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点.(1)求该噪声声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式； (2)先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，当时，函数恰有两个不同的零点，求实数的范围和的值. 16．（24-25高一下·四川成都·阶段练习）已知函数． (1)当和时；用五点作图法在给定坐标系中作出函数在上的图象．（写出必要的作图步骤） (2)当和时（其中），对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于8次，不多于16次，求的值 (3)当和时，对任意实数，在区间上要使函数值出现不少于次，不多于次，求满足上述条件时的最多个数以及对应，的取值．（其中） 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $