专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由，得到，由三角形外角的性质得到． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定，三角形内角和定理，角平分线的定义． （1）根据同角的补角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后利用平行线的判定即可解答； （2）利用（1）的结论可得，再利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角定理等知识，正确求出和三角形外角定理是解题的关键． 利用平行线的性质求出的度数，再利用求出的度数即可． 【详解】解：∵，， ∴， 又，， ∴． 故选：D． 例2（2025·甘肃酒泉·一模）如图，与相交于点，，若， ，则 度． 【答案】90 【分析】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质．由两直线平行内错角相等得，；三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，所以． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 例3（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形内角和定理．根据平行线的性质可知，根据角平分线的性质可知，根据三角形内角和定理可知，可知. 【详解】解：， ， 平分， ， 在中，， ，， ， . 例4（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义．先求出，再得到，求出，得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分交于F，平分交于G， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例5（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图和的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形外角和定理，掌握角平分线性质是解题的关键． 根据角平分线的性质可以得到两组角相等，，根据三角形外角定理得到，，据此进行计算即可． 【详解】解：和的平分线和相交于点P ， ， ． 答：的度数为：． 模型2.“A”字模型 例1（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．连结，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，可得，，所以可求得，同理进一步可推得，． 【详解】解：连结， 点D是的中点， ，， ， 即， 点E是的中点， ， 点F是的中点， ． 故答案为：6． 例2（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，若．则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了多边形的内角和． 根据三角形内角和求出，再根据四边形的内角和为计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴． 故答案为： 例3（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 例4（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 例5（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）由三角形的外角性质可求得，再由角平分线的定义即可求的度数； （2）结合（1）可求得，利用同位角相等，两直线平行即可判定． 【详解】（1）解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 模型3.三角板模型 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是 度． 【答案】75 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形外角的性质，解题的关键是判断出，并利用三角形外角性质求解． 先根据直角相等判定，得到内错角相等，再结合三角形外角性质求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：75． 例2（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 【答案】2或14 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示：当第一次平行于时， ∵， ∴， ∴（秒）； 如图所示：当第二次平行于时， ∵， ∴， ∴旋转了， ∴（秒）； 综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行 故答案为：2或14． 例3（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为8，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)8 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为8，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的， ， ， ， ∵， ， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ， ∵， ∴， ； （3）解：∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， 又∵，三块阴影部分的面积之和为8， ∴， ∴一个直角三角板的面积为8． 故答案为：8． 例4（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)在图1中，________； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 【答案】(1) (2)①图见解析，；②或25秒 【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据，求出结论即可； ②设旋转的时间为秒，由题知，，分两种情况：当转到与重合前和当转到与重合后，分别列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：； （2）解：①如图，此时，， ， ∴当等于 165 度时，两个三角形的边与边互相垂直； ②设旋转的时间为秒，由题知，， 当转到与重合时，（秒）， 分两种情况： 当转到与重合前，时， ， 当，即， 解得：秒； 当转到与重合后，时， ， 当，即， 解得：秒； ∴当，旋转的时间是或 25 秒． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角板中的角度计算，三角形的内角和定理，识别图形是解题的关键． 例5（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板(含)，将三角板(含)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角，试问： (1)当___________度时，能使图2中的． (2)当旋转到与重叠时（如图3），则___________度． (3)当时，连接（如图4），探求是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)15 (2)45 (3)，过程见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理以及旋转的性质的运用．解题时注意：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等，每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等． （1）根据平行线的性质求解明即可． （2）根据旋转的性质解决问题即可． （3）先设分别交于点M、N，依据三角形内角和定理以及三角形外角性质，即可得出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴, ;， 故当度时，能使图2中的， 故答案为：； （2）解：当旋转到与重叠时（如图3），则， 故答案为：45． （3）解：如图，当时，，保持不变； 理由：设分别交于点， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴． 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，角平分线的定义求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 2．（2024·广东·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质，延长交于，利用平行线的性质求出，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，延长交于， ， ∵一副直角三角板中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，和相交于点，则下列结论中不能完全确定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义与性质，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键．根据对顶角相等和三角形内角和定理可推出A选项；根据三角形外角的性质可推出B、C选项；D选项无法完全确定正确，即可得到答案． 【详解】解：∵，，，， ∴，，故A选项正确； 由三角形外角的性质可知，，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴D选项无法完全确定正确， 故选：D． 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理和角平分线的定义，用已知角表示出所求的角是解题的关键． 根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，列出算式计算即可． 【详解】解：∵都是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）将一副三角板按如图放置，其中，给出下列结论：①如果与互余，则；②如果，则有；③；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，平行线的判定，角的和差运算，熟练的利用三角形的内角和与角的和差关系进行计算是解本题的关键． 求解，可得，证明，可得，故①符合题意； 如图，记的交点为，求解，可得不垂直，故②不符合题意；由，可得③符合题意；求解，证明，可得，故④符合题意；从而可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； 如图，记的交点为， ， ， ， ∴不垂直，故②不符合题意； 由， ∴③符合题意； ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故④符合题意． 综上，①③④符合题意． 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是一副直角三角板、，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中角度计算问题，角平分线的定义，三角形的外角的性质；先根据三角板的度数得出，再根据角平分线的定义得出，最后根据角的和差关系可得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：三角板中，，， ， 平分，， ， ， ∴ 故选：C． 7．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长． 根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，、的平分线，相交于点，，则 【答案】/60度 【分析】本题考查三角形内角和定理、角平分线、三角形外角的性质，根据三角形内角和定理可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：在中，， ， ， 、分别平分、， ，， ， 是的外角， ． 故答案为： ． 9．如图，在中，是中线，点E在上，，与相交于点F，若的面积为28，则四边形的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．连接，由是中线，可得，，，再根据，求出，即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接，如图， ，是中线，， ，，， ， ， ， 解得：， 四边形的面积． 故答案为：5． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，若，，平分交AC于点D，交AB于点E．求，的度数． 【答案】的度数为，的度数为 【分析】本题考查了三角形内角和定理：利用三角形内角和定理求三角形中的未知角．也考查了平行线的性质． 先利用三角形内角和计算出，再根据角平分线的定义得到，接着根据平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴． ∴的度数为，的度数为． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、垂线以及角平分线的定义．由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，由是的高，可得出，结合三角形内角和定理，可求出的度数，再将其代入中，即可求出的度数． 【详解】解：∵平分， ∴， 在中，，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，连接相交于点，且，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明：． 【答案】(1) (2)说明见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形内角和定理是解题的关键． （1）由三角形内角和定理可得，再根据三角形的外角性质即可解答； （2）设，由三角形内角和定理可得，再根据条件将转化为化简即可看到两角都等于β即可证明结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴。 故答案为：110． （2）证明：如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴． 13．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解； （2）由角平分线的定义可得，再由三角形内角和定理可得，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】（1）解：如图，令相交于点O， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ， ，， ， ． （2）解：，理由如下， 与的角平分线交于点P， ， ，，， ， ， ，， ， ，即． 14．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查了画三角形的高，三角形的中线的性质； （1）根据题意画出垂线， （2）①三角形的中线将三角形的面积等分成两份，从而求得的面积； ②由再求出三角形的面积，则得边上的高； ③由平行线可得，从而求得． 【详解】（1）如图，作垂足为， （2）①为的中线， ， 的面积为， 的面积为； ②为的中线， ， ， 的长； （3），为的中线， 是的中位线， 是的中线， ，， ， 又 15．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 【答案】（1）①，②；（2），理由见解析；（3）38 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角定理等知识． （1）①根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可求出； ②根据角平分线定义得到，根据三角形外角定理和角的代换即可证明； （2）根据三角形外角性质和角的代换即可证明； （3）根据（1）②分别求出，，即可求出． 【详解】解：（1）①∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； ②∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴， ∵是外角，是外角， ∴； （2）． 证明：∵是外角，是外角， ∴； （3）∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∵P是内角和外角的平分线的交点， ∴由（1）②得； ∴． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段练习）图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角的知识，． （1）利用三角形外角可得； （2）由（1）可得，， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】（1）解：由三角形外角性质可得， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可得，， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 17．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）连接，由折叠的性质得出．由三角形外角的性质可得出结论； （2）由三角形外角的性质得出，则可得出结论； （3）①延长交的延长线于L，由（2）中结论可知，求出．则可得出答案． 【详解】解：（1），理由如下： 如图①，连接， 将三角形纸片沿折叠，点A落在四边形内点的位置， ． ， ， 即； 故答案为：； （2），理由如下： 如图②，设与交于点F， ， ， ； （3）如图③，延长交的延长线于L，由（2）中结论可知， ， ． ， ． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·福建厦门·期末）一副三角板、按如图1方式摆放，，，，，直线．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，，与直线a交于点P． (1)求的度数； (2)连接为的角平分线． ①如图2，当点F在上，证明； ②将沿着直线b平移，记，若射线与直线交于点Q且夹角为，探究在平移过程中与的关系． 【答案】(1) (2)①见解析② 【分析】本题主要考查平分线的性质，三角形外角的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）延长交直线于点，求出，由三角形外角的性质可求出的度数； （2）①由平行线的性质得出，设，可得，由三角形外角的性质得出，再代入计算可得结论； ②设，则，得，，由得，再根据三角形定理可得结论． 【详解】（1）解：延长交直线于点，如图， ∵， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：①如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 设, ∵平分， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； ②如图， 设，则， 同理可得，， ∴， ∵， ∴ 又， ∴， ∴ ∴， ∴． 19．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】 已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作）， （依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】 （2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】 （3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 【答案】（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两条直线平行，内错角相等；（2）；见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理应用，平行公理的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据平行公理和平行线的性质进行解答即可； （2）延长，根据得出，根据平行线的性质得出，再根据角度间的关系，得出答案即可； （3）根据，，得出，根据平行线的性质得出，求出，根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：（1）过点作的平行线． （已知），（已作）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （两条直线平行，内错角相等） （等量代换） （2），理由如下： 延长，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，． (1)填空：如图1，_____． (2)如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数． (3)如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离． (4)将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)平移的距离是 (4)或 【分析】本题是几何变换综合题，考查了平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理，中点的定义，角的和差关系等知识，得出是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，从而得出答案； （2）根据三角形内角和定理首先求出的度数，再根据，可得答案； （3）设，则，根据平移的性质得，由，可得答案； （4）分或两种情形，分别画出图形，从而得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． （2）由（1）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）∵点是的中点， ∴， 设，则， ∵将沿射线的方向平移到'的位置，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平移的距离是； （4）当时，如图， 由（1）知：， ∴， ∴ 当时，如图， ∵， ∴点，重合， ∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴ 综上所述，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或． 21．已知两个大小相同的含角的直角三角板、，，． (1)如图（1），点、重合，点在上，与交于点．请说明与有怎样的位置关系？ (2)如图（2），将三角板绕点逆时针旋转一个大小为的角，当时，直线与交于点，求的度数； (3)如图（3），在将三角板绕点逆时针旋转角的过程中，请你判断与的数量关系是否发生变化；如果不变，请写出这个关系并证明；如果改变，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)不变，，证明见解析 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质． （1）根据“同位角相等，两直线平行”即可证明； （2）根据“两直线平行，内错角相等”，“两直线平行，同位角相等”即可求解； （3）与的数量关系不变．先由邻补角的性质得到，接着由求出，最后再由三角形内角和即可求出． 【详解】（1）证明：， （同位角相等，两直线平行）； （2）解：且， （两直线平行，内错角相等）， 同理，（两直线平行，同位角相等）， ； （3）解：与的数量关系不变，． 证明：， ． ， ． 又， ， ． 22．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线性质、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）延长交于点．根据三角尺得到角度，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，再根据三角形内角和可求得结果； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即DE平分． （3）延长交于点． 由题可得：，，， ， ， ， ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近几年各地的考试中出现不少的几何倒角模型，属于几何题型中较难的一类题目，主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·山东·模拟预测）直角三角板与直角三角板如图摆放，其中，，，与相交于点M，若，则为（   ） A． B． C． D． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． （2025·四川成都·一模）如图2，已知线段，相交于点O，平分，交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（25-26八年级上·广西防城港·阶段练习）两个直角三角尺如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2（2025·甘肃酒泉·一模）如图，与相交于点，，若， ，则 度． 例3（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）如图，，的平分线交于点，交于点，且，，的度数为 ． 例4（25-26八年级上·河南信阳·阶段练习）如图，相交于点O，若平分交于F，平分交于G，，，则 ． 例5（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图和的平分线和相交于点P，并且与，分别相交于点M，N．若，，求的度数． 模型2.“A”字模型 例1（25-26八年级上·四川南充·开学考试）如图，在中，G是边上任意一点，D、E、F分别是、、的中点，，则的值为 ． 例2（24-25八年级上·江西赣州·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，若．则等于 ． 例3（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 例4（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 例5（24-25八年级上·重庆南岸·期末）如图，在中，，，的外角的平分线交的延长线于点为延长线上的一点，连接． (1)求的度数． (2)若，求证：． 模型3.三角板模型 例1（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，将一副直角三角板放置，使含的三角板的较短直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一直线上，则的度数是 度． 例2（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行． 例3（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为8，则一个直角三角板的面积为 ． 例4（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中），，与直线重合，且三角板，三角板均可以绕点旋转． (1)在图1中，________； (2)①如图2，若三角板保持不动，三角板绕点逆时针旋转，旋转角度为（），当等于多少度时，两个三角形的边与边互相垂直．请画出图形并求解； ②如图3，在图1基础上，若三角板的边从处开始绕点逆时针旋转，转速为秒，同时三角板的边从处开始绕点顺时针旋转，转速为秒，当转到与重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当时，请直接写出旋转的时间是多少秒． 例5（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，取一副三角板按图1拼接，固定三角板(含)，将三角板(含)绕点A顺时针方向旋转一个大小为的角，试问： (1)当___________度时，能使图2中的． (2)当旋转到与重叠时（如图3），则___________度． (3)当时，连接（如图4），探求是否是一个定值，如果是，求这个定值，并写出解答过程；如果不是，请说明理由． 1．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点，当时，的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，和相交于点，则下列结论中不能完全确定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）如图，都是的角平分线，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）将一副三角板按如图放置，其中，给出下列结论：①如果与互余，则；②如果，则有；③；④如果，必有．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．①③④ 6．（25-26八年级上·河北邢台·阶段练习）下面是一副直角三角板、，其中，，，小明将点与点重合，且使平分，则的大小为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）如图，，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 8．（25-26八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，、的平分线，相交于点，，则 9．如图，在中，是中线，点E在上，，与相交于点F，若的面积为28，则四边形的面积为 ． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，若，，平分交AC于点D，交AB于点E．求，的度数． 11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，平分交于点，是的高，与交于．若，，求的度数． 12．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，在中，点分别在边上，连接相交于点，且，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明：． 13．（25-26八年级上·河南周口·阶段练习）如图，与的角平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)探究 的数量关系并说明理由． 14．如图，为的中线，为的中线． (1)在中作边上的高，垂足为； (2)若△的面积为，．   ①的面积为_________；   ②求中边上的高的长； (3)过点作，交于点，连结、且相交于点，若，，求．(用含、的代数式表示) 15．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）（1）【探究发现】如图①，在中，点P是内角和外角的平分线的交点． ①若，求的度数： ②试猜想与之间的数量关系，并直接写出结论（不需证明）： （2）【迁移拓展】如图②，在中，点P是内角和外角的n等分线的交点，即，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）【应用创新】如图③，相交于点C，的平分线交于点P，若，，则________度． 16．（25-26八年级上·湖北黄冈·阶段练习）图1，线段、相交于点O，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与、分别相交于M、N．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：____________________； (2)图2中，当，时，求的度数．（写出过程） 17．（25-26八年级上·湖北黄石·阶段练习）综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动． 独立思考：（1）如图①，将三角形纸片沿折叠，使点A落在四边形内点的位置，则与之间的数量关系为______，请说明理由； 深入探究：（2）如图②，若点落在四边形的边下方时，试猜想此时与，之间的数量关系，并说明理由； 结论运用：（3）如图③，在四边形中，，E，F分别是，边上的一点，沿将四边形折叠，点A的对应点G恰好落在边上，且．的度数为______； 18．（24-25七年级下·福建厦门·期末）一副三角板、按如图1方式摆放，，，，，直线．点A在直线a上，点B、点C与点D均在直线b上，，与直线a交于点P． (1)求的度数； (2)连接为的角平分线． ①如图2，当点F在上，证明； ②将沿着直线b平移，记，若射线与直线交于点Q且夹角为，探究在平移过程中与的关系． 19．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）【阅读理解】 已知直线．将一块三角板按如图所示方式摆放，，三角板的两个顶点和分别在直线、上，求证：． 证明：过点作的平行线． （已知），（已作）， （依据1）， （两直线平行，内错角相等） （已作） （依据2） （等量代换） （1）填空：上述解答过程中，依据1是______，依据2是______； 【初步应用】 （2）已知直线，将一块三角板按如图3所示方式摆放，，写出，与之间的数量关系，并说明理由（不用写依据）； 【拓广延伸】 （3）已知，，一副三角板按如图4方式摆放，三角板的两个顶点，分别在直线和上，边的延长线交于点，，，请直接写出的度数． 20．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）将分别含有和角的两块直角三角板的最长边部分重叠地摆放在一起，边在直线上，点在直线上，且，与交于点，，． (1)填空：如图1，_____． (2)如图2，将直角三角板沿射线方向平移，当点恰好落在直线上时，求的度数． (3)如图3，将直角三角板沿射线方向平移到的位置，若点是的中点，且，求平移的距离． (4)将直角三角板沿直线平移，在平移过程中，始终保持两直角三角板的直角顶点在直线的两侧，则当以，，为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出的度数． 21．已知两个大小相同的含角的直角三角板、，，． (1)如图（1），点、重合，点在上，与交于点．请说明与有怎样的位置关系？ (2)如图（2），将三角板绕点逆时针旋转一个大小为的角，当时，直线与交于点，求的度数； (3)如图（3），在将三角板绕点逆时针旋转角的过程中，请你判断与的数量关系是否发生变化；如果不变，请写出这个关系并证明；如果改变，请说明理由． 22．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图①，小明将含角的直角三角板中的点落在直线上，若，则的度数为______； (2)如图②，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分请说明理由． (3)小明将三角板与三角板按如图③所示方式摆放，点与点重合，求的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $