专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·四川达州·二模）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． （2023·浙江湖州·一模）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图的角平分线 相交于点 O，度，则（    ） A．80 度 B．100 度 C．120 度 D．140 度 例2（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，．根据以上阅读理解，你能猜想(等分时，内部有个点)(用的代数式表示)(    ) A． B． C． D． 例3（23-24八年级上·浙江衢州·期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；    （1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ； （2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、，则 （用含n的代数式表示）． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图①，的角平分线相交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，过点作直线，分别交和于点和，且平行于，试求的度数（用含的代数式表示）；    (3)将（2）中的直线绕点旋转，分别交线段于点（不与重合），交直线于，请探索并直接写出三者之间的数量关系．    例5（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 例2（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、在（3）的条件下，的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 例4（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 例5（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 1、（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    2．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，D是边上一点，交于点F，若，，则的度数为 ．    4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为 ． 5．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，与的角平分线相交于点P，若，则 °．    6．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图所示，中，，延长到，与的角平分线相交于点，则的大小是 ，与的平分线相交于点，依此类推，与的角平分线相交于点，则的大小是 ． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，，．若DF//BC，则 °． 11．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案） （2）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 13．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知，直线交、于点、． (1)如图1所示，点在线段上，设，，求：的度数． (2)如图2所示，点在线段上，，平分，交的延长线于点，若、，求的度数； (3)如图3所示，点在射线上运动时，的角平分线与的角平分线交于点，求的值． 14．（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 15．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在，分别是的平分线，分别是的平分线．证明：当的大小变化时，的值不变．请将以下证明过程补充完整． ∵是角平分线， ∴（依据：角平分线的定义）， ∴（依据： ）， ， ∵， 分别是的角平分线， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴（写具体度数）， ∴当大小变化时，的值不发生变化． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，点为直线上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、三个角之间的数量关系． 18．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 19．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型 三角形中的倒角模型是考试中经常出现的题型，尤其是在压轴题中，该模型主要考查的有高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角和定理等）；对于初学者来说，设角的未知数，再通过设的角表示其他角，就可以搭建关联角之间关系的桥梁；本专题主要讲解双角平分线模型，可以帮助学生快速得到角的关系，求出所需的角，运用结论做题，事半功倍，但需要注意特殊题型要特殊分析。 1 模型趣事 1 真题现模型 1 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1双角平分线模型（双内角） 5 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 9 模型3.双角平分线模型（双外角） 12 17 古希腊数学家毕达哥拉斯提出角平分线基本概念，欧几里得《几何原本》完善了单角平分线定理（平分角且对边成比例），但未涉及双角组合模型；直到24-25世纪双角平分线按位置关系提炼为三类标准模型。三类模型均通过角平分线性质将复杂角度关系转化为∠A的线性函数，体现“集中条件”的核心思想。该模型本质是角平分线研究的现代结晶，通过教育实践完成从理论到工具的转化。 口诀化总结：“内内90°加一半，外外90°减一半，内外直接取一半”。 （2024·四川达州·二模）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，若，求和的度数； (3)【探究延伸】如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∵为边上的高， ∴， ∴， ． （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∴． （2023·浙江湖州·一模）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【答案】习题回顾：见解析；变式思考：相等，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 习题回顾：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，结合是边上的高， ，即可证明； 变式思考：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，再结合是边上的高， ，即可证明． 【详解】习题回顾： 证明：平分， ， 是高， ， ， . ， ； 变式思考：相等，理由如下： 平分， ， ， ， 是高， ， ， ， ． 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 图1 图2 图3 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 3）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图1，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 图1 图2 图3 图4 5）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图2，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图3，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图4，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图4，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 模型1双角平分线模型（双内角） 例1（24-25八年级上·湖北鄂州·期末）如图的角平分线 相交于点 O，度，则（    ） A．80 度 B．100 度 C．120 度 D．140 度 【答案】C 【分析】求出的度数，根据平分线的定义得出，，求出的度数，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、分别是的、的平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于． 例2（24-25八年级上·河南信阳·期末）如图1，在中，，的角平分线交于点，则．如图，在中，，的两条三等分角线分别对应交于，，则，．根据以上阅读理解，你能猜想(等分时，内部有个点)(用的代数式表示)(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求出，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：∵，的角平分线交于点，则， 和分别是的三等分线， ∴，． ∵和分别是的n等分线， ∴ ∴， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及三等分线，n等分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 例3（23-24八年级上·浙江衢州·期中）已知中，，在图（1）中、的角平分线交于点，则计算可得；    （1）在图（2）中，设、的两条三等分角线分别对应交于、，得到则 ； （2）在图（3）中请你猜想，当、同时n等分时，条等分角线分别对应交于、，则 （用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义及三等分线，n等分线的定义． （1）根据三角形的内角和等于得出，再由、的两条三等分角线分别对应交于得出的度数，进而可得出结论； （2）根据n等分的定义求出的度数，在中，利用三角形内角和定理列式整理即可得解． 【详解】解：（1）在中，， ， 和分别是的三等分线， ； ． 故答案为：； （2）∵和分别是的n等分线， ； ． 故答案为：． 例4（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图①，的角平分线相交于点．    (1)如果，求的度数； (2)如图②，过点作直线，分别交和于点和，且平行于，试求的度数（用含的代数式表示）；    (3)将（2）中的直线绕点旋转，分别交线段于点（不与重合），交直线于，请探索并直接写出三者之间的数量关系．    【答案】(1) (2) (3)当N在线段上时，；当N在线段延长线上时，；当N在线段延长线上时， 【分析】此题考查了三角形外角的性质、与角平分线有关的三角形内角和问题等知识，分情况讨论是解题的关键． （1）由角平分线定义得到，再根据三角形内角和定理即可得到，即可得到答案； （2）由平行线的性质得到，，则，由平行线的性质和三角形内角和定理得到，即可得到答案； （3）分三种情况：当N在线段上时；当N在线段延长线上时；当N在线段延长线上时，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：∵平分和， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵平分和， ∴， ∴． （3）解：分情况讨论： ①当N在线段上时，如图，    ∵平分和交于点P， ∴， ∴， ∴； ②当N在线段延长线上时，如图，    ∵，，且， ∴ 即； ③当N在线段延长线上时，如图，    ∵，且， ∴． 例5（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，在中，是的角平分线，点在边上，且不与点重合，与交于点． (1)若是的高，且，则的度数为 ； (2)若是的角平分线，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由三角形角平分线的定义得，由三角形高的定义得，进而根据三角形外角性质即可求解； （）由三角形内角和定理得，进而由三角形角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形的角平分线，三角形的高，三角形的外角性质和内角和定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵、是的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 模型2.双角平分线模型（一内角一外角） 例1（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，已知，A，B两点同时从点O出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连接，． (1)当时，求的度数； (2)点A，B在运动的过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)连接并延长，与的角平分线交于点P，在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)的度数不变， (3)°或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角的定义平分线得到，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （2）根据三角形的内角和求出，根据角平分线定义得出，，最后根据三角形内角和定理即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴； （2）解：的度数不变， 理由：∵， ∴， ∵点C为三条内角平分线交点， ∴，， ∴ ； （3）解：为或． 设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中有一个角是另一个角的2倍， ∴①若，则，解得：（舍）， ②若，则，解得：， ③若，则，解得：， ④若，则，解得：， 综上，在中有一个角是另一个角的2倍时，为或． 例2（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【分析】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 例3（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图①，在中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒． (1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______． (2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______． (3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由． (4)如图③、在（3）的条件下，的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值． 【答案】(1)，5 (2) (3)．理由见解析 (4)4.5或6或12 【分析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，一元一次方程，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可； （2）根据动线的位置确定，且不超过时的，列不等式组解题即可； （3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可； （4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可． 【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转， ∴； ∵，， ∴， 当点E与点C重合时， ∴，解得； 故答案为：，； （2）若要与射线相交， 则， 当点E在点C右侧时， ，解得， 故答案为：； （3）解：，理由为： ∵是的外角， ∴， ∵、的角平分线交于点P， ∴，， ∴； （4）解：∵， ∴， 又∵和时和的平分线， ∴，， ∴， ∴， 当时，则，解得； 当时，则，解得； 当时，则，解得(舍去)； 当时，则，解得； 综上所述，t的值为，或． 例4（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 例5（2024七年级下·上海·专题练习）（1）阅读并填空：如图①，、分别是的内角、的平分线． 试说明的理由． 解：因为平分（已知）， 所以 （角平分线定义）． 同理： ． 因为，， ， 所以 （等式性质）． 即：． （2）探究，请直接写出结果，无需说理过程： 如图②，、分别是的两个外角、的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． 如图③，、分别是的一个内角和一个外角的平分线．试探究与之间的等量关系． 答：与之间的等量关系是 ． （3）如图④，中，，、分别平分、，是的外角的平分线．试说明的理由． 【答案】（1）见解析；（2）；；（3）见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质的应用，能熟记三角形外角性质定理是解此题的关键，注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．关键“三角形的一个内角等于和它不相邻的两个外角的和”、“三角形的内角和等于”及等式的性质分析求解． （1）根据平分线定义得，，再根据三角形的内角和定理即可得证； （2）根据角平分线定义、三角形的内角和定理即可得证； （3）根据角平分线定义、三角形的内角和定理及外角性质即可得证； 【详解】（1）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：． 因为，（三角形的内角和等于180， 所以 （等式性质）． 即：． （2）解：与之间的等量关系是：．理由： 、分别是的两个外角、的平分线， ，， ， ， 而， ， ， ， ， ， 与之间的等量关系是：． 理由：、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ， 即： （3）解：因为平分（已知）， 所以（角平分线定义）． 同理：，． ，（三角形的一个外角等于两个不相邻的内角和）， ． 又（已知）， （等式性质）． （平角的定义）， ． （三角形的内角和等于， （等式性质）． （等量代换）． ．（等角对等边）． 模型3.双角平分线模型（双外角） 例1（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）【问题发现】在某课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题． （1）数学课代表发现在图1中，若与的平分线交于点P，则与之间存在一定数量关系为__________．（请直接写出结果） 【问题探究】（2）如图2，在（1）的条件下，作的外角，的平分线交于点Q，试说明． 【问题拓展】（3）如图3，在（2）的条件下，延长线段，交于点E，在中． ①请说明与之间的数量关系． ②当与两锐角存在2倍的数量关系时，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）①，②的度数为或 【分析】本题考查了角平分线的定义．三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）先根据角平分线的性质得出，，在有三角形内角和定理得出，利用等量代换即可得出结论； （2）先根据角平分线的性质得出，，再由三角形的外角的性质即可得出结论； （3）①先根据角平分线的性质得，，再根据三角形的内角和定理得出根据，即可得出结论；②延长至点F，根据角平分线的定理得出，然后分、和两种情况讨论即可得出结论； 【详解】（1）解：； ，分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：，分别是，的平分线， ，， ，， ，， ， ， ， 由（1）知， ； （3）解：①是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， 由（2）知， ； ②延长至点F， 是的外角的平分线， 是的外角的平分线， ， 是的平分线， ， 即， ， 即， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， 在中，与都是锐角， 当时， ， ， ， ， 当时 ， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 例2（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）探究一： （1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则______度． （2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则______度． 探究二： 如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线．请说明和之间的数量关系？并证明你的结论．    【答案】探究一：（1）122；（2）55；探究二：，证明见解析 【分析】探究一：（1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，从而可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； 探究二：先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质即可得． 【详解】解：探究一：（1）∵在中，， ∴， ∵，分别是两个内角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：122； （2）∵在中，， ∴， ∴， ∵，分别是两个外角，的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：55； 探究二：，证明如下： ∵在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线， ∴，， 又∵，， ∴，， ∴． 例3（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）阅读下面的材料，并解决问题． (1)已知在中，，图1−图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数． 如图1， ； 如图2， ； 如图3， ； (2)在（1）的条件下，如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ． (3)如图5，中，的三等分线分别与的角平分线交于点，，若，，则的度数为 ． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质等知识： （1）由的度数，在中，可得与的和，又、是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案； （2）由的度数，在中，可得与的和，又、是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论； （3）先分别求出与的度数，即可求得的度数． 熟练掌握三角形内角和定理，以及熟悉常考的基本图形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； 如图2，    ∵平分，平分 ∴， ∵ ∴ ∵ ∴； 如图3，    ∵平分，平分 ∴， ∴ ∴； （2）如图4，    ∵，的三等分线交于点， ∴， ∵平分，平分，平分 ∴ ∴ ∴； （3）如图5    ∵，， ∴ ∵的三等分线分别与的平分线交于点，， ∴，， ∴ ∴ ∴． 例4（24-25八年级上·重庆璧山·阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：如图1，在中，O是与的平分线和的交点，，求的度数（用含α的式子表示）． (2)探究2：如图2中，O是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． (3)探究3：如图3中，O是外角与外角的平分线和的交点，则与又有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活运用三角形的外角的性质是解本题的关键． （1）首先根据角平分线的定义，可得，再根据三角形内角和定理，即可求解； （2）先由角平分线的定义，得出，再由三角形的外角的性质得出，再根据三角形外角的性质，即可得出结论； （3）根据角平分线的定义，可得，根据三角形的外角性质和三角形的内角和定理，即可得出结论． 【详解】（1）解： O是与的平分线和的交点， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： O是与外角的平分线和的交点， ， 是的一外角， ， ， 是的一外角， ； （3）解：，理由如下： O是外角与外角的平分线和的交点， ， ， ， ， ． 例5（23-24七年级下·四川乐山·期末）在华师版数学七下第82页曾经研究过三角形角平分线的夹角问题．某学校七年级（一）班的同学在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他们的研究过程如下： 【原问呈现】 （1）如图1，中，，，平分，平分，则______； 【问题推广】 （2）如图1，中，若，平分，平分，求的度数； （3）如图2，中，的角平分线与的外角的角平分线交于点，过点作于点，若，求的度数； （4）如图3，中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、．若，请直接写出的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （3）先由角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质得到，根据三角形内角和定理推出，再由垂线的定义得到，则； （4）先由角平分线的定义得到，，，，，，再由三角形内角和，根据，得到，由此得解． 【详解】解∶（1） 平分，平分，，， ，， ， 故答案为：； （2） ， ， 平分，平分， ，， ，即 ； （3） 平分，平分， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （4）如图3所示， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， 、分别平分、， ，， ，，， ， ， 又 ，，， 即， ， 又，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，平行线的性质，垂线的定义，熟知相关知识，找到角与角之间的等量关系是解题的关键． 1、（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， 则， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出，，与的规律是解题的关键． 2．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）如图，△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线交于点M，∠ACB的角平分线与BM的反向延长线交于点N，若在△CMN中存在一个内角等于另一个内角的2倍，则∠A的度数为 【答案】或或 【分析】根据，的角平分线交于点，可求得，延长 至，根据为的外角的角平分线，可得 是的外角的平分线， 根据平分 ，得到，则有，可得 ，可求得；再根据，分四种情况：①；② ；③；④，分别讨论求解即可． 【详解】解：外角，的角平分线交于点 ， ∴； 如图示，延长至， 为的外角的角平分线， 是的外角的平分线， ， 平分， ， ， ， 即， 又， ∴ ，即； ; 如果中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分四种情况： ①，则， ； ②，则， ，； ③，则，解得 ； ④，则，解得 ． 综上所述，的度数是或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 3．（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，是的角平分线，D是边上一点，交于点F，若，，则的度数为 ．    【答案】/79度 【分析】角平分线得到，根据已知条件得到，得到，根据三角形的内角和定理，得到，求出的度数，再根据三角形的内角和定理以及对顶角相等，即可得出结果． 【详解】解：如图，    ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题．熟练掌握角平分线平分角，以及三角形的内角和为，是解题的关键． 4．（23-24七年级下·山东济宁·期中）如图，在中，为的外角，与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线相交于点，当两条角平分线无交点时，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查图形变化的规律，三角形内角和定理及整体思想的运用是解题的关键.利用整体思想结合三角形的内角和定理即可依次求出的度数，根据发现的规律即可解决问题. 【详解】， ， ， 又 和 分别平分和, ,, ， ， 和 分别平分 和 ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， ∴无法组成三角形，即两条角平分线无交点， 故的值为. 故答案为: . 5．（2023八年级上·全国·专题练习）如图，四边形中，与的角平分线相交于点P，若，则 °．    【答案】13 【分析】延长交于点D，与交于点E，根据三角形外角性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：延长交于点D，与交于点E，    根据三角形的外角的性质， ，， ∵与的角平分线相交于点P， ∴， ∴， 根据三角形的内角和定理， ， ∴， ∴， ∵， 所以， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了角的平分线计算，三角形外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握外角性质和角的平分线的意义是解题的关键． 6．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，点P是的外角和的角平分线的交点，若，则    【答案】/61度 【分析】根据三角形内角和公式可得，再根据角平分线定义可得，再运用三角形内角和定理即可解答； 【详解】， 又， ， ， 又分别是外角和的角平分线， ， ； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的内角和是180度，求角的度数常常要用到三角形的内角和是 这一隐含的条件． 7．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，是一个缺角的三角板模型，现要知道的大小.数学活动课上，小李没有采用先直接量得和的度数，再求得的度数，而是分别画出的角平分线与的外角平分线相交于点，测得，请告知 °. 【答案】 【分析】根据邻补角及角平分线用表示及表示、结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵的角平分线与的外角平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，解题的关键是根据三角形内角和得到，最后整体代入． 8．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期末）如图，在中，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，是的角平分线，若，则 ． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义得到，，再根据外角的性质得到，同理得到，逐步代入计算可得结果． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴ ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外角性质，同时考查了角平分线的定义．解答的关键是掌握外角和内角的关系． 9．（2023七年级下·全国·专题练习）如图所示，中，，延长到，与的角平分线相交于点，则的大小是 ，与的平分线相交于点，依此类推，与的角平分线相交于点，则的大小是 ． 【答案】 【分析】利用角平分线的性质、三角形外角性质，易证，进而可求，由于，，，以此类推可知． 【详解】解：平分，平分， ，， ， 即， ， ， ， ， 同法可得：， 以此类推． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线性质、三角形外角性质，解题的关键是推导出，并能找出规律． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC中有两个内角相等，且BD是△ABC的角平分线，，．若DF//BC，则 °． 【答案】或22.5 【分析】设，，根据题意可用x和y分别表示出，和．根据在△ABC中有两个内角相等可分类讨论，结合三角形内角和定理列出方程组，即可解答． 【详解】设，， ∵，， ∴，， ∴． ∵， ∴，． ∵BD是△ABC的角平分线， ∴． 分类讨论：①当时， 由题意可得：， 解得：， ∴； ②当时， 由题意得：， 解得：， ∴； ③当时， ∵， ∴此情况不成立． 综上可知，的大小为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 11．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 12．（24-25七年级下·山西临汾·期末）综合与探究 【感知】如图①，在中，分别是和的角平分线． 【应用】 （1）若，则________；（直接写出答案）若，则________；（直接写出答案） （2）写出与之间的关系并证明； 【拓展】 （3）如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）或 【分析】本题考查三角形内角和定理，外角性质定理，角平分线的定义；熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义，三角形内角和定理求解即可； （2）根据角平分线，三角形内角和定理进行求解； （3）结合（2）的结论，根据三角形外角性质，内角和定理求解． 【详解】解：（1）∵分别是和的平分线，，， ∴， ∴． ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）；理由如下： ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴ ； （3）． 如图，延长，交于点E，由（2）知，， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 即． 13．（24-25七年级下·福建莆田·期中）已知，直线交、于点、． (1)如图1所示，点在线段上，设，，求：的度数． (2)如图2所示，点在线段上，，平分，交的延长线于点，若、，求的度数； (3)如图3所示，点在射线上运动时，的角平分线与的角平分线交于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得到，，即可求解； （2）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得出，，从而得出，，由角平分线定义和，利用三角形外角性质即可求解． （3）设，交于I，交于K，过点K作交于H，，由平行线的性质得到，利用三角形内角和定理和平角的定义得到；由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，；再由角平分线的定义得到，同理可得，由此即得出，代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图所示，设交于I，，交于K，过点K作交于H， ∵， ∴， ∵， ∴； ∵平分， ∴， ∵，， ∴，； ∵平分， ∴， 同理可得：， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，三角形内角和定理外角的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键． 14．（1）【探究发现】 如图1，在中，点是内角和外角的角平分线的交点，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【迁移拓展】 （2）如图2，在中，点是内角和外角的等分线的交点，即，，试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想． 【应用创新】 （3）已知，如图3，相交于点C，、、的角平分线交于点P，，，则 ． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （2）根据三角形的外角性质可得，，从而可得出，由此即可得出答案； （3）先根据（1）的结论可得，，再根据角的和差可得，由此即可得出答案． 【详解】解：（1），证明如下： 点是内角和外角的角平分线的交点， ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （2），证明如下： ，， 由三角形的外角性质得：，， ，即， ； （3）由（1）的结论得：，， 即，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、角n等分的定义、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 15．（24-25七年级下·吉林·期中）如图1，中，的角平分线和的角平分线交于点D    (1)若，则_________． (2)从上述计算中，我们能发现：_________________（用含的代数式表示）； (3)如图2，中，的角平分线和的角平分线交于点，请用含的代数式表示，并说明理由． (4)如图3，的角平分线和的角平分线交于点，如此继续下去，可得，，…，，请写出与的数量关系为_________________．（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： (4) 【分析】本题考查三角形外角的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握其性质定理． （1）利用求出，再利用角平分线的性质求出，即可求解； （2）结合（1）的过程得，即可作答． （3）利用三角形的外角性质得出，，从而可得，，再利用角平分线的性质，即可证明； （4）与（3）同理先求出，则得，再观察规律，得即可求解． 【详解】（1）解：∵的角平分线和的角平分线交于点D， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：由（2）得出， 故答案为：． （3）解：依题意，，， ，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， ； （4）解：依题意，，，， ∴，， ∵的角平分线和的角平分线交于点， ，， ， 由（3）可知： ， ， 同理得 ， 以此类推，得， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在，分别是的平分线，分别是的平分线．证明：当的大小变化时，的值不变．请将以下证明过程补充完整． ∵是角平分线， ∴（依据：角平分线的定义）， ∴（依据： ）， ， ∵， 分别是的角平分线， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴（写具体度数）， ∴当大小变化时，的值不发生变化． 【答案】；三角形内角和定理；；；； 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，根据角平分线的定义和三角形内角和定理分别用和的度数表示出和的度数，进而求出的结果即可证明结论． 【详解】证明：∵是角平分线， ∴（依据：角平分线的定义）， ∴（依据：三角形内角和定理）， ， ∵， 分别是的角平分线， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴当大小变化时，的值不发生变化． 17．（2025七年级下·全国·专题练习）已知，点为直线上方一点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，平分，过点作的平行线交的角平分线于点，探索与之间的关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，如图3，若经过点，，点是直线上一点，请直接写出和、三个角之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或或 【分析】本题考查了平行线的判定风信子，角平分线的定义，邻补角，三角形外角的性质，利用分类讨论的方法，找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，，利用平行线的判定和性质即可证明； （2）过点作，过点作，延长至点，利用平行线的判定和性质得到①，②，③，④，计算即可得到； （3）求得，延长交于点，则，分三种情况讨论：当点在的延长线上时，当点在线段上时，当点线段的延长线上时，利用三角形的外角性质计算，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， 即， ∴， 即； （2）解：，理由如下： 如图，过点作，过点作，延长至点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴①，②，③，④， 由①②得⑤， 代入③⑤得⑥， 由④⑥得； （3）解：∵，平分， 设，则， ∴ 即， 延长交于点，则， ①当点在的延长线上时， 由（1）得， ∴， 即； ②当点在线段上时， ， ∴； ③当点在线段的延长线上时， ， ∴， 即， ∴． 综上，和、三个角之间的数量关系为或或． 18．（24-25七年级下·上海崇明·阶段练习）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 19．（23-24七年级下·山西临汾·期末）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1，在中，点E是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】 （2）如图2，在中，．延长至G，延长至H，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F，求的度数； 【变式拓展】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，求的度数和是多少？ 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案 （2）先推导出，再推导出，进而可以求解 （3）延长，交于点M，延长、交于点N，可得，进而即可求解 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点 ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴， ∴； ∴； （3）延长，交于点M，延长、交于点N， 如图所示， ∵、平分 ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． 20．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图1，已知，A、B两点同时从点出发，点A沿射线运动，点B沿射线运动，点C为三条内角平分线交点，连结、． (1)如图2，当，求的大小． (2)在点A、B的运动过程中，的度数是否发生变化？若不发生变化，求其值；若发生变化，请说明理由； (3)如图3，连结并延长，与的角平分线交于点，与交于点．在中，如果有一个角是另一个角的2倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)不变， (3)为或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线，解题的关键是掌握三角形内角和定理，三角形外角的性质． （1）先根据三角形的内角和定理求出的角度，再根据角平分线得到，，最后根据，即可解答； （2）根据题意，则，，再根据三角形的内角和，，即可解答； （3）设，根据题意，表示出的三个内角，分类讨论，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， 点为三条内角平分线交点， ，， （2）解：不变，理由如下： 点为三条内角平分线交点， ，， ； （3）解：设， ， ， ∵平分， ， ∵平分， ∴， ， ， ，， ， ． 在中有一个角是另一个角的2倍， ①若，则 解得： ②若，则，解得： ③若，则，解得：， ④若，则，解得： 在中有一个角是另一个角的2倍时，为或或． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$