专题04 双角平分线模型与角n等分线模型（几何模型讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·云南文山·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别是和的角平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． （24-25七年级上·河北石家庄·期末）三角板是我们常用的数学工具．如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上． (1)以下各角中，图①不含有的角是________（填序号）； ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)已知：射线、分别为和的角平分线，如图②，求的度数； (3)固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一周，旋转角为（如图③），当射线、、三条射线中一条射线为其它两条射线组成的角（小于平角）的角平分线时，直接写出旋转角的度数． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知、分别是、的角平分线，是内部的一条射线，若，，的度数为 ． 例3（24-25六年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 例4（24-25七年级上·湖南永州·期末）许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造锯的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． (1)探究一：如图，已知点在线段上，分别是线段的中点， ①若，求线段的长； ②若点为线段上任意一点，且满足，求线段的长（用含的代数式表示） (2)探究二：如图，已知，射线在内部，为的角平分线，为的角平分线，求的度数（用含的代数式表示） 例5（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，是的角平分线，射线在的内部且，若，则等于 ． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”，现在和为一对“友余角”，，则和的角平分线所成角的度数为 ． 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 8．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 9．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 11．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点是线段上两点，且满足，点分别是线段和的中点．若，分别求线段和的长； （2）如图2，射线在内部，且满足．分别作的角平分线．已知，求的度数； （3）如图3，射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒；在的外部作射线，使得，分别平分．已知，当时，______． 13．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 14．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 15．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 16．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，若，，、是、的角平分线，求的度数． 17．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 19．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 20．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 21．（24-25七年级上·北京海淀·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，且，是一对“分补角”，求的值； (3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值． 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量． 操作1：如图1所示放置，其中，；，．分别作出、的平分线、，得到________； 操作2：将三角尺固定，三角尺绕点A以的速度逆时针旋转，当边与边重合时，此时A、D、B、M在同一条直线上，作出的平分线，如图2所示，得到________； 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中为一固定值，其中、分别是、的平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立； 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出、的平分线、，通过度量发现为另一值，求出此时的度数； 发现：三角尺固定，三角尺从图1位置开始绕点A以的速度逆时针旋转一周的过程中，只有某一时间段为另一值，请直接写出这一时间段的时长． 23．（24-25七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 双角平分线模型与角n等分线模型 对于刚接触几何的七年级学生来说，关于角的计算是有很大难度的，这就要求学生面对这类题时具有一定的思路，知道大概的思考方向。一般来讲，这类题通常由问题出发，先由角的和差确定解题方向，然后辅以角平分线来解决。但是，对于有公共部分的双角平分线模型，可以写出角的和差种类较多，这就增加了思考的难度。如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的角的和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型拓展 4 模型运用 5 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 5 11 角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。 ‌ （24-25七年级上·云南文山·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别是和的角平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，以及角度的和差计算． （1）利用平角的定义得出，再利用角平分线的定义可得出，，进而可得出． （2）利用角平分线的定义，再根据角的和差关系即可得出，． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵，分别平分和． ∴，， ∴， 即． （2）∵，，平分， ∴， ∵ ∴， ∴． （24-25七年级上·河北石家庄·期末）三角板是我们常用的数学工具．如图①，先用三角板画出了直线，然后将一副三角板拼接在一起，其中角的顶点与角的顶点互相重合，且边、都在直线上． (1)以下各角中，图①不含有的角是________（填序号）； ①，②，③，④，⑤，⑥． (2)已知：射线、分别为和的角平分线，如图②，求的度数； (3)固定三角板不动，将三角板绕点按顺时针方向旋转一周，旋转角为（如图③），当射线、、三条射线中一条射线为其它两条射线组成的角（小于平角）的角平分线时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)④⑥ (2) (3)或或 【分析】本题考查了角的和差、角平分线，熟练掌握与角平分线有关的计算是解题关键． （1）根据三角板可得，，，，再根据角的和差求出，，的度数，由此即可得； （2）先根据角平分线的定义可得，，再根据角的和差求解即可得； （3）分三种情况：①当射线是的角平分线时，②当射线是的角平分线时，③当射线是的角平分线时，根据角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：，，，， ∴， ∴，， 综上，图①不含有的角是④⑥， 故答案为：④⑥． （2）解：∵射线为的角平分线，， ∴， ∵射线分别为的角平分线，， ∴， ∴． （3）解：①如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； ②如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； ③如图，当射线是的角平分线时， ∴， ∵， ∴旋转角； 综上，旋转角的度数为或或． 图1 图2 图3 图4 1）双角平分线模型（两个角无公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 2）双角平分线模型（两个角有公共部分） 条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC； 结论：。 证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，， ∴，∴。 3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角） 条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC； 结论：。 证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，， ∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB， ∴。 1）角n等分线模型 条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：． 证明：，、分别是和的平分线， ，， 、分别是和的平分线，， ， 、分别是和的平分线，， ，…， 由此规律得：。 模型1.双角平分线模型与角n等分线模型 例1（24-25七年级上·湖北荆州·期末）如图，为直线上一点，，分别是，的角平分线平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是角平分线有关计算．熟练掌握角平分线定义，角的和差倍分计算，是解题的关键． 根据角平分线定义可得，结合可得的度数． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 例2（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知、分别是、的角平分线，是内部的一条射线，若，，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，如当在外部时，根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，然后由角度和差求解即可，当在内部时，根据角平分线的定义得到，，再根据是的角平分线，求得，然后由角度和差求解即可，根据图形，找到角之间的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，当在外部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 如图，当在内部时， ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：或． 例3（24-25六年级上·上海·期末）已知分别是的角平分线．是内部的一条射线，若，则的度数为 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了角的计算，角平分线，利用角的加减，角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵分别是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级上·湖南永州·期末）许多历史故事蕴含着深邃的数学思想，如果我们用这些历史故事来启迪思维，就能获得数学的灵感，从而提升我们的数学素养和文化素养，比如鲁班造锯的故事，当鲁班的手不小心被丝茅草割破后，他仔细观察，发现丝茅草的叶子边缘布满小齿，由此产生了联想，发明了与丝茅草具有相同特征的锯子，本学期，我们学习了线段中点和角平分线这两个概念、接下来，我们将通过探究活动去探究线段中点和角平分线之间的联系，实现知识的横向迁移，并总结解题规律与经验． (1)探究一：如图，已知点在线段上，分别是线段的中点， ①若，求线段的长； ②若点为线段上任意一点，且满足，求线段的长（用含的代数式表示） (2)探究二：如图，已知，射线在内部，为的角平分线，为的角平分线，求的度数（用含的代数式表示） 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查两点间的距离，角平分线，掌握线段中点的定义，角平分线定义是正确解答的关键． （1）①根据线段中点的定义进行计算即可； ②根据线段中点的定义进行计算即可； （2）根据角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【详解】（1）解：①因为点为中点，点为中点，且， 所以， 故 ； ②因为点为中点，点为中点， 所以， 故 ， 又因为，所以； （2）解：因为为角平分线，为角平分线， 所以， ． 例5（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 1．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，是内部的一条射线，、分别是、的角平分线．若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据、分别是、的角平分线，可得，，根据，可得，再结合，可得，问题随之得解． 【详解】∵、分别是、的角平分线， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有关角平分线的计算，明确题意，厘清图中各角度之间的数量关系是解答本题的关键． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，射线是的角平分线，射线是的角半分线，射线是的角平分线，则下列结论成立的有（    ）个．    ①；②；③；④； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义以及角的和与差，计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ① ，故①正确； ② ， 即，故②正确； ③ ， 即，故③正确； ④由①得，故④错误； 综上，①②③正确，共3个； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是利用了角平分线的定义和图中各角之间的和差关系． 3．（2024七年级上·山东·专题练习）如图，是的角平分线，射线在的内部且，若，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．根据题意可知，再利用角平分线的定义推出，结合，从而得到，进而推出． 【详解】解： 是的角平分线， ∵ 即 故答案为：． 4．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们定义有一条公共边的两个互余的角为“友余角”，现在和为一对“友余角”，，则和的角平分线所成角的度数为 ． 【答案】或 【分析】先根据余角的定义求出的度数，再分两种情况画出图形，根据角平分线的定义和角度的计算分别进行解答即可．此题考查了角平分线的相关计算、余角定义，熟练分类讨论和数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵，和互余， ∴， 分两种情况进行求解： 如图1， 是的角平分线，是的角平分线， ∴， 如图2， 是的角平分线，是的角平分线， ∴， 即和的角平分线所成角的度数为或， 故答案为：或 5．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）定义：从角的顶点出发的射线将角平均分成三等分，则称该射线为角的三等分线．如图，已知，，若为的三等分线，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角三等分线的有关计算，运用分类讨论思想是解题的关键． 分两种情况讨论：①当时；②当时；分别根据角三等分线的定义及角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时， 如图， ，为的三等分线， ， ， ； ②当时， 如图， ，为的三等分线， ， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 6．（24-25七年级上·陕西西安·开学考试）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 7．（24-25七年级上·福建福州·期末）阅读理解：已知一个锐角，从这个角的顶点出发，在角的外部作一条射线，分别与这个角的两边组成两个角，若这两个角互为余角，则称该射线为“外邻余线”，例如，如图，已知，射线在外部，射线分别与的两边所组成的两个角是和，若和互为余角，则称射线是的“外邻余线”． (1)如图，已知是的“外邻余线”．求的度数． (2)如图，已知是的“外邻余线”，是的“外邻余线”，且，试判断是否为的三等分线？并说明理由． (3)如图，已知点在同一条直线上，平分平分和分别是和的“外邻余线”，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1)或 (2)是三等分线，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了余角的定义及性质，角平分线的定义，角的三等分线，掌握余角的定义和性质是解题的关键． ()根据“外邻余线”的定义得，考虑到的不同位置分两种情况讨论即可求解； ()根据“外邻余线”及余角性质得，进而可得，得到 ，即可求解； ()由平角定义得，进而由角平分线的定义得，，再根据“外邻余线”的定义得，即得，即可求解； 【详解】（1）解：∵是的“外邻余线”， ∴， 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，得， ∴． 情况在远离的一侧 此时． 设，则， ∴，解得， 综上的度数为或． （2）解：是三等分线，理由如下： ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵是的“外邻余线”， 即与互余， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴是的三等分线； （3）解：∵点在同一条直线上，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的“外邻余线”，是的“外邻余线”， ∴， ∴． 即， 又∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级上·浙江台州·期末）已知点在直线上，在直线的上方作两条射线、． (1)如图1，当时，写出图中互余的两个角______与______； (2)已知是的角平分线，是的角平分线，， ①如图2，当时，计算的度数； ②画图探究和之间的数量关系（可直接写出结果）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了余角和补角、角平分线的定义，解决本题的关键是根据角平分线的定义进行解答． （1）根据互余的定义，结合已知以及平角来找出互余的角； （2）①先根据已知条件求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数，最后通过，即可求解； ②设，用含的式子表示出，再根据角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴互余的两个角为与； 故答案为：，； （2）解：①∵，， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴ ； ②如图：设， 则， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 9．（24-25六年级下·山东东营·期中）综合与实践：六年级李老师带领同学们探究双中点和双角平分线问题 【特例感知】 （1）如图①，已知线段，点为线段上的一个动点，M、N分别是和的中点． ①若，则线段___________； ②若（），则线段___________． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图②，若，是内部的一条射线，射线平分．射线平分．求的度数． 【类比探究】 （3）如图③，若，是外部的一条射线，射线平分，射线平分，请求出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①8；②8；（2）60度；（3） 【分析】本题考查了与线段有关的计算和角有关的计算，解题关键是能根据图形正确得到线段或角之间的和差关系，同时要求学生牢记中点、角平分线的定义等相关概念． （1）①利用线段中点得出求解即可； ②利用线段中点得出求解即可； （2）利用角平分线的定义得到，，再利用角的和差关系进行计算即可； （3）先利用角平分线得出，再利用角的和差关系进行转化即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； ②∵，， ∴， ∵M、N分别是和的中点， ∴； 故答案为：8； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ； （3）射线平分，射线平分， ， ， ． 10．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）【操作思考】将一副直角三角板（分别含和的角）叠放在量角器上，、分别是三角板和三角板的角平分线． 【特例感知】 （1）如图1，如果点、、在同一直线上，边与量角器的刻度线重合，边与量角器刻度线重合，那么______； 【拓展探究】 （2）如图2，将三角板绕点顺时针旋转一定的角度，三角板不动，使两个直角三角板有重叠． ①当时，求的度数； ②当时，______；（用含的式子表示） 【解决问题】 （3）如图3，将三角板绕点顺时针旋转，平均每秒旋转，同时将三角板绕点逆时针旋转，平均每秒旋转．当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转，设旋转时间为秒，在旋转过程中，是否存在的值，使？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②或；（3）存在，或 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的有关计算，一元一次方程，熟练利用分类讨论的思想是解题的关键． （1）利用角平分线的概念即可解答； （2）①根据角度的转换可得，即可解答； ②分两种情况，即或，根据角度的转换可得，即可解答； （3）分两种情况，即重合前或重合后，两种情况，逐一解答即可． 【详解】解：（1）、分别是三角板和三角板的角平分线， ， ， 故答案为：； （2）①当时， ； ②当时，如图， ； 当时，如图， ， 故答案为：或； （3）存在， ， 解得， 当第一次与重合时，两三角板同时停止旋转， ， 当重合前， 可得， 解得； 当重合前， 可得， 解得； 综上，存在点使，或． 11．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期末）综合与实践 【问题情境】乐乐学习了角的相关知识后，对角度的计算比较感兴趣，请你和乐乐一起来探究下面的问题吧．已知，射线分别是和的角平分线． (1)【初步感知】若射线在的内部，且，求的度数； (2)【探究发现】若射线在的内部绕点旋转，请判断的大小是否为定值，并说明理由； (3)【拓展延伸】若射线从出发，绕着点顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数（不写计算过程）． 【答案】(1)； (2)，是一个定值，理由见解析； (3)的度数为或 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用： （1）先求出的度数，角平分线求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角平分线的定义和角的和差关系求出，即可； （3）设，分在内部和在外部，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 射线分别是和的角平分线， ， ； （2）解：，是一个定值，理由如下： 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 故是一个定值，且． （3）解：或． 设，分两种情况： ①如图1，当在内部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； ②如图2，当在外部时， 则：， 射线分别是和的角平分线， ， ， ， ， 解得：， ； 综上所述，的度数为或． 12．（24-25七年级上·四川成都·期末）（1）如图1，已知点是线段上两点，且满足，点分别是线段和的中点．若，分别求线段和的长； （2）如图2，射线在内部，且满足．分别作的角平分线．已知，求的度数； （3）如图3，射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒；在的外部作射线，使得，分别平分．已知，当时，______． 【答案】（1）6；（2）或；（3）或 【分析】（1）首先根据题意确定，，的长度，再结合线段中点的性质可得，，进而可得的值，然后由，即可获得答案； （2）设，则，易得，，由角平分线的性质可得，结合可解得，进而可得，的值，然后由，即可获得答案； （3）分、、三种情况，分别求解，即可获得答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点分别是线段和的中点， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，， 设，则， ∴， 可分两种情况讨论： ①如下图，当在外部时， 则， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②如下图，当在内部时， 则， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或； （3）射线从出发以的速度逆时针旋转，运动时间为秒，，， 分四种情况讨论： ①当时，如下图， 则，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ②当时，如下图， 则，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴ ∴， ， ∵， ∴， 解得，不符合题意，舍去； ③当时，如下图， 则有，， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得； ④当时，如下图， 则有，， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 解得． 综上所述，当时，或． 【点睛】本题主要考查了线段中点、线段和差计算、角平分线、几何图形中角度计算以及一元一次方程的应用等知识，理解题意，弄清数量关系是解题关键． 13．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与探究 【初步探究】 （1）如图①，已知线段，C，D为线段上的两个动点，且，M，N分别是和的中点，求线段的长； 【类比探究】 （2）如图②，直角与平角如图摆放在一起，且和分别是，的角平分线，则的度数； 【知识迁移】 （3）当，时，如图③摆放在一起，且和分别是，的平分线，求的度数（用含，的代数式表示）．（，） 【答案】（1）10；（2）；（3） 【分析】本题考查了线段的中点及线段的和与差以及角的平分线及角的和与差，根据图形找到线段与角的关系是解题的关键． （1）根据，，求出，根据中点定义得出，，求出，最后求出结果即可； （2）根据和分别是，的角平分线，得出，求出，最后求出结果即可； （3）根据角平分线定义得出，根据求出结果即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为M，N分别是和的中点， 所以，， 所以． 所以． （2）因为，， 所以， 因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以， 所以． （3）因为和分别是，的角平分线， 所以， 所以 ． 14．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）问题情境：七年级数学活动周以探究“线段与角的共性”为主题，同学们通过类比线段的中点与角平分线知识与方法，促进同学们知识迁移与融合能力． (1)【特例感知】 如图1，已知线段在线段上运动，线段，，点、分别是、的中点．解答下列问题： ①如图1，若，求的长 ；（直接写出结果） ②小聪发现：保持线段在线段上运动，其他条件不变，则的长保持不变．小聪理由如下： ∵，分别是、的中点 ∴ ， ∴ ∵，不变 ∴的长不变； (2)【类比探究】 小聪继续探究发现角与线段类似，如图2，已知在内部转动，和分别平分和，则与、有数量关系，说明理由． (3)【知识迁移】 如图3，已知在内部转动，若，，，，求 （用含有的式子表示计算结果）． 【答案】(1)①；②； (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了线段的和差关系，线段中间点的理解，角的和差关系，角平分线的定义，熟悉掌握运算方法是解题的关键． （1）①利用中点的关系分别求出和的长，即可解答； ②根据中点的关系解答即可； （2）利用角平分线的定义解答即可； （3）利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：①∵点、分别是、的中点． ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点、分别是、的中点． ∴，， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵和分别平分和， ∴，， ∴ ， ； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15．已知，射线在的内部，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若，求的度数； (2)请从下面，两题中任选一题作答，我选择 题． ．如图2，若射线在的内部绕点旋转，则的度数为 ． ．若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) ． ．或 【分析】本题主要考查了几何图形中的角度计算问题，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握几何图形中的角度计算问题是解题的关键． （1）先求出的度数，然后根据角平分线的定义求出和的度数，两者求和即可得出答案； （2）．由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；．分两种情况讨论：①射线，只有个在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解；②射线，，个都在外面，由角平分线的定义可得，，进而可得，于是得解． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是和的角平分线， ， ， ； （2）解：题： ，分别是和的角平分线， ，， ， 故答案为：； 题： 分两种情况讨论： 射线，只有个在外面，如图， ； 射线，，个都在外面，如图， ； 综上，的度数是或． 16．（24-25七年级上·重庆江津·期末）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，若，，、是、的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据得，再由求解即可； （2）利用角平分线的定义分别得出，据此求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 则， 又∵， ∴． （2）∵，， 、是、的角平分线， ∴，， ∴． 17．（24-25七年级下·山东济南·期中）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、，在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，； 在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点C转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【答案】（1）②③，④；（2）①，② 【分析】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． （1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）已知． (1)如图1，若射线，分别为，的角平分线，则 ． (2)如图2，射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，设运动时间为，且平分． ①当时，若分为两个部分，求满足时，的值． ②如图3，若平分，当且时，试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②，为定值 【分析】本题考查了角的平分线的应用，解方程，角的和差计算，本题难度很大，熟练掌握定义和解方程，画出图形是解题的关键． （1）根据角平分线定义和角的和差关系即可求得答案； （2）①由题意得，，，，由平分，分为两个部分，可得：，或，，分别根据，建立方程求解即可； ②分两种情况：当时，当时，利用角平分线定义及角的和差关系即可判断为定值． 【详解】（1）解：如图1，， 则， 射线，分别为，的角平分线， ，， ， 故答案为：． （2）解：①如图2， 射线从出发绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转，射线从出发绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，运动时间为， ，， ， 平分，分为两个部分， ，，或，， 当，时， ，， ， ， 解得：； 当，时， ，， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． ②当时，如图3，，，， 平分，平分， ，， ， ， ，为定值； 当时，如图4，，，， 平分，平分， ，， ，， ，为定值； 综上所述，，为定值． 19．（24-25七年级上·河南郑州·期末）数学活动课上，老师带领同学们开展“角平分线”的专题研究活动． (1)操作计算 如图1，小明所在学习小组将一直角三角板的直角顶点放在直线上且三角板可以绕点旋转，接着小明分别作出了和的角平分线和． 若，则的度数为______． (2)迁移探究 小明将三角板绕点顺时针旋转到如图2所示位置，若，平分，平分，则的度数是否与（1）中的结果相等？若相等，请说明理由，若不相等，请求出的度数． (3)拓展延伸 小明继续将三角板绕点顺时针旋转，当，平分，平分时，直接写出的度数．（本题中的角均指小于的角） 【答案】(1)45° (2)相等，理由见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线定义和角的计算，熟练掌握并根据图形和已知求出各个角的度数是解题的关键． （1）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （2）先求得，，再利用角平分线的定义求得，，结合图形计算即可得解； （3）画出图形，同（2）的方法，结合图形计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 20．（24-25七年级上·陕西·期末）【问题背景】 如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线.    【初步探究】 （1）如图1，已知，是的角平分线. ①则_____； ②若，是的角平分线，求的度数； 【拓展提升】 （2）如图2，若，，且，求的度数． 【答案】（1）①15；②；（2） 【分析】本题考查了求角度，角平分线的应用． （1）①由角平分线的性质，可得到； ②由角平分线的性质，得到度数，由已知条件中，得到的度数，利用角平分线，得到结果； （2）设，通过已知条件，求得，从而得到结果． 【详解】解：（1）①∵，是的角平分线， ∴， 故答案为：15； ②因为，是的平分线， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以； （2）设，则， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 解得， 因为， 所以． 21．（24-25七年级上·北京海淀·期末）设，，分别是、的角平分线，记．如果，互补，或者，互补，则称，是一对“分补角”． (1)如图，，在内，．分别作，的角平分线，则______，，______一对“分补角”（填“是”或“不是”）； (2)若，，且，是一对“分补角”，求的值； (3)如图，．若和是一对“分补角”，直接写出的所有可能值． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或或或 【分析】（）利用角平分线的定义可求出，再分别求出与即可判断，是否是“分补角”； （）由题意可知不可能在内部，再画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； （）分在内部和外部两种情况，分别画出图形，根据角平分线和“分补角”的定义解答即可求解； 本题考查了角平分线的定义，补角的定义，角的和差，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，不是一对“分补角”， 故答案为：，不是； （2）解：∵，、是一对“分补角”， ∴不可能在内部， 如图，∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵，是一对“分补角”， ∴， 即， 解得； （3）解：当在内部时，如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当时，， ∴； 当时，； 当在外部时， ①当为钝角时，如图， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当为锐角时，如图， 设，则， ∴，， ∴， ∵， ∴； 综上，的可能值为或或或． 22．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）小明同学学习角平分线后，借助一副三角尺的运动操作探索变化过程中的不变的量． 操作1：如图1所示放置，其中，；，．分别作出、的平分线、，得到________； 操作2：将三角尺固定，三角尺绕点A以的速度逆时针旋转，当边与边重合时，此时A、D、B、M在同一条直线上，作出的平分线，如图2所示，得到________； 猜想、验证：由操作1和2，猜想图3中为一固定值，其中、分别是、的平分线，请你结合图3，说明猜想是否成立； 质疑：小明同学继续操作，在操作过程中发现当旋转到如图4所示位置时，继续作出、的平分线、，通过度量发现为另一值，求出此时的度数； 发现：三角尺固定，三角尺从图1位置开始绕点A以的速度逆时针旋转一周的过程中，只有某一时间段为另一值，请直接写出这一时间段的时长． 【答案】操作1：；操作2：；猜想、验证：成立；质疑：；发现：． 【分析】本题考查有关角平分线的动角问题，根据角度的运动及三角板角度得到相关角度，结合角平分线计算即可得到答案； 【详解】解：操作1，图1中，∵是的平分线，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 操作2，图2中，∵，， ∴， ∵、是、的平分线， ∴， ∴， 故答案为：，； 猜想：图3中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ， ∴ ； 质疑：图4中，设为，则， ， ∵、是、的平分线， ∴， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴发现：． 23．（24-25七年级上·河南郑州·期末）综合与探究 【问题情境】 将一副三角尺按如图1所示位置摆放，三角尺中，，；三角尺中，，，．分别作的角平分线． 【初步探究】 现将三角尺按照图2，图3所示的方式摆放，仍然是的角平分线．在图2中与重合，在图3中与重合在一起． （1）计算：图2中的度数为___________°，图3中的度数为___________°（直接写出答案）． 【深入探究】 （2）通过初步探究，请你猜想图1中的度数为___________°． 如果设，请求出图1中的度数． 【类比拓展】 （3）再将三角尺按照图4所示的方式摆放，仍然是的平分线．请你求出的度数． 【答案】（1），；（2）；；（3） 【分析】本题主要考查角平分线的性质，几何中角度的计算，理解图示，掌握角度的和差运算，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，在图2中与重合，；在图3中与重合在一起，；由此即可求解； （2），根据平分，得；根据平分，得，再根据即可求解； （3），根据角平分线可得，，再根据，即可求解． 【详解】解：（1）分别是的角平分线， ∴， 在图2中与重合， ∴， ∵ ∴ ； 在图3中与重合在一起， ∴，， ∵ ∴ ； 故答案为：，； （2）由（1）可得图1中，， 故答案为：； 若， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ； （3）设， ， ， 平分， ， ， ， 平分， ， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $