考点92 带电粒子在磁场中运动临界极值和多解问题 讲义-2026届高考物理一轮复习重点考点解读与针对性训练

高考重点考点解读与针对性训练 第十二章 磁场 考点92 带电粒子在磁场中运动临界极值和多解问题 【考点解读】 考点1 带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题 1.解题关键点 （1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点. （2）关注涉及临界和极值条件的六个结论 结论一 粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 结论二 当速度v一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 结论三 当速度v变化时，圆心角越大，弦切角也越大，对应的运动时间也越长 结论四 在圆形匀强磁场区域中，当带电粒子运动轨迹半径大于圆形磁场区域半径，入射点和出射点为磁场区域直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦中直径最长），运动时间最长 结论五 最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点，此时带电粒子在磁场中运动时间最短 结论六 磁场区域面积极值：磁场区域边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场区域的一条弦，以该弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场区域有最小面积 2.一般思维流程 考点2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子 电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向 不确定 题目只说明了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态 （速度大小） 不确定 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 运动的 往复性 带电粒子在空间运动时，其运动轨迹可能具有往复性 【高考真题】 【典例1】．（2025高考安徽卷）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【答案】C 【解析】根据洛伦兹力提供向心力有，可得，故A错误； 当粒子沿x轴正方向射出时，上表面接收到的粒子离y轴最近，如图轨迹1，根据几何关系可知；当粒子恰能通过N点到达薄板上方时，薄板上表面接收点距离y轴最远，如图轨迹2，根据几何关系可知，，故上表面接收到粒子的区域长度为，故B错误； 根据图像可知，粒子可以恰好打到下表面N点；当粒子沿y轴正方向射出时，粒子下表面接收到的粒子离y轴最远，如图轨迹3，根据几何关系此时离y轴距离为d，故下表面接收到粒子的区域长度为d，故C正确； 根据图像可知，粒子恰好打到下表面N点时转过的圆心角最小，用时最短，有，故D错误。 【典例2】.[2022湖北/多选]在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k，不计重力.若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　BC　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 解析　若离子的入射速度v＝kBL，则轨迹半径r＝＝，则轨迹如图甲所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项A错误；若v＝kBL，则轨迹半径r＝＝，则轨迹如图乙所示，由几何关系可以得出θ＝0°，选项B正确；若v＝kBL，则轨迹半径r＝＝L，则轨迹如图丙所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项C正确；若v＝2kBL，则轨迹半径r＝＝2L，则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从P点射出，选项D错误. 【典例3】.[2023全国甲/多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示.。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是（　BD　） A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 答案 BD 解析　假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况.如图甲丙所示，由几何关系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO＝∠O1QO，又粒子沿直径射入，∠O1PO＝90°，则∠O1QO＝90°，O1Q⊥OQ，则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，D对；粒子在圆筒中先做圆周运动，与筒壁碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心，A错；粒子最少与筒壁碰撞2次，就可能从小孔射出，如图乙所示，B对；根据qvB＝m可知r＝，则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与筒壁碰撞次数可能会增多，在圆筒内运动的时间不一定越短，如图丁所示，C错. 　　 【针对性训练】 1 （2025·广西南宁期末）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 答案：CD 解析：若粒子带负电，则粒子的运动轨迹如图甲所示，粒子做圆周运动的半径为r1＝L，由牛顿第二定律得qv1B＝m，解得v1＝，此时半径最小，速度也最小，故B错误；若粒子带负电，当粒子在磁场中的运动轨迹所对应的圆心角为时，粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝，故D正确。 若粒子带正电，粒子与挡板MN碰撞后恰好从Q点射出，粒子运动轨迹如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何知识得L2＋（r2－0.5L）2＝，解得r2＝L，根据牛顿第二定律得qv2B＝m，解得v2＝，根据动量定理得I＝2mv2＝，故A错误，C正确。 2. （2025年5月东北三省精准质检）如图所示，为直角坐标系，第一象限的三角形范围内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，。第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，一个质量为、电荷量为的粒子从轴上的P（，）点以大小为的速度沿轴正方向射入匀强电场，经电场偏转后从轴上的Q(，)点进入匀强磁场，刚好不从边射出磁场，不计粒子的重力，求： （1）粒子射出匀强电场时，速度与轴的夹角； （2）匀强电场的电场强度大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）带电粒子在轴方向做匀速直线运动可得 设末速度大小为，在轴方向做匀加速运动可得 离开电场时速度与轴夹角满足 解得 （2）沿轴方向有 沿轴方向有 在匀强电场中，设电场强度大小为，由牛顿第二定律可得 解得 （3）由于带电粒子刚好不从边射出磁场，则其运动轨迹与相切，如图所示 由几何关系得带电粒子在磁场中做圆周运动的半径 此时洛伦兹力充当向心力，有 代入数据解得 3 （2025·贵州铜仁期末）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A.B＞，垂直纸面向里 B.B＞，垂直纸面向里 C.B＞，垂直纸面向外 D.B＞，垂直纸面向外 答案：BD 解析：当磁场方向垂直纸面向里时，离子恰好与OP相切的轨迹如图甲所示，切点为M，设轨迹半径为r1，由几何关系可知sin 30°＝，解得r1＝s，结合r1＝，解得B1＝；当磁场方向垂直纸面向外时，其临界轨迹与OP相切于N点，如图乙所示，设轨迹半径为r2，由几何关系s＝＋r2，解得r2＝，又r2＝，联立得B2＝，综合上述分析可知，选项B、D正确，A、C错误。 4 （2025·湖南郴州期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 答案：BC 解析：若离子通过下部分磁场直接到达P点，其运动轨迹如图甲所示，则根据几何关系，有R＝L，qvB＝m，联立解得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故离子出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当离子从上、下磁场均经历一次时，其运动轨迹如图乙所示。 因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性及几何关系有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时离子出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时离子出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL（n＝1，2，3，…），此时离子出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，综合上述分析可知B、C正确，A、D错误。 　5. 如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则从A点射出的粒子的比荷可能是（　　） A.　　　B. C.　　　D. 答案 AD 解析：　带电粒子从C点射出磁场，轨迹如图甲所示，由几何关系得sin 30°＝，解得r1＝2R；带电粒子从D点射出磁场，轨迹如图乙所示，由几何关系得AODO2是菱形，所以粒子的轨迹半径r2＝R，所以粒子在磁场中运动的轨迹半径满足r2≤r≤r1，由洛伦兹力提供向心力得qvB＝m，解得从A点射出的粒子的比荷满足≤≤，故选A、D。 6 . 如图所示，在直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场.速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与AC边夹角为60°的方向进入磁场，从AC和BC边的不同位置离开磁场.已知AB的长度为l，∠ACB＝30°，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（　ABD　） A.所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同 B.从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短 C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长 D.从BC边离开的粒子离C点的最近距离为l 答案 ABD 解析　根据题意画出可能的运动轨迹如图所示，根据几何关系知所有从AC边离开的粒子转过的圆心角相等，均为π，根据T＝，及t＝T，可知所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同，故A正确；由图可知从BC边离开的粒子转过的圆心角不等，越靠近B点转过的圆心角越小，所以从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短，故B正确；由以上分析可知运动时间与弧长无关，故C错误；当粒子运动轨迹与BC边相切(切点为F点)时，F点距离C点最近，根据几何关系可得四边形AOFE为正方形，三角形AEB为直角三角形，所以粒子运动半径为r＝l，BE的长度为l，所以FC的长度为l，故D正确. 7 .如图所示，左、右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量绝对值为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（　AC　） A. B. C. D. 答案 AC 解析　粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的运动轨迹和边界QQ'相切时，粒子刚好不从QQ'射出，此时其入射速度v0应为最大.若粒子带正电，其运动轨迹如图（a）所示（此时圆心为O点）， 由几何关系得R1sin45°＋d＝R1，将R1＝代入上式得v0＝，A正确.若粒子带负电，其运动轨迹如图（b）所示（此时圆心为O'点），由几何关系得R2＋R2cos45°＝d，将R2＝代入上式得v0＝，C正确. 8 .如图所示，在x轴上方有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方也有垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）.一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，在纸面内以大小为v的速度从O点与x轴负方向成θ＝60°角射入x轴上方磁场，粒子第1次经过x轴时的位置为P（图中未画出），第2次经过x轴时的位置为Q（图中未画出），且粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，不计粒子受到的重力.求： （1）从P点到O点的距离； （2）x轴下方匀强磁场的磁感应强度大小和方向. 答案　（1）　（2）见解析 解析　（1）根据题意可知，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，如图甲所示. 根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m 根据几何关系有OP＝2rsinθ 联立解得OP＝. （2）根据圆周运动的周期T＝＝ 则带电粒子在磁场中的运动时间为t＝T＝. ①若x轴下方的磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图乙所示. 由于粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，则根据几何知识可知圆心角α1＝α2＝240° 故有B下＝B； ②若x轴下方的磁场方向垂直纸面向里，粒子的运动轨迹如图丙所示. 由于粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，则根据几何关系有α3＝α1＝120° 故有B下'＝B. 9.（2022辽宁）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是（　AD　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 D.若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点 答案 AD 解析　由于粒子1在磁场中沿直线运动，则粒子1不带电，因此粒子1可能为中子，A正确；粒子2在磁场中向上偏转，由左手定则可知，粒子2一定带正电，B错误；由于粒子1不带电，在磁场中不发生偏转，增大磁感应强度，粒子1仍打在M点，C错误；由qvB＝m得R＝，若增大粒子的入射速度，则粒子2在磁场中的轨迹半径增大，粒子2可能打在探测器上的Q点，D正确. 10.[2021海南/多选]如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P（0，L）点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0°≤α≤180°）.当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场.不计粒子的重力.则（　ACD　） A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 答案 ACD 解析　由于粒子垂直x轴离开磁场，故粒子向下偏转，由左手定则可知粒子带正电，A项正确；当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场.粒子运动轨迹如图 当α＝45°时，粒子运动轨迹如图中轨迹所示，粒子不再垂直x轴射出磁场，B项错； 粒子在磁场中运动，有qvB＝m，由几何关系可知r＝2L，所以粒子的速率v＝，C项正确；粒子离开磁场的位置到O点的距离最大时，入射点与出射点间距离为2r＝4L， 所以出射点到O的最大距离为3L，D项正确. 11.[2023湖北]如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场.t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q.假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3）t＝时刻粒子甲、乙的位置坐标及从第一次碰撞到t＝的过程中粒子乙运动的路程.（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 答案　（1）　（2）m　　（3）甲（－6a，0）　乙（0，0）　67πa 解析　（1）由题意可知，粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入磁场并运动到达点O，则粒子甲的轨迹半径 r甲0＝a 又qv甲0B＝m，解得v甲0＝ （2）由题意可知，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周，则 T甲＝2T乙 根据qvB＝mr＝m有 T＝ 故＝，则m乙＝m，粒子甲、乙碰撞过程，取y轴负方向为速度正方向，有 mv甲0＋m乙v乙0＝mv甲1＋m乙v乙1 m＋m乙＝m＋m乙 又v甲1＝－3v甲0 联立解得v乙0＝－5v甲0，v乙1＝3v甲0 则第一次碰撞后粒子乙的速度大小为 （3）已知在t1＝时，甲、乙粒子发生第一次碰撞且碰撞后有v甲1＝－3v甲0，v乙1＝3v甲0 则根据qvB＝m可知，第一次碰撞后乙粒子的运动半径为r乙1＝r甲0＝a 第一次碰撞后甲粒子的运动半径为 r甲1＝3r甲0＝3a 又T甲＝2T乙，则在t2＝时，甲、乙粒子发生第二次碰撞且从甲、乙粒子发生第一次碰撞到第二次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为s1＝6πa 且在第二次碰撞时有 mv甲1＋m乙v乙1＝mv甲2＋m乙v乙2 m＋m乙＝m＋m乙 解得＝v甲0，v乙2＝－5v甲0 则根据qvB＝m可知第二次碰撞后，甲粒子的运动半径为r甲2＝r甲0＝a 乙粒子的运动半径为r乙2＝r甲0＝a 经分析可知在t3＝时，甲、乙粒子发生第三次碰撞且从甲、乙粒子发生第二次碰撞到第三次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为 s2＝10πa 且在第三次碰撞时有 mv甲2＋m乙v乙2＝mv甲3＋m乙v乙3 m＋m乙＝m＋m乙 解得v甲3＝－3v甲0，v乙3＝3v甲0 依次类推 在t9＝时，甲、乙粒子发生第九次碰撞且从甲、乙粒子发生第八次碰撞到第九次碰撞的过程中乙粒子运动了2圈，此过程中乙粒子走过的路程为 s8＝10πa 且在第九次碰撞后有 ＝－3v甲0，v乙9＝3v甲0 第九次碰撞后，r甲9＝3a，r乙9＝a，从t9＝到t＝的过程中，甲粒子刚好运动半周，则t＝时甲粒子运动到点（－6a，0）处，从t9＝到t＝的过程中，乙粒子刚好运动一周，则t＝时乙粒子回到坐标原点，即此时乙的位置坐标为（0，0） 且此过程中乙粒子走过的路程为s9＝3πa 故整个过程中乙粒子运动的总路程为 s＝4×6πa＋4×10πa＋3πa＝67πa. 12. 如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 答案　（1）磁场方向垂直于纸面向里　　（2）　（2－）h 解析　（1）由题意，粒子刚进入磁场时应受到方向向上的洛伦兹力，因此磁场方向垂直于纸面向里.设粒子进入磁场中做圆周运动的半径为R，根据洛伦兹力公式和圆周运动规律，有 qv0B＝m　① 由此可得R＝　② 粒子穿过y轴正半轴离开磁场，其在磁场中做圆周运动的圆心在y轴正半轴上，半径应满足R≤h　③ 由题意，当磁感应强度大小为Bm时，粒子的运动半径最大，由此得Bm＝　④ （2）若磁感应强度大小为，粒子做圆周运动的圆心仍在y轴正半轴上，由②④式可得，此时圆弧半径为R'＝2h　⑤ 粒子会穿过图中P点离开磁场，运动轨迹如图所示.设粒子在P点的运动方向与x轴正方向的夹角为α，由几何关系有 sinα＝＝　⑥ 则α＝　⑦ 由几何关系可得，P点与x轴的距离为 yP＝2h（1－cosα）　⑧ 联立⑦⑧式得yP＝（2－）h 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考重点考点解读与针对性训练 第十二章 磁场 考点92 带电粒子在磁场中运动临界极值和多解问题 【考点解读】 考点1 带电粒子在匀强磁场中的临界和极值问题 1.解题关键点 （1）关注题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等关键词语，作为解题的切入点. （2）关注涉及临界和极值条件的六个结论 结论一 粒子刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 结论二 当速度v一定时，弧长越长，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 结论三 当速度v变化时，圆心角越大，弦切角也越大，对应的运动时间也越长 结论四 在圆形匀强磁场区域中，当带电粒子运动轨迹半径大于圆形磁场区域半径，入射点和出射点为磁场区域直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大（所有的弦中直径最长），运动时间最长 结论五 最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直.如图，P为入射点，M为出射点，此时带电粒子在磁场中运动时间最短 结论六 磁场区域面积极值：磁场区域边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场区域的一条弦，以该弦为直径的圆就是最小圆，对应的圆形磁场区域有最小面积 2.一般思维流程 考点2　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解分类 多解原因 示意图 带电粒子 电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向 不确定 题目只说明了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态 （速度大小） 不确定 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 运动的 往复性 带电粒子在空间运动时，其运动轨迹可能具有往复性 【高考真题】 【典例1】．（2025高考安徽卷）如图，在竖直平面内的直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q、质量为m、速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　） A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为 B．薄板的上表面接收到粒子的区域长度为 C．薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d D．薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为 【典例2】.[2022湖北/多选]在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k，不计重力.若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 解析若离子的入射速度v＝kBL，则轨迹半径r＝＝，则轨迹如图甲所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项A错误；若v＝kBL，则轨迹半径r＝＝，则轨迹如图乙所示，由几何关系可以得出θ＝0°，选项B正确；若v＝kBL，则轨迹半径r＝＝L，则轨迹如图丙所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项C正确；若v＝2kBL，则轨迹半径r＝＝2L，则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从P点射出，选项D错误. 【典例3】.[2023全国甲/多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示.。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是（　　） A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出 C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短 D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线 【针对性训练】 1 （2025·广西南宁期末）如图所示，在边长为L的正方形PQMN区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在MN边界放一刚性挡板，粒子碰到挡板则能够以原速率弹回。一质量为m、带电荷量为q的粒子以某一速度垂直于磁场方向从P点射入磁场，恰好从Q点射出。下列说法正确的是（　　） A.带电粒子一定带负电荷 B.带电粒子的速度最小值为 C.若带电粒子与挡板碰撞，则受到挡板作用力的冲量大小为 D.带电粒子在磁场中运动时间可能为 2. （2025年5月东北三省精准质检）如图所示，为直角坐标系，第一象限的三角形范围内有垂直坐标平面向外的匀强磁场，。第二象限内有沿轴正方向的匀强电场，一个质量为、电荷量为的粒子从轴上的P（，）点以大小为的速度沿轴正方向射入匀强电场，经电场偏转后从轴上的Q(，)点进入匀强磁场，刚好不从边射出磁场，不计粒子的重力，求： （1）粒子射出匀强电场时，速度与轴的夹角； （2）匀强电场的电场强度大小； （3）匀强磁场的磁感应强度大小。 3 （2025·贵州铜仁期末）如图所示，A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子，离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s，负离子的比荷为，速率为v，OP与OQ间的夹角为30°，则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是（　　） A.B＞，垂直纸面向里 B.B＞，垂直纸面向里 C.B＞，垂直纸面向外 D.B＞，垂直纸面向外 4 （2025·湖南郴州期末）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　） A.kBL，0° B.kBL，0° C.kBL，60° D.2kBL，60° 　5. 如图所示，半径为R的圆形区域内有垂直于圆面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，AC是圆的一条直径，D为圆上一点，∠COD＝60°。在A点有一个粒子源，沿与AC成30°角斜向上垂直磁场的方向射出速率均为v的各种带正电粒子，所有粒子均从圆弧CD射出磁场，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力，则从A点射出的粒子的比荷可能是（　　） A.　　　B. C.　　　D. 6 . 如图所示，在直角三角形ABC区域内有垂直纸面向外的匀强磁场.速率不同的大量相同带电粒子从A点沿与AC边夹角为60°的方向进入磁场，从AC和BC边的不同位置离开磁场.已知AB的长度为l，∠ACB＝30°，不计粒子的重力和粒子间相互作用力，则（　　） A.所有从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同 B.从BC边离开的粒子在磁场中运动的时间一定比从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间短 C.粒子在磁场中运动的弧长越长，运动时间一定越长 D.从BC边离开的粒子离C点的最近距离为l 7 .如图所示，左、右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量绝对值为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（　　） A. B. C. D. 8 .如图所示，在x轴上方有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方也有垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）.一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，在纸面内以大小为v的速度从O点与x轴负方向成θ＝60°角射入x轴上方磁场，粒子第1次经过x轴时的位置为P（图中未画出），第2次经过x轴时的位置为Q（图中未画出），且粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，不计粒子受到的重力.求： （1）从P点到O点的距离； （2）x轴下方匀强磁场的磁感应强度大小和方向. 9.（2022辽宁）粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示.内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器.两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点，粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点.装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间的相互作用力.下列说法正确的是（　　） A.粒子1可能为中子 B.粒子2可能为电子 C.若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点 10.[2021海南/多选]如图，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为q的相同粒子从y轴上的P（0，L）点以相同的速率在纸面内沿不同方向先后射入磁场，设入射速度方向与y轴正方向的夹角为α（0°≤α≤180°）.当α＝150°时，粒子垂直x轴离开磁场.不计粒子的重力.则（　　） A.粒子一定带正电 B.当α＝45°时，粒子也垂直x轴离开磁场 C.粒子入射速率为 D.粒子离开磁场的位置到O点的最大距离为3L 11.[2023湖北]如图所示，空间存在磁感应强度大小为B、垂直于xOy平面向里的匀强磁场.t＝0时刻，一带正电粒子甲从点P（2a，0）沿y轴正方向射入，第一次到达点O时与运动到该点的带正电粒子乙发生正碰.碰撞后，粒子甲的速度方向反向、大小变为碰前的3倍，粒子甲运动一个圆周时，粒子乙刚好运动了两个圆周.已知粒子甲的质量为m，两粒子所带电荷量均为q.假设所有碰撞均为弹性正碰，碰撞时间忽略不计，碰撞过程中不发生电荷转移，不考虑重力和两粒子间库仑力的影响.求： （1）第一次碰撞前粒子甲的速度大小； （2）粒子乙的质量和第一次碰撞后粒子乙的速度大小； （3）t＝时刻粒子甲、乙的位置坐标及从第一次碰撞到t＝的过程中粒子乙运动的路程.（本小问不要求写出计算过程，只写出答案即可） 12. 如图，在0≤x≤h，－∞＜y＜＋∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B的大小可调，方向不变.一质量为m、电荷量为q（q＞0）的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力. （1）若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm； （2）如果磁感应强度大小为，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场.求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $