第二十四章圆 第13讲圆的有关计算基础班讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学上册

第13讲 圆的有关计算 1、弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例】 例1 如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（　　） A． B． C． D． 【方法总结】 本题考查了弧长公式，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，能求出∠COB的度数是解此题的关键． 例2如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长． 【方法总结】 本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例3如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上． （1）直接写出圆心P的坐标，并直接写出cos∠CAP的值． （2）求的长度． 【方法总结】 此题主要考查了弧长的计算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出圆心位置是解题关键． 【随堂练习】 1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　） A．5 B．π C． D．π 2．如图，已知⊙O的直径AB＝6，点C、D是圆上两点，且∠BDC＝30°，则劣弧BC的长为（　　） A．π B． C． D．2π 3．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　） A． B．π C． D． 4．如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上， AB＝4．若∠BCD＝120°，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．已知圆中40°圆心角所对的弧长为3π，则这个圆的周长　 　． 2、扇形面积的计算 （1）扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. （2）扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： 　　①对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　②在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　③扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； ④扇形两个面积公式之间的联系：. （3）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （4）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例】 例1如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积． 【方法总结】 本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 例2中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　） A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2 【方法总结】 本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【随堂练习】 1．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．π C．2 D．π﹣2 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（　　） A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18 3．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　） A． B． C．π D． 综合运用 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（　　） A． B．10π C． D．12π 2．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（　　） A． B．6π C． D． 3．如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（　　） A．4π B．π C．8π D．16π 4．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2 5．一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 7．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（　　） A．π B．π C．10π D．12π 8．学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（　　） A．9πm2 B．6πm2 C．3πm2 D．πm2 9．如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　） A．90° B．2π C．3π D．4π 10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 圆的有关计算 1、弧长的计算 （1）圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 【典例】 例1 如图，菱形OABC的边长为4，且点A、B、C在⊙O上，则劣弧的长度为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OB， ∵四边形OABC是菱形， ∴OC＝BC＝AB＝OA＝4， ∴OC＝OB＝BC， ∴△OBC是等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴劣弧的长为π， 故选：D． 【方法总结】 本题考查了弧长公式，菱形的性质，等边三角形的性质和判定，能求出∠COB的度数是解此题的关键． 例2如图，A、B、C三点在半径为1的⊙O上，四边形ABCO是菱形，求的长． 【解答】解：连接OB． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC， ∴△AOB，△BOC都是等边三角形， ∴∠AOB＝∠BOC＝60°， ∴∠AOC＝120°， ∴的长 【方法总结】 本题考查弧长公式，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 例3如图，正方形网格中有一段弧，弧上三点A，B，C均在格点上． （1）直接写出圆心P的坐标，并直接写出cos∠CAP的值． （2）求的长度． 【解答】解：（1）如图所示：圆心P的坐标为：（﹣2，1）， ∵AP＝PC，AC＝2， ∴AP2+PC2＝AC2， ∴△APC是等腰直角三角形， ∴∠CAP＝45°， ∴cos∠CAP； （2）的长度为：π． 【方法总结】 此题主要考查了弧长的计算以及勾股定理以及勾股定理逆定理，正确得出圆心位置是解题关键． 【随堂练习】 1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（　　） A．5 B．π C． D．π 【解答】解：连接OC、OA， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴的长π， 故选：D． 2．如图，已知⊙O的直径AB＝6，点C、D是圆上两点，且∠BDC＝30°，则劣弧BC的长为（　　） A．π B． C． D．2π 【解答】解：∵∠BDC＝30°， ∴∠BOC＝60° 根据弧长公式l可得： 劣弧BC长为π， 故选：A． 3．如图，在矩形ABCD中，AB，BC＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧交边BC于点E，连接AE，则的长为（　　） A． B．π C． D． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2，∠B＝90°， ∴AE＝AD＝2， ∵AB， ∴cos∠BAE， ∴∠BAE＝30°， ∴∠EAD＝60°， ∴的长， 故选：C． 4．如图，已知四边形ABCD的四个顶点在以AB为直径的半圆上， AB＝4．若∠BCD＝120°，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：连接OD， ∵∠BCD＝120°， ∴∠A＝60°， ∵OD＝OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∵AB＝4， ∴AO＝2， ∴的长π， 故选：B． 5．已知圆中40°圆心角所对的弧长为3π，则这个圆的周长　27π　． 【解答】解：×3π ＝27π， 故这个圆的周长是27π， 故答案为：27π． 2、扇形面积的计算 （1）扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. （2）扇形面积公式 　　半径为R的圆中 　　360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点诠释： 　　①对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　②在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　③扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； ④扇形两个面积公式之间的联系：. （3）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （4）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 【典例】 例1如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，求此扇形的面积． 【解答】解：连接AC， ∵AB＝CB，∠ABC＝90°， ∴AC是⊙O的直径， 即AC＝2， ∴AB＝BC， ∴扇形的面积为：． 【方法总结】 本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 例2中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图①中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝12cm，C，D两点之间的距离为4cm，圆心角为60°，则图中摆盘的面积是（　　） A．80πcm2 B．40πcm2 C．24πcm2 D．2πcm2 【解答】解：如图，连接CD． ∵OC＝OD，∠O＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴OC＝OD＝CD＝4cm， ∴S阴＝S扇形OAB﹣S扇形OCD40π（cm2）， 故选：B． 【方法总结】 本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【随堂练习】 1．如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B．π C．2 D．π﹣2 【解答】解：∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝π﹣2． 故选：D． 2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠A＝45°，⊙O的半径长为6，则阴影部分的面积为（　　） A．9π﹣18 B．9π C．6π D．18π﹣18 【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝45°，⊙O的半径长为6， ∴∠COB＝90°，OA＝OB＝6， ∴阴影部分的面积是：9π﹣18， 故选：A． 3．如图，点A、B、C、D都在边长为1的网格格点上，以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D，则扇形AEF的面积是（　　） A． B． C．π D． 【解答】解：由题意，扇形的半径AD＝＝，∠EAF＝45°， ∴扇形AEF的面积＝＝． 故选：A． 综合运用 一．选择题（共10小题） 1．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（　　） A． B．10π C． D．12π 【解答】解：如图，连接OA，OC， ∵∠ABC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝100°， ∴弧AC的长为：＝， 故选：C． 2．如图，四边形ABCD为正方形，边长为4，以B为圆心、BC长为半径画，E为四边形内部一点，且BE⊥CE，∠BCE＝30°，连接AE，则阴影部分面积（　　） A． B．6π C． D． 【解答】解：如图，作EF⊥AB于点F， ∵BE⊥CE，∠BCE＝30°， ∴BE＝BC＝2，∠CBE＝60°， ∴CE＝BE＝2，∠EBF＝30°， ∴EF＝BE＝1， ∴S阴影＝S扇形ABC﹣S△BCE﹣S△ABE ＝﹣×2×﹣×1 ＝4π﹣2﹣2． 故选：C． 3．如图，圆心重合的两圆半径分别为4、2，∠AOB＝120°，则阴影部分图形的面积为（　　） A．4π B．π C．8π D．16π 【解答】解：S阴影＝﹣＝8π． 故选：C． 4．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（　　） A．4.25πm2 B．3.25πm2 C．3πm2 D．2.25πm2 【解答】解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC ＝﹣ ＝2.25πm2． 故选：D． 5．一个扇形的弧长是10πcm，其圆心角是150°，此扇形的面积为（　　） A．30πcm2 B．60πcm2 C．120πcm2 D．180πcm2 【解答】解：根据题意可得， 设扇形的半径为rcm， 则l＝， 即10π＝， 解得：r＝12， ∴S＝＝＝60π（cm2）． 故选：B． 6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．2π 【解答】解：连接CD，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8， ∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC＝＝4， 由题意得：AC＝CD， ∴△ACD为等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴的长为：， 故选：B． 7．如图，已知⊙O的半径为6，AB，BC是⊙O的弦，若∠ABC＝50°，则的长是（　　） A．π B．π C．10π D．12π 【解答】解：连接OA，OC， ∵∠ABC＝50°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝100°， ∴的长为：， 故选：B． 8．学校图书馆的阅读角有一块半径为3m，圆心角为120°的扇形地毯，这块地毯的面积为（　　） A．9πm2 B．6πm2 C．3πm2 D．πm2 【解答】解：根据题意可得， n＝120°，r＝3， ∴S＝＝＝3π（m2）． 故选：C． 9．如图，点A、B、C是半径为8的⊙O上的三点．如果∠ACB＝45°，那么的长为（　　） A．90° B．2π C．3π D．4π 【解答】解：如图，连接OA、OB． ∵∠ACB＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∵OA＝8， ∴的长是：＝4π． 故选：D． 10．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足∠ADC＝120°，BC＝1，则的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：如图，连接OC． ∵∠ADC＝120°， ∴∠ABC＝60°， ∵OB＝OC， ∴∠OCB＝∠OBC＝∠B＝60°， OB＝OC＝BC＝1， ∴的长为＝， 故选：A． 14 学科网（北京）股份有限公司 $