精品解析：湖南省岳阳市汨罗市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025年10月高一上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集和补集的概念计算即可. 【详解】因为，所以． 故选：D 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】对选项中的两函数从定义域、值域、对应关系进行逐一分析可得结论. 【详解】对于A，易知两函数定义均为，值域为，对应关系均为，因此两函数为同一函数，即A正确； 对于B，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此B错误； 对于C，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此C错误； 对于D，易知函数的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，因此D错误. 故选：A 3. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减. 【详解】A选项，在R上单调递减，且， 故是奇函数，满足要求，A正确； B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误； C选项，定义域为R，且， 故为偶函数，C错误； D选项，在上单调递增，D错误. 故选：A 4. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出的范围，再同向相加即可得结论． 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：D. 5. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用定义运算得到二次不等式恒成立问题，利用判别式来解答即可. 【详解】由已知得， 则对任意实数恒成立 整理得对任意实数恒成立， ， 解得. 故选：C. 6. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的. 【详解】不妨设，由，可得：， 则函数，在R上单调递增， 则，解得， 即实数a的取值范围为． 故选：B． 7. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可转化为，使成立，求的最小值即可. 【详解】因为，使得不等式成立， 所以，使得不等式成立， 令，， 因为对称轴为，， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 8. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】当,即时,或, , 其最小值为，无最大值, 因此这个区间的值域为； 当时,,， 其最小值为，其最大值为， 因此这区间的值域为， 综合得函数值域为 ， 故选D． 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解. 【详解】不等式中，当时，，解得，A可能； 当时，不等式化为，解得， 当时，不等式化为，若，则；B可能； 若，则或；若，则或， C不可能，D可能. 故选：ABD 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A根据函数的解析式直接求函数的定义域可得，对B直接用换元法求函数解析式可得，对C根据函数的定义直接求复合函数的定义域可得， 对D由一元二次不等式得系数之间的关系，再代入所求分式不等式，进面可求不等式的解集. 【详解】对于A：要使函数有意义，则，解得，所以A正确； 对于B：因，令，得，， 再以换，得，故B正确； 对于C：因的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D：因不等式的解集为，所以方程的解为和3， 所以，得代入，化简得， 进而得或，解得，所以D错误. 故选：ABC. 11. 已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 8 【答案】BD 【解析】 【分析】对b分类讨论，当 时，由得到在上恒成立，则不存在；当 时，由，结合图象利用数学结合的思想得出a，b的整数解． 【详解】当时，由得到在上恒成立，则不存在， 当时，由可设，， 又的大致图象如下， 那么由题意可知：，再由是整数得到或 因此或-2． 故选：BD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的值域是 _____. 【答案】 【解析】 【分析】结合二次根式性质求出值域，即可求解的值域. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查具体函数值域的求法，属于基础题. 13. 已知，，，则的最小值为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】由，，得，则，根据基本不等式即可得出，从而求出的最小值. 【详解】由，可得， 则， 当且仅当，即，时等号成立． 因此，的最小值为5． 故答案为：5． 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 【答案】或. 【解析】 【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围. 【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得； ②当时，不等式的解集为， 因为，所以两个整数解为，则， 即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或 故答案为：或. 四、解答题（共80分） 15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）由题意，是一次函数，则设，代入复合函数解析式，令对应系数相等，即可求解参数值； （2）将x替换为，得，方程思想，求出解析式. 【详解】（1）设，则， ∴，∴，解得，或， ∴或． （2）∵对于任意的x都有， ∴将x替换为，得， 联立方程组：，     消去，可得. 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：函数满足，则函数的图象关于对称， 可得，解得，即， 又由函数的图象过点，可得，解得， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为， 当时，可得在区间上单调递增，所以； 当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 当时，可得在上单调递减，所以， 所以函数在上的最小值. 17. 某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 【答案】（1）解析式为，该企业从第2年开始盈利；理由如下： 由题意可得， 由得且， 该企业从第2年开始盈利； （2） 方案二更合理，理由如下： 方案一：， 当时y取到最大值12800， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 方案二：年平均盈利额万元， 当且仅当时，年平均盈利额最大， 若此时处理掉智能机器人，总利润为万元， 综上，两种方案总利润都是14800万元，但方案一需要五年，方案二仅需三年即可，故方案二更合理. 【解析】 【分析】（1）先写出相应的解析式，再解不等式，求出该企业从第2年开始盈利； （2）方案一：配方得到时y取到最大值12800，进而得到总利润为万元；方案二：年平均盈利额为，由基本不等式求出最大值，此时处理掉智能机器人，总利润为万元，得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）不存在；理由见解析 （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程中根与系数的关系列式，求解的值，再代入方程，求解，即可判断； （2）根据二次项系数是否等于零分类讨论，根据二次函数的性质列不等式，求解即可. （3）对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 不存在实数符合题意，理由如下： 由，得， 若存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立， 则，，，，由韦达定理得， 由，得，则，解得， 此时方程为，即，解得， 因此，不存在实数符合题意. 【小问2详解】 由，得，整理得， 当，即时，不等式为，此时不等式恒成立，符合题意； 当，即时，由不等式的解集是实数集， 得，解得， 综上所述， 因此，实数的取值范围为. 【小问3详解】 ， 若，则此时， 若，或， 所以当时，， 当时，或， 当时，， 当时，或， 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点为－2和3 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【小问1详解】 令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. 【小问2详解】 （i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月高一上学期数学月考试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若在上定义运算：.若不等式对任意实数恒成立，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若，使得不等式成立，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则的值域是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共15分） 9. 关于的不等式（）的解集可以是（ ） A. B. C. D. 10. 给出以下四个判断，其中正确的是（ ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 11. 已知不等式对任意恒成立，其中，是整数，则的取值可以为（ ） A. B. C. 0 D. 8 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 函数的值域是 _____. 13. 已知，，，则的最小值为___________． 14. 关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是___________. 四、解答题（共80分） 15. （1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知函数对于任意的x都有，求的解析式． 16. 已知函数的图象过点，且满足． （1）求函数的解析式： （2）求函数在上的最小值； 17. 某动力电池生产企业为提高产能，计划投入7200万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后前年的维护成本为万元，每年电池销售收入为7600万元，设使用该批智能机器人后前x年的总盈利额为y万元 （1）写出y关于x的函数关系式，并求该电池生产企业从第几年开始盈利； （2）使用若干年后对该批智能机器人处理方案有两种 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以5200万元的价格处理 问哪种方案更合理？并说明理由. 18. 已知函数. （1）是否存在实数使得方程有两个不相等的实数根且成立，若存在求出的值，若不存在，请说明理由； （2）若关于的不等式的解集是实数集，求实数的取值范围. （3）求关于的不等式的解集. 19. 给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. （1）求函数的不动点： （2）设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $