精品解析：上海市某校2025-2026学年高三上学期期中数学试题

静安区风华中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 满分 150分， 时间120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知全集，集合，则__________． 2 已知，，则_________. 3. 抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为___________． 4. 若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 5. 设，方程的解集是 _________ ． 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 7. 若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______． 8. 椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________. 9. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的单位圆交于点，则的值为______． 10. 设函数，则使得成立的的取值范围是______． 11. 如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________． 12. 设函数的定义域是，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，，都有；③.则函数的最小值为___________. 二.选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 设，，则下列不等式一定成立的是（     ） A. B. C. D. 14. 设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17. 已知O为坐标原点， （1）若A、B、C三点共线，求x的值； （2）若与夹角为钝角，求x的取值范围. 18. 已知函数． 求函数的单调递增区间； 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积． 19. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 （1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） （2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润多少？ 20. 已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． （1）求双曲线C方程； （2）若l过原点，P为双曲线上异于A、B一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； （3）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 21. 记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数的值； （3）已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静安区风华中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题 满分 150分， 时间120分钟 一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1. 已知全集，集合，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先解分式不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】由，即，即，等价于，解得或， 所以或， 又全集，所以. 故答案为： 2. 已知，，则_________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值计算可得. 【详解】因为，所以或， 又，所以或. 故答案为：或 3. 抛物线过点，则点P到抛物线准线的距离为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点为抛物线上一点可求出的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求． 【详解】解：点为抛物线上一点， ，解得， 抛物线方程 准线方程为， 点到抛物线的准线的距离为． 故答案为：5． 4. 若函数图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 5. 设，方程的解集是 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的方程，分段去绝对值符号求解即得. 【详解】当时，，， 则方程恒成立，因此； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 原方程为，解得，显然无解； 当时，，， 则方程恒成立，因此， 所以方程的解集是. 故答案为： 6. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】因为，所以，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 7. 若幂函数（为整数）的定义域为，则的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】依题意可得，解得的取值范围，再由为整数，求出参数的值. 【详解】由题意得，解得，又为整数，所以或. 故答案为：或 8. 椭圆的焦点为为椭圆上一点,若,则_________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据椭圆定义可得:, ,在三角形中由余弦定理,即可求得答案. 【详解】椭圆 可得:,,. 根据椭圆定义可得:, , 可得 解得:. 在三角形中由余弦定理:, 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了由余弦定理解三角形,解题关键是掌握椭圆基础知识和余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的单位圆交于点，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，再由诱导公式及二倍角公式计算可得. 【详解】因为角的终边与以点为圆心的单位圆交于点， 所以，， 所以. 故答案为： 10. 设函数，则使得成立的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，结合单调性与奇偶性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】函数的定义域为， ∵， ∴函数为偶函数， 当时，， 又，均在上单调递增，所以在上单调递增， 根据偶函数性质可知不等式，等价于， 即，解得， ∴的取值范围为. 故答案为：. 11. 如图，在△ABC中，点D，E是线段BC上两个动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，，由，，，共线可得，可得再利用基本不等式计算可得； 详解】解：设，， ，，，共线，，． ，则， 点，是线段上两个动点，，． ，当且仅当，即，时取等号； 所以的最小值为． 故答案为：． 12. 设函数的定义域是，满足：（1）对任意的，；（2）对任意的，，都有；③.则函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】依题意可设， 则由可得， 由于对任意的，，， 所以 当且仅当时成立. 则，所以关于对称. 所以， 由可得. 结合对称性可知恒成立，所以是常数函数， 由于，所以， 的定义域为， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为： 二.选择题(本大题共有4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 满分18分) 13. 设，，则下列不等式一定成立的是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可. 【详解】由，可得，所以，故C一定成立， 若，，满足，但是，，故A、B、D不一定成立. 故选：C 14. 设，已知直线与圆，则“”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线与圆相交的充要条件，然后根据充分、必要条件的判断即可求解. 【详解】因为直线与圆， 由点到直线的距离公式可得:，解得：且， 因为成立，则且一定成立， 但且成立，则不一定成立， 所以“”是“直线与圆相交”的充分不必要条件， 故选：A. 15. 已知函数在区间上有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数在区间上有且仅有两个零点，转化为方程在区间上有且仅有两个根，则由求解. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 即方程在区间上有且仅有两个根， 所以， 解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及函数与方程，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 16. 数学中有许多形状优美、寓意美好曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论： ①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过； ③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是 A. ① B. ② C. ①② D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围. 【详解】由得,,, 所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确. 由得,,解得,所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过. 结论②正确. 如图所示,易知, 四边形的面积,很明显“心形”区域的面积大于,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误. 故选C. 【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用,属于难题,注重基础知识､基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”. 三.解答题(本题共5道题，14+14+14+18+18，满分78分) 17. 已知O为坐标原点， （1）若A、B、C三点共线，求x的值； （2）若与夹角为钝角，求x的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合运算求解；（2）根据向量夹角与数量积之间的关系运算求解. 【小问1详解】 ， 三点共线，与共线， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）知， 与夹角为钝角，可得，解得， 若与平行，则，解得， 若与不平行，则， 的取值范围是. 18. 已知函数． 求函数的单调递增区间； 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求的面积． 【答案】（1）；；（2） 【解析】 【分析】利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解的单调递增区间； 根据，求解，，利用余弦定理求解，即可求解的面积． 【详解】解：函数 令， 得， 的单调递增区间为；； 由，即， 是锐角三角形， 可得 余弦定理：，即 解得： 的面积． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键． 19. 华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产（千部）手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完 （1）求出2023年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本） （2）2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元 【解析】 【分析】（1）由题意得到，从而根据求出（万元）关于年产量（千部）的函数关系式； （2）时，配方求出的最大值，时，利用基本不等式求出的最大值，比较后得到结论. 【小问1详解】 由题意得：， 故当时，， 当时，， 故（万元）关于年产量（千部）的函数关系式为： 【小问2详解】 当时，， 故当时，取得最大值，最大值为万元； 当时，由基本不等式得： （万元）， 当且仅当，时，等号成立， 因为，所以2023年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润为9000万元. 20. 已知双曲线经过点，离心率2，直线l交双曲线于A、B两点． （1）求双曲线C的方程； （2）若l过原点，P为双曲线上异于A、B的一点，且直线的斜率均存在，求证：为定值； （3）若l过双曲线的右焦点，是否存在x轴上的点，使得直线l绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意，代入已知点的坐标以及离心率的计算，结合，建立方程组，可得答案； （2）根据双曲线的对称性，设出点的坐标，利用斜率的计算公式，结合双曲线的方程，等量代换，可得答案； （3）由题意，分直线斜率存在与不存在两种情况，设直线方程，联立方程，写韦达定理，根据向量数量积的坐标公式，整理方程，可得答案. 【小问1详解】 由题意得，解得，则双曲线． 【小问2详解】 证明：设A点坐标为，则由对称性知B点坐标为． 设，则，由，得，所以． 【小问3详解】 存在．当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，与双曲线方程联立消y得， 所以，得，且． 设， 假设存在实数m，使得，则对任意恒成立． 所以，解得． 当直线l的斜率不存在时，由及知结论也成立． 综上，存在，使． 【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常用思路：联立直线与圆锥曲线方程，写出韦达定理，根据题目中其他条件，整理方程，解得参数的值或者参数之间的等量关系，解决问题，设直线方程时，要注意斜率是否存在. 21. 记，分别为函数，的导函数.若存在，满足且，则称为函数与的一个“S点”. （1）证明：函数与不存在“S点”； （2）若函数与存在“S点”，求实数的值； （3）已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“S点”，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，假设存在“S点”，解方程组可得结论； （2）求导，设“S点”为，解方程组得结论． （3）设“S点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围. 【小问1详解】 因为，，则，， 假设存在函数与存在“S点” 即存在满足，方程组无解， 所以函数与不存在“S点”. 【小问2详解】 因为与，则与， 设“S好点”为，满足，， 所以. 【小问3详解】 由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令，则，在上增函数， ，时，，且当时，， 所以，即． 【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“S点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“S点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $