26.1.2反比例函数的图象和性质 同步自主达标测试题 2025-2026学年人教版九年级数学下册

2025-2026学年人教版九年级数学下册《26.1.2反比例函数的图象和性质》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．已知反比例函数的图象经过点，则下列各点在该反比例函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 2．若点，，都在反比例函数的图象上，则（   ） A． B． C． D． 3．对于反比例函数，下列说法不正确的是（   ） A．图像分布在第二、四象限 B．当时，y随x的增大而减小 C．图像经过点 D．过图像上任意一点向x轴、y轴作垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积是定值 4．反比例函数如图，则矩形的面积是（　　） A．6 B． C．3 D． 5．反比例函数 与一次函数在同一直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 7．如图，和都是等腰直角三角形，，反比例函数在第一象限的图象经过点，则与的面积之差为（    ） A． B． C．8 D．4 8．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与反比例函数的图象相交于、两点，连接、，给出下列结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（满分24分） 9．如果反比例函数的图象与直线没有交点，请写出一个符合条件的k值 ． 10．已知和两点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 11．已知反比例函数与正比例函数交于、两点，点在轴上，，则点的坐标为 ． 12．在平面直角坐标系中，已知反比例函数，若反比例函数的图象经过点 ，则的值是 ． 13．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于的方程的解为 ． 14．如图，等腰直角三角板的直角顶点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在反比例函数的图象上，与反比例函数的图象交于点 D，已知，则点D的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，作使得反比例函数的图像经过点A和的中点．若的面积为3，则 ． 16．如图，四边形是菱形，点在轴负半轴上，轴于点，反比例函数的图象经过点，若菱形的面积为20，，则的值为 ． 三、解答题（满分72分） 17．已知，与成正比例，与成反比例，并且当时，，当时，，求关于的函数关系式． 18．已知反比例函数． (1)若函数的图像经过点，求的函数表达式； (2)在（1）的条件下，当，且时，直接写出x的取值范围． (3)设函数，若，当，函数的最小值为，函数的最大值为m，求m与k的值． 19．如图，直线与反比例函数相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； (2)连接，求的面积． (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 20．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E． (1)求反比例函数的解析式及点E的坐标； (2)若点F是边上的一点，且为等腰三角形，求直线的解析式． 21．某品牌热水器中，原有水的温度为，开机通电，热水器启动开始加热（加热过程中水温与开机时间分钟满足一次函数关系），当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降（水温下降过程中水温与开机时间分钟成反比例函数关系）．当水温降至时，热水器又自动以相同的功率加热至重复上述过程，如图所示，当开机时间为分钟时，水温第一次由降至． (1)当时，水温与开机时间分钟的函数表达式． (2)求的值． (3)求开机50分钟时热水器中水的温度． 22．如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 23．如图，已知点，，的边与y轴交于点，且E为的中点，反比例函数的图象同时经过C、D两点． (1)求k的值和点C的坐标； (2)已知点，过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数图象交于点M，与直线交于点N．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记反比例函数图象在点M，C之间的部分与线段，围成的区域（不含边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内的整点恰好为2个，结合函数图象，直接写出n的取值范围． 参考答案 1．B 【分析】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握解析式的确定是解题的关键．先确定解析式，再代入解析式，计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， A、∵，不符合题意； B、∵，符合题意； C、∵，不符合题意； D、∵，不符合题意． 故选：B． 2．C 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答此题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的大小进行解答即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象的两个分支分别位于一三象限，且在每一象限内，随的增大而减小． ，点在第一象限，点，在第三象限， ，． ． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查反比例函数的系数k的几何意义，反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质和反比例函数的系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】解：A项：∵，， ∴图象分布在第二、四象限，故不符合题意； B项：当时，y随x的增大而增大，故符合题意； C项：当时，， ∴图象经过点，故不符合题意； D项：过图象上任意一点向x轴、y轴作垂线，两垂线与坐标轴所围成的矩形面积为2是定值，故不符合题意． 故选：B． 4．解：设， ∴，， ∴． 故选：A． 5．A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比例函数与一次函数图象的性质是解题的关键，把分类讨论，分别判断反比例函数与一次函数图象位置即可得到答案． 【详解】解：当时，则， ∴的图象在二、四象限，一次函数的图象过一、三、四象限，无符合选项； 当时，则， ∴的图象在一、三象限，一次函数的图象过一、二、四象限，A 选项符合． 故选：A． 6．D 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理，熟练掌握反比例函数 （为常数，）的图像是双曲线，图像上的点的横纵坐标的积是定值，即是解题的关键． 作轴，轴，与交于，先利用一次函数图像上点的坐标特征得到，得为等腰直角三角形，则，所以，且为等腰直角三角形，则，设点坐标为，则点坐标为，根据反比例函数图像上点的坐标特征得到，解得，这样可确定点坐标为，然后根据反比例函数图像上点的坐标特征得到． 【详解】解：作轴，轴，与交于，如图， ∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点， 当时，；当时，， ∴点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ，， ∴，即， 设点的横坐标为，则点的横坐标为， 代入，得点的纵坐标为，点的纵坐标， 即点的坐标为， 点坐标为， ∵双曲线过点两点， ∴， 解得， ∴点坐标为， ， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查反比例函数与图形面积的计算，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键，设出两个等腰直角三角形的边长，表示出点的坐标，代入反比例函数的关系式，得到两个边长之间的关系，表示两个等腰直角三角形的面积，利用整体代入即可求出面积差． 【详解】解：设，，则，， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴，即， ∴． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是正确理解题意． 根据图象，得出，的符号，从而判断的符号，由此可判断①； 根据，在反比例函数的图象上，可得到、关系式，由此可判断②； 先根据，在直线，从而可求得，，由此可判断③、④． 【详解】解：由图象知，，， ∴，故①错误； 、在反比例函数的图象上， ∴， ∴，故②正确； 又直线的解析式为， ∴， ∴，，故③、④正确， 综上所述，正确的结论有②、③、④，共3个， 故选：C． 9．（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数与正比例函数，直线经过第一、三象限，若两个图象没有交点，则反比例函数的图象在第二、四象限，比例系数小于0，由此可解． 【详解】解：依题意有， 解得， 符合条件的k值为2， 故答案为：答案不唯一 10． 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式．掌握待定系数法是解题关键． 把和代入反比例函数得到关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把和代入反比例函数得， 解得， 故答案为：． 11．或 【分析】该题考查了正反比例函数综合，勾股定理，直角三角形的性质，先求出、两点坐标，勾股定理求出，再求出，即可解答． 【详解】解：联立， 解得或， ， ， ∵， ∴为直角三角形，为中线， ∴， ∴点的坐标为或． 故答案为：或． 12．12 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴， ∴； 故答案为：12． 13．或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题得到关键是数形结合．先根据点求出，得到反比例函数的解析式，进而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：将点代入反比例函数中， 得：， 反比例函数的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 一次函数与反比例函数的图象交于点，， 关于的方程的解为或， 故答案为：或． 14． 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，三角形全等的判定和性质；过点B作轴于点E，证出，得到，求出反比例函数的表达式， 设直线的函数表达式为待定系数法求出解析式，令，计算求解即可． 【详解】解：如图：过点B作轴于点E， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 设直线的函数表达式为 将代入 得， 解得， ∴， 令， 解得， ∵ 点D的横坐标在之间， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴． 故答案为：． 15．8 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及反比例函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解反比例函数图像上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握平行四边形的性质，三角形的中位线定理是解决本题的关键． 分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，则，设出点的坐标，由平行四边形的性质及已知条件可得，证明四边形是矩形，可得，由是的中位线，可得，根据面积可得，表示出点M的坐标，再由点A在反比例函数的图象上求解即可． 【详解】分别过点A，M，B作轴于点E，轴于点F，轴于点H，延长交于点N， 如图所示： ∴，， 设，， ∴点C的坐标是， ∵点M是的中点，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴轴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点M是的中点， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点F是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点A的坐标为，则点B的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵点C的坐标是，点M是的中点， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：8． 16． 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，求得点C的坐标是解题的关键．根据菱形的面积为20，，可求出，再结合菱形的性质得出点，利用勾股定理求得，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可解决问题． 【详解】解：四边形是菱形，点B在x轴负半轴上，轴于点D，菱形的面积为20，， ， ， 点C的坐标为， 反比例函数的图象经过点C， . 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了正比例函数、反比例函数的表达式及待定系数法求函数关系式，熟练掌握待定系数法，准确设出函数表达式并代入已知条件列方程组求解是解题的关键．先设出、的表达式，进而得到的表达式，再将已知的、值代入，通过解方程组求出未知系数，确定函数关系式． 【详解】解：设（），（）．则． 当时，，代入可得：①； 当时，，代入可得：②． 由①得，即，将其代入②得 解得． 把代入，得． 所以关于的函数关系式为． 18．(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数与不等式、反比例函数的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得k的值即可解答； （2）根据反比例函数的性质确定不等式的解集即可． （3）由题意可得：函数， 的图像在第一、三象限，然后根据反比例函数的性质用m表示出、的最小值和最大值，然后组成方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴． （2）解：∵，， ∴点在函数的图象上，且当时，且y随x的增大而减小；当时，且y随x的增大而减小； ∴当，且时，x的取值范围为或． （3）解：∵，函数， 的图象在第一、三象限， ∴当时，函数有最小值，即； 当时，函数有最大值m，即； 所以，解得． 19．(1)直线的函数解析式为，反比例函数的解析式为 (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）结合点和点的坐标及三角形的面积公式即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知， 将点和点代入得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 将点坐标代入得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴中边上的高线长为2， ∵， ∴， ∴的面积为：． （3）由， 解得：，， ∴点的横坐标为． 直线：和反比例函数交于，B两点， 当时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为． 20．(1)； (2) 【分析】（1）先根据点B的坐标为求出D点坐标，代入反比例函数即可求出m的值，进而得出解析式，再把代入求出y的值即可得出E点坐标； （2）根据为等腰三角形得出的长，进而得出F点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上点的坐标特点、矩形的性质、一次函数的性质等知识是解答此题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点B的坐标为，点D是的中点， ∴点，． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． ∵点E在上， ∴点E的横坐标为4， 把代入， 得， ∴点E的坐标为． （2）解：∵点F在上，为等腰三角形，， ∴，点F的横坐标为0． 由（1）得点， ∴， ∴点． 设直线的解析式为， 将点，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数关系式，求反比例函数关系式， 对于（1），将点代入关系式，解方程组求出解即可； 对于（2），将点代入反比例函数求出关系式，再令可得答案； 对于（3），先求出直线关系式，再求出时函数值即可. 【详解】（1）解：当时，将点代入直线关系式，得 ， 解得， ∴直线关系式为； （2）解：将点代入反比例函数，得 ， 解得， ∴反比例函数. 当时，（分）， 所以； （3）解：当时，直线的关系式为， 将点代入，得， 解得， ∴直线的关系式为， 当时，， 解得， 当时，， 所以开机50分钟时热水器中水的温度是70℃. 22．(1)，，； (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，也考查了利用轴对称求最短路径，勾股定理等知识； （1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k和的值； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解； （3）利用坐标两点距离公式，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 23．(1)， (2)①2；②或 【分析】（1）先根据线段中点，结合点，，求得，再根据平行四边形的性质可得出可用平移得到，利用平移的性质可求得，再根据点在反比例函数的图象上求得反比例函数解析式； （2）①当时，先求得直线的解析式，再结合图形找出区域内的整点； ②结合图象，分，两种情况，找出整点． 【详解】（1）解：设点的坐标为，点， ∵E为AD的中点，， ∴，，解得：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴可用平移得到， ∵，， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）①当时， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ， 而， ∴是在区域W内的整点， 同理可得是在区域W内的整点，共2个； ②当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 当时，与①同理可验证在区域W内有和，共2个整点； 综上所述，当或时，恰好区域W内的整点恰好为2个． 学科网（北京）股份有限公司 $