3.2.1函数的单调性 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的单调性，从气温变化、手机电量消耗等生活实例导入，衔接初中“图象升降”的定性描述，通过问题串引导学生从具体取值到符号语言刻画，搭建“定性到定量”的学习支架。 亮点在于以问题串驱动“具体到抽象”的思维过程，通过y=x²实例引导学生用“任意x₁,x₂”的符号语言刻画单调性，培养数学思维与语言表达能力，结合玻意耳定律实例体现数学应用，助力学生突破抽象难点，为教师提供清晰的概念建构与证明示范流程。

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高一 学期 秋季 课题 3.2.1 函数的基本性质（第1课时）----函数的单调性 教科书 书 名：普通高中教科书数学必修第一册教材 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月 教学目标 1. 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性。 2. 理解函数的单调性的作用和实际意义。 3. 会用定义证明简单函数的单调性。 4. 感悟数学概念的抽象过程及数学符号语言的作用。 教学内容 教学重点： 1. 理解函数的单调性定义。 2. 会用定义证明简单函数的单调性。 教学难点： 1. 符号语言的引入，对“任意”“都有”等涉及无限取值的语言的理解和使用. 2. 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性。 教学过程 1、 情境导入 同学们，大家有没有观察过，每天的气温会随时间变化，手机电量会随使用时长减少？其实这些能描述“一个量随另一个量变”的情况，都能用咱们数学里的“函数 来刻画。 那函数到底有什么用呢？它就像个“翻译官”，把现实里复杂的变化规律，变成咱们能分析的数学模型。大家想想，如果咱们能搞清楚“自变量变了之后，函数值怎么跟着变”，是不是就能反过来弄明白，它背后对应的现实问题（比如气温变化、电量消耗）到底有什么规律？ 说到这，大家可能会问：“函数性质又是什么呀？”其实它一点都不抽象，核心就是咱们常说的“变化里藏着规律，变来变去也有不变的东西”。所以咱们这节课研究函数性质，本质上就是一起练个本事——从那些“一直在变”的现象里，把“稳定不变的规律”给找出来。这就是这节课我们要学习的函数的基本性质------函数的单调性。 二、新知探究 问题1：请看下面的函数图象(图1)，从中你发现了函数图象的哪些特征?你觉得它们反映了函数的哪些方面的性质? 师生活动：上课后，教师打开 PPT，指着屏幕上的函数图象问大家：“同学们，咱们先一起看看这几幅图，观察完之后，谁能说说你发现了什么？比如图象的走势、样子上有没有特别的地方？” 学生观察后回答： “左边低右边高”，“图象中间好像能对折”， “有个地方是最高的” 等。 教师：“大家观察得都很仔细，提到了走势、对称，还有最高点这些点。不过咱们今天先聚焦一个核心——大家说的“左边低右边高”或者“左边高右边低”，也就是图象从左到右的升降变化，这些其实都是函数性质的体现。 教师：之前咱们初中的时候，会说“这个函数图象是上升的”，这是用文字描述的定性方法。那这节课，咱们要一起解决一个新问题——怎么用更精确的数学语言，也就是定量的方法，把“函数值随自变量增大而增大（减小）”的规律说清楚？ 设计意图：通过图象实例，让学生在观察与思考中直观感受函数性质的存在，从而理解研究函数性质的实际意义与必要性。同时，结合初中阶段已学过的、用定性描述（如 “图象上升”“图象下降”）来初步认识函数单调性的知识，帮助学生建立新旧知识的连接，清晰明确本节课 “从定性到定量” 的学习任务与方向。 问题2：在初中我们研究过二次函数 y=a（x−h）2+k，从它的图象可以看出：如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大；如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h时，y随x的增大而减小。请问：你是怎样理解“y随x的增大而减小”的?你能说说它的数量特征吗?比如以 y=x2为例. 师生活动：课堂上，先让学生自主梳理对函数变化规律的想法；然后组织学生以小组为单位展开讨论，再引导各小组派代表发言，进行全班范围的交流。 设计意图：核心是引导大家从 “数量特征” 的角度描述函数变化。这一过程既能推动学生更深入地理解单调性的本质，也能自然地促使他们突破初中阶段“图象上升 / 下降”的定性描述，主动探索更精确的定量刻画方式，为后续学习做好思维铺垫。 追问（1）：结合y=x2的图象，当x<0时，若取两个具体的x值，比如x1=−3和x2=−2，对应的y值分别是多少？这两个x值的大小关系与y值的大小关系有什么关联？ 追问（2）：再换一组x<0的值，比如x1=−1.5和x2=−0.5，重复上面的操作，你能得到和之前一样的关联规律吗？如果换成任意两个满足x1<x2 <0的x值，这个规律还成立吗？ 追问（3）：这样的例子举得完吗？怎样借助字母符号，归纳出上述例子的共同点？ 师生活动：当学生能清晰表述“在区间(−∞，0)内，任意选取两个自变量x1和x2，只要满足x1 <x2，就一定有f(x1)>f(x2)”时，教师总结：大家刚才用精准的数学符号语言，把函数在(−∞，0)上的变化规律说清楚了。要知道，这个区间里的自变量有无数个，原本“y随x增大而减小”是一个和“无限”相关的趋势描述，但通过“任取x1，x2∈(−∞，0)”这一关键表述，我们就把“无限多个变量的比较”转化成了“任意两个变量的具体比较”——这个有限且可操作的过程，正是数学抽象和形式化的独特价值，它能帮我们把模糊的趋势变成严谨的结论。 追问（4）：对于函数 你能模仿上述方法，给出“在区间 上，y随x的增大而增大”的符号语言刻画吗? 设计意图：本环节为课时重点，旨在通过“具体→抽象”的递进，引导学生用严格符号语言刻画“区间D上x增大时f(x)减小”。以问题串“逼出”“任意”二字，帮助学生体会“用符号（字母表任意数）刻画无限”的数学方法，突破“x在D上任意取值”的难点。因单调性概念抽象（首次用符号语言刻画无限取值问题），学生难独立掌握方法，故先由教师启发讲解，让学生理解“y 随 x 增而减”的符号表述；再引导学生模仿，自主给出“y随x增而增”的符号语言。 问题3：f(x)=|x|和各有怎样的单调性？ 教师活动：展示f(x) = |x|的图象（V型，顶点在原点），提问：“图象在y轴左侧和右侧的升降趋势有何不同？”引导学生结合之前“y 随 x 增而增（减）”的描述，尝试用自然语言分区间说明变化规律。 学生活动：观察图象，指出“y 轴左侧（x<0）图象从左到右下降，右侧（x>0）从左到右上升”，用自然语言描述：“x<0时，x越大，f (x)越小；x>0时，x越大，f (x)越大”。 设计意图：从直观图象切入，为后续符号化描述铺垫，降低抽象难度。 学生活动：画出的图像，并尝试用符号语言表述函数的单调性。 总结函数单调性的定义：一般地，设函数 f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 如果∀x1，x2∈D，当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(图3.2-3 (1)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 (图3.2-3 (2)). 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有 (严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间. 问题4：(1)设A 是区间D 上某些自变量的值组成的集合，而且 ∀x1,x2∈A，当 x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗?你能举例说明吗? (2)函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，你能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗? 师生活动：学生先独立完成问题4，教师提示可用多种方法（尤其借助函数图象直观分析）；组织全班交流，展示不同思路，补充完善结论。​ 设计意图：引导辨析单调性定义中“任意”的必要性，引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的。函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调 的，教学时可以要求学生举例说明． 函数单调性定义的简单应用： 例1 根据定义, 研究函数f(x)= kx+b(k≠0) 的单调性. 师生活动：教师引导分析根据函数单调性的定义，需要考察当时，还是 .根据实数大小关系的基本事实，只要考察 与0的大小关系.学生根据教师的引导思考具体证明方法，尝试自己写出过程，教师巡视指导，并共同写出规范的解题过程，给学生做出示范。 解：函数f(x)=kx+b(k≠0)的定义域是且 则 由 得 所以 ①当k>0时， 于是 即 这时，f(x)=kx+b是增函数. ②当k<0时， 于是 即 这时，f(x)=kx+b是减函数. 设计意图：将初中“看图象升降”的直观结论，转化为“设元→作差→变形→判正负”的代数证明，让函数单调性从“经验判断”上升为“逻辑结论”，体现数学定义对“直观认知” 的规范与支撑；一次函数的单调性推理过程简洁（差值化简后仅与k的符号相关），能降低学生初次用定义证明的难度，帮助其快速掌握“用定义考察单调性”的基本流程，为后续分析二次函数、分式函数等复杂函数的单调性建立方法认知。 总结定义法判定函数单调性的步骤：（结合例1师生共同总结）（学生做笔记） （1） 取值：在区间 D 上任取两个自变量的值并规定 （2） 作差：计算； （3） 变形：将 分解为若干可以直接确定符号的式子； （4） 定号：确定 的符号； （5） 结论：若 则函数 f(x)在区间D 上单调递增；若 则函数 f(x)在区间 D 上单调递减. 例2 物理学中的玻意耳定律 p=(k为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p 将增大.试对此用函数的单调性证明. 师生活动：先让学生独立思考“体积V减小时，压强p 增大”的含义，建立物理意义与函数单调性的联系；再让学生根据例1和上面总结的判定函数单调性的步骤独立给出证明，教师巡视指导，完成后点评完善. 设计意图：例2以物理学公式为载体，让学生感知函数模型可刻画现实现象，同时理解数学并非针对单个现象，而是将不同现象抽象为一类函数，通过研究这类函数性质，获取事物变化规律。同时本题在例1基础上适当增加难度，重点要引导学生对差值进行变形，分解变形成几个可以直接判断符号的式子。 例3 根据定义证明函数 y=x+在区间 (1，+∞)上单调递增. 师生活动：先由学生独立思考并写出证明过程，鼓励学生上台板书，在书写过程中发现共性问题或困难，教师进行精讲，突破难点，再次强调变形是核心。引导学生进一步总结证明步骤，明确代数变形的方向. 设计意图：本例依托单调性定义，通过严谨的代数推理可推导函数在(1，+∞)上单调递增的性质，让学生体会该结论在未引入单调性定义时难以实现，助力学生进一步理解定义的作用与价值；同时引导学生体会代数证明的常规思路，培养逻辑推理、数学运算等数学核心素养。三、课堂小结 教师引导学生回顾本节课的学习内容，并引导学生回答下列问题： （1）函数的单调性的定义是什么？​ （2）定义法判定函数单调性的步骤是什么？​ 设计意图：引导学生准确表述单调递增、单调递减及增、减函数的概念，结合实例深化对单调性要点的理解；复习巩固定义法判定函数单调性的步骤。 四、课后作业 1. 教科书P79练习第2, 3, 4题。 2. 课时作业对应小节。 学科网（北京）股份有限公司 $