专题1.5 有理数（章节复习）知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题1.5 有理数（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点1.自然数、分数、小数的意义 2 知识点2.具有相反意义的量及其表示 3 知识点3.正数和负数 4 知识点4.有理数的有关概念 4 知识点5.有理数的分类 5 知识点6.数轴的概念 5 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 6 知识点8.相反数 6 知识点9.绝对值 6 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 7 知识点11.利用法则比较有理数的大小 8 优选题型 考点讲练 8 考点1：正负数的定义 8 考点2：相反意义的量 8 考点3：正负数的实际应用 8 考点4：有理数的定义 9 考点5：0的意义 9 考点6：有理数的分类 9 考点7：带“非”字的有理数 9 考点8：数轴的三要素及其画法 10 考点9：用数轴上的点表示有理数 10 考点10：数轴上两点之间的距离 11 考点11：数轴上点的平移(动点问题) 11 考点12：相反数的定义 11 考点13：数轴上整点覆盖问题 11 考点14：化简多重符号 12 考点15：相反数的应用 12 考点16：绝对值的几何意义 12 考点17：求一个数的绝对值 12 考点18：绝对值非负性 12 考点19：绝对值的其他应用 12 考点20：利用数轴比较有理数的大小 13 考点21：有理数大小比较 13 考点22：有理数大小比较的实际应用 13 中考真题 实战演练 14 难度分层 拔尖冲刺 14 基础夯实 14 培优拔高 15 知识点1.自然数、分数、小数的意义 1.自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮编、身份证号码等。 注意： 并不是所有的小数都能化为分数，如小学学过的π 就不能化为分数。 2.分数、小数的关系： （1）分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数 （有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数。如 知识点2.具有相反意义的量及其表示 1.具有相反意义的量包括两层含义： （1）具有相反意义；（2）具有数量。 常见的表示相反意义的词语 增加├ ←→┤ 减少 零上├ ←→┤ 零下 前进├ ←→┤ 后退 向东├ ←→┤ 向西 上升├ ←→┤ 下降等 示例1 具有相反意义的量 具有相反意义的量的特点 特点 解读与举例 成对性 单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米。 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量。 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等。 2.具有相反意义的量的表示 为了区别具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学 过的数或者带有“+ ”（正号）的数表示；把另外一种与它意义 相反的量用带有“-”（负号）的数表示。 注意：表示具有相反意义的量时，一定要说明数量和单位。 知识点3.正数和负数 数的分类 定义 举例 注意 正数 大于零的数。 正数前的“+ ”常省略不写。 负数 用大于零的数前面放 上负号“-”来表示的数。 负数前的“-”不能省略不写。 0 （1）0是正数与负数的分界； （2）0不仅可以表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃ 表示实际温度为冰点时的计量结果。 0既不是正数，也不是负数。 示例2 正数和负数 知识点4.有理数的有关概念 1.整数：正整数、零和负整数统称整数，如−3，−2，−1 ，0，1，2，3等。 说明： 整数分为奇数和偶数。奇数和偶数中也有负数，如−6 ，−4，−2是偶数，−5，−3，−1 是奇数。 2.分数：正分数、负分数统称分数，如2，0.2，−1.25，− 等。 3.有理数：整数和分数统称有理数。 (任何一个有理数都可以写成(,是整数,≠0)的形式) 4.部分常用的数： （1）正整数:如1，2，3，⋯ 。 负整数:如−1，−2，−3，⋯ 。 （2）正分数:如,，0.1，5.32，0.3⋅，⋯ 。 负分数:如−，−，−0.1,−5.32,−0.3⋅ ,…。 （3）非负数:正数和0。 非正数:负数和0。 非负整数:正整数和0。（即自然数） 知识点5.有理数的分类 1.按定义分类 2.按性质符号分类 知识点6.数轴的概念 1.数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 2.数轴的三要素：数轴是一条可以向两个方向无限延伸的直线，其中原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素。在同一数轴中，数轴的三要素一经确定，就不得改变。（（1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，但直线不一定是数轴；（2）同一条数轴上的单位长度必须一致） 示例1 数轴 3.数轴的画法： 步骤 画法 图形 一画 画一条直线（一般画成水平的）。 二取 在直线上任取一点O 作为原点，表示数0。 三定 规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向。 四标 取适当的长度为单位长度。从原点开始向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，⋯ ；从原点开始向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示−1，−2，−3，⋯ 。 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数不都是有理数。 示例2 用数轴上的点表示有理数 （1）定正负：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示数0； （2）定距离：从原点出发，确定原点到这点的距离。 知识点8.相反数 1.相反数：如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数（相反数是成对出现的（0除外））。注意，0的相反数是0。（相反数等于它本身的数只有0） 示例3 相反数 2.相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 示例4 相反数的几何意义 注意：任何一个数都有唯一的相反数。 知识点9.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 内容 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 示例 利用数轴比较有理数大小的步骤 （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小。 知识点11.利用法则比较有理数的大小 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 同号两数比较大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列四个数中，是负数的是（    ） A．7 B．0 C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）生活中，正数和负数都有实际意义，如零上，记，则零下，记 ． 【变式训练】（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）如果零上记作，那么零下记作（　　） A． B． C． D． 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“向东走”记作“”，那么“向西走”记作（    ）． A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·山东济宁·期中）在生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形．已知在某品牌乒乓球的产品参数表中，标明球的直径是，则下列乒乓球中合格的是（    ） A． B． C． D． 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）下列7个数，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，中，有理数有 个． 考点5：0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）在，，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（    ） A． B．0 C． D．1 【变式训练】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列四个数中，既不是正数又不是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）下列说法正确的是（  ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．正整数和负整数统称整数 D．有理数就是自然数和负数 【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）在，，，这四个数中，正有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点7：带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，0，，4， 负分数集合 …； 正数集合 …； 非负整数集合 … 【变式训练】（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里． ，，6，，，0，，，78，， (1)正整数：｛               ……｝ (2)整数：｛               ……｝ (3)负分数：｛               ……｝ (4)非负数：｛               ……｝ 考点8：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·天津河北·阶段练习）如图所示的四个数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）下列数轴中正确的是（    ） A． B． C． D． 考点9：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽黄山·阶段练习）数轴上一点，一只蚂蚁从出发向右爬了个单位长度到了原点，则点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）指出数轴上A，B，C，D，E，F各点所表示的数： 考点10：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北·期末）在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 考点11：数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式训练】（25-26七年级上·湖南永州·阶段练习）把数轴上表示数3的点移动4个单位后，表示的数为（  ） A．7 B． C．7或1 D．7或 考点12：相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·北京昌平·期中）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 考点13：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·广东中山·阶段练习）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 考点14：化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州毕节·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）化简： ； ； ． 考点15：相反数的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【变式训练】（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 考点16：绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃陇南·期中）若，则x（   ）3 A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若，则 ． 考点17：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）的绝对值是 ． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，一定是（   ） A．零 B．非正数 C．正数 D．负数 考点18：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）若，则 ， ． 【变式训练】（25-26七年级上·四川·阶段练习）代数式最大值为 ． 考点19：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）绝对值小于的所有非负整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）在银行账户的收支记录中，规定“存入金额”为正，“取出金额”为负，账户余额的变化用数a表示．如果，下列关于账户余额变化的描述成立的是（   ） A．账户一定有存入金额（） B．账户一定有取出金额（） C．账户可能没有存入也没有取出（） D．账户可能有取出金额或没有资金变动（） 考点20：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）若a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，，b，按照由小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：4，，，，并用“<”连接起来． 考点21：有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）写一个符合条件的数：比大的负数 ． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小： ．（请在横线上填入“>”，“=”或“<”） 考点22：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·阶段练习）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（   ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【变式训练】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）下表是我国4个地区2010～2020年人口平均增长率，增长率最低的地区是（    ）． 地区 浙江 山西 吉林 上海 人口平均增长率/％ A．浙江 B．山西 C．吉林 D．上海 1．（2024·全国·中考真题）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024·浙江杭州·中考真题）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把这些数从小到大排列起来． ，，， 3．（2024·湖北武汉·中考真题）比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024·全国·中考真题）已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 5．（2024·陕西西安·中考真题）若，则 ． 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（    ） A． B． C． D．1.98 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 4．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数：，，，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“ ”连接起来． 培优拔高 6．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列说法，正确的个数为（    ） 不一定是负数；若，则；一个有理数不是正数就是负数； 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． A．个 B．个 C．个 D．个 8．（24-25七年级上·广西南宁·期中）数轴上的点表示，则到点距离为5个单位长度的点所表示的数是 ． 9．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）某数的绝对值小于2，在数轴上，这个数表示的点到所表示的点的距离是，则这个数是 ． 10．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段练习）【背景知识】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【问题情境】例如，有理数和在数轴上对应的两点之间的距离是，而的几何意义是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【综合运用】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)当取最小值时，其最小值是______． (4)小明同学在解方程时，步骤如下： 由方程右边的值为可知，满足方程的对应点在的右边或的左边． 若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出； 同理，若x的对应点在的左边，可得； 故原方程的解是或． 参考小明的解答过程，回答以下问题： ①求方程的解（须写出必要的求解过程）； ②若数轴上存在有理数x，使得方程成立，则x的值可能为______． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 有理数（章节复习） （知识梳理+22个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点1.自然数、分数、小数的意义 2 知识点2.具有相反意义的量及其表示 2 知识点3.正数和负数 3 知识点4.有理数的有关概念 4 知识点5.有理数的分类 4 知识点6.数轴的概念 5 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 5 知识点8.相反数 6 知识点9.绝对值 6 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 7 知识点11.利用法则比较有理数的大小 7 优选题型 考点讲练 8 考点1：正负数的定义 8 考点2：相反意义的量 8 考点3：正负数的实际应用 9 考点4：有理数的定义 10 考点5：0的意义 11 考点6：有理数的分类 11 考点7：带“非”字的有理数 12 考点8：数轴的三要素及其画法 14 考点9：用数轴上的点表示有理数 15 考点10：数轴上两点之间的距离 15 考点11：数轴上点的平移(动点问题) 16 考点12：相反数的定义 17 考点13：数轴上整点覆盖问题 18 考点14：化简多重符号 18 考点15：相反数的应用 19 考点16：绝对值的几何意义 20 考点17：求一个数的绝对值 20 考点18：绝对值非负性 21 考点19：绝对值的其他应用 21 考点20：利用数轴比较有理数的大小 22 考点21：有理数大小比较 23 考点22：有理数大小比较的实际应用 24 中考真题 实战演练 24 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 28 知识点1.自然数、分数、小数的意义 1.自然数的作用： （1）计数，计量人或物的数量； （2）测量，如长度、高度、质量等； （3）标号或排序，如城市的公共汽车路线、门牌号码、邮编、身份证号码等。 注意： 并不是所有的小数都能化为分数，如小学学过的π 就不能化为分数。 2.分数、小数的关系： （1）分数可以看作两个整数相除，因此分数都可以化为小数 （有限小数或无限循环小数）； （2）有限小数、无限循环小数都可以化为分数。如 知识点2.具有相反意义的量及其表示 1.具有相反意义的量包括两层含义： （1）具有相反意义；（2）具有数量。 常见的表示相反意义的词语 增加├ ←→┤ 减少 零上├ ←→┤ 零下 前进├ ←→┤ 后退 向东├ ←→┤ 向西 上升├ ←→┤ 下降等 示例1 具有相反意义的量 具有相反意义的量的特点 特点 解读与举例 成对性 单独一个量不能成为具有相反意义的量，如上升10米。 同类性 具有相反意义的量必须是同类量，如向东走20米与盈利20元就不是具有相反意义的量。 不唯一性 具有相反意义的量，不要求数量相等，如与盈利300元具有相反意义的量不唯一，可以是亏损400元，也可以是亏损100元等。 2.具有相反意义的量的表示 为了区别具有相反意义的量，通常把一种意义的量用以前学 过的数或者带有“+ ”（正号）的数表示；把另外一种与它意义 相反的量用带有“-”（负号）的数表示。 注意：表示具有相反意义的量时，一定要说明数量和单位。 知识点3.正数和负数 数的分类 定义 举例 注意 正数 大于零的数。 正数前的“+ ”常省略不写。 负数 用大于零的数前面放 上负号“-”来表示的数。 负数前的“-”不能省略不写。 0 （1）0是正数与负数的分界； （2）0不仅可以表示“没有”，还可以表示某种量的基准，如0 ℃ 表示实际温度为冰点时的计量结果。 0既不是正数，也不是负数。 示例2 正数和负数 知识点4.有理数的有关概念 1.整数：正整数、零和负整数统称整数，如−3，−2，−1 ，0，1，2，3等。 说明： 整数分为奇数和偶数。奇数和偶数中也有负数，如−6 ，−4，−2是偶数，−5，−3，−1 是奇数。 2.分数：正分数、负分数统称分数，如2，0.2，−1.25，− 等。 3.有理数：整数和分数统称有理数。 (任何一个有理数都可以写成(,是整数,≠0)的形式) 4.部分常用的数： （1）正整数:如1，2，3，⋯ 。 负整数:如−1，−2，−3，⋯ 。 （2）正分数:如,，0.1，5.32，0.3⋅，⋯ 。 负分数:如−，−，−0.1,−5.32,−0.3⋅ ,…。 （3）非负数:正数和0。 非正数:负数和0。 非负整数:正整数和0。（即自然数） 知识点5.有理数的分类 1.按定义分类 2.按性质符号分类 知识点6.数轴的概念 1.数轴的概念：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫作数轴。 2.数轴的三要素：数轴是一条可以向两个方向无限延伸的直线，其中原点、单位长度和正方向称为数轴的三要素。在同一数轴中，数轴的三要素一经确定，就不得改变。（（1）数轴是一条直线，可以向两方无限延伸，但直线不一定是数轴；（2）同一条数轴上的单位长度必须一致） 示例1 数轴 3.数轴的画法： 步骤 画法 图形 一画 画一条直线（一般画成水平的）。 二取 在直线上任取一点O 作为原点，表示数0。 三定 规定直线的一个方向（一般取从左到右的方向）为正方向，用箭头表示，相反的方向为负方向。 四标 取适当的长度为单位长度。从原点开始向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，⋯ ；从原点开始向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示−1，−2，−3，⋯ 。 知识点7.数轴上的点与有理数的对应关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数不都是有理数。 示例2 用数轴上的点表示有理数 （1）定正负：原点右侧的点表示正数，左侧的点表示负数，原点表示数0； （2）定距离：从原点出发，确定原点到这点的距离。 知识点8.相反数 1.相反数：如果两个数只有符号不同,那么我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称这两个数互为相反数（相反数是成对出现的（0除外））。注意，0的相反数是0。（相反数等于它本身的数只有0） 示例3 相反数 2.相反数的几何意义 在数轴上，表示互为相反数（0除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。 示例4 相反数的几何意义 注意：任何一个数都有唯一的相反数。 知识点9.绝对值 1.绝对值的概念：把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫作这个数的绝对值。（由于绝对值是距离，所以绝对值具有非负性） 2.表示方法：一个数的绝对值表示为||，读作“ 的绝对值”。 示例 绝对值 说明：一个数在数轴上对应的点到原点的距离越远，绝对值越大；到原点的距离越近，绝对值越小。反之 也成立。（绝对值最小的数是0） 3. 绝对值的性质 （1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的 相反数；零的绝对值是零。 ①如果>0，那么||= ； ②如果<0，那么||=−；简记为∣∣= ③如果=0，那么||=0 。 （2）互为相反数的两个数的绝对值相等。即若,b 互为相反数，则||=|b|。（拓展：任何数的绝对值都不小于它本身，即||≥） 教材延伸 （1）绝对值是它本身的数是非负数，即若||=，则≥0 ；绝对值是其相反数的数是非正数，即若||=−，则≤0 。 （2）绝对值是某个正数的数有两个，它们互为相反数，即若|x|= (>0)，则x=±，如|x|=2，则x=±2 。 （3）若两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，即若||=|b|,则=b或=−b 。 知识点10.利用数轴比较有理数的大小 内容 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 示例 利用数轴比较有理数大小的步骤 （1）画数轴并描点； （2）定顺序：确定各点在数轴上的左右顺序； （3）判大小：根据右边的数总比左边的数大确定大小。 知识点11.利用法则比较有理数的大小 符号法则 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 同号两数比较大小的法则 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。 利用绝对值比较两个负数大小的步骤 考点1：正负数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列四个数中，是负数的是（    ） A．7 B．0 C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正数、负数和的定义，熟练掌握负数是小于的数是解题的关键． 根据正数、负数和的定义来判断每个选项． 【规范解答】解：是正数，既不是正数也不是负数，是负数，是正数， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·四川德阳·阶段练习）有下列各数：3，，，0，，其中负数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了对正数和负数定义，掌握0既不是正数也不是负数是解题的关键． 根据正数和负数的定义逐个判断即可． 【规范解答】解：，是正数；，是负数；，是负数；0既不是正数，也不是负数；，是负数；负数共有3个． 故选：C． 考点2：相反意义的量 【典例精讲】（25-26七年级上·山东聊城·期中）生活中，正数和负数都有实际意义，如零上，记，则零下，记 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了正数和负数表示具有相反意义的量，若零上温度记为正，则零下温度记为负，由此即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：根据题意，零上记作，则零下记作， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）如果零上记作，那么零下记作（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了正数和负数的意义，解题的关键是掌握正数和负数表示相反意义的量． 根据正数和负数表示相反意义的量即可进行解答． 【规范解答】解：零上记作，那么零下记作． 故选：C． 考点3：正负数的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·吉林·期中）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“向东走”记作“”，那么“向西走”记作（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，规定一个方向为正，则相反方向为负． 【规范解答】∵“向东走”记作“”， ∴向西走记为负． 又∵向西走， ∴记作． 故答案为：C． 【变式训练】（24-25七年级上·山东济宁·期中）在生活中经常看到用正负数表示允许偏差的情形．已知在某品牌乒乓球的产品参数表中，标明球的直径是，则下列乒乓球中合格的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是正负数在实际生活中表示允许偏差的应用，理解的含义是解题的关键．根据得出乒乓球合格的直径范围，据此判断每个选项的乒乓球直径是否在这个范围内即可得出合格的乒乓球． 【规范解答】解：因为球的直径是， 所以合格的乒乓球的直径范围为（含端点）． 故选C． 考点4：有理数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆万州·阶段练习）下列7个数，（每两个2之间依次多一个6），其中有理数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的概念，解题的关键是根据有理数的定义（整数和分数，即有限小数或无限循环小数），逐一判断各数是否属于有理数． 【规范解答】，，，0，，，（每两个2之间依次多一个6）中， ：分数形式，属于有理数． 1.010010001：有限小数，属于有理数． ：分数形式，化为小数是无限循环小数，属于有理数． 0：整数，属于有理数． ：整数，属于有理数． ，：无限循环小数，属于有理数． （每两个2之间依次多一个6）：虽然有一定规律，但无限不循环，属于无理数． 综上，前6个数均为有理数，共， 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，中，有理数有 个． 【答案】5 【思路点拨】本题考查有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【规范解答】解：，0，均为有理数，共有5个； 故答案为：5． 考点5：0的意义 【典例精讲】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）在，，0，1，这四个数中，既不是正数也不是负数的是（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】B 【思路点拨】本题考查了正负数的定义，0的意义，根据大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数进行逐项分析，即可作答． 【规范解答】解：A、是负数，故该选项不符合题意； B、0既不是正数也不是负数，故该选项符合题意； C、是负数，故该选项不符合题意； D、1是正数，故该选项不符合题意； 故选：B 【变式训练】（25-26七年级上·安徽芜湖·阶段练习）下列四个数中，既不是正数又不是负数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类即可求解，解题的关键是正确理解正数是大于0的数，负数是小于0的数，而0既不是正数也不是负数． 【规范解答】解：由有理数的分类可知，，是正数，是负数，0既不是正数也不是负数． 故选：B． 考点6：有理数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）下列说法正确的是（  ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．一个有理数不是整数就是分数 C．正整数和负整数统称整数 D．有理数就是自然数和负数 【答案】B 【思路点拨】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 根据有理数的分类方法逐项分析即可． 【规范解答】A．∵有理数包括正数、负数和0，但0既不是正数也不是负数， ∴选项A错误； B．∵有理数包括整数和分数， ∴一个有理数不是整数就是分数，故选项B正确； C．∵整数包括正整数、0和负整数， ∴ 正整数和负整数不能统称整数，缺少0，故选项C错误； D．∵有理数包括整数和分数，而自然数通常指正整数和0，负数包括负整数和负分数，但有理数还包括正分数等， ∴选项D不能覆盖所有有理数，故错误． 故选B． 【变式训练】（25-26七年级上·福建福州·阶段练习）在，，，这四个数中，正有理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查有理数的概念． 分别计算每个数的值，判断其正负性和是否为有理数，有理数包括整数和分数，而无理数是无限不循环小数． 【规范解答】∵ ，且1是有理数， ∴是正有理数， ∵， ∴不是正数， ∵ （指数运算优先，，再取负）， ∴ 不是正数， ∵是无限不循环小数，是无理数， ∴ 不是有理数， 因此，正有理数只有1个， 故选：A． 考点7：带“非”字的有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）把下列各数填在相应的大括号内： ，0，，4， 负分数集合 …； 正数集合 …； 非负整数集合 … 【答案】 ，4 0，4 【思路点拨】本题主要考查了有理数的分类：根据有理数的分类标准：负分数是小于0的分数；正数是大于0的数；非负整数是0和正整数． 【规范解答】解：负分数集合包括所有小于0的分数，其中和是负分数， 故负分数集合为{，…}． 正数集合包括所有大于0的数，其中和4是正数， 故正数集合为{，4… }． 非负整数集合包括0和正整数，其中0和4是非负整数， 故非负整数集合为{ 0，4… }． 故答案为：①；②，4；③0，4． 【变式训练】（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）把下列各数填在相应的集合里． ，，6，，，0，，，78，， (1)正整数：｛               ……｝ (2)整数：｛               ……｝ (3)负分数：｛               ……｝ (4)非负数：｛               ……｝ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路点拨】本题考查有理数，解题的关键是明确有理数的划分，可以判断一个数属于哪一类型． 根据正整数的定义判断即可； 根据整数的定义判断即可； 根据负分数的定义判断即可； 根据非负数的定义判断即可． 【规范解答】（1）解：正整数：； （2）解：整数：； （3）解：负分数：； （4）解：非负数：． 考点8：数轴的三要素及其画法 【典例精讲】（25-26七年级上·天津河北·阶段练习）如图所示的四个数轴，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了画数轴，熟练掌握数轴有三要素：原点，单位长度和正方向，根据三要素进行判断即可． 【规范解答】解：根据三要素进行判断如下： A、单位长度不一致，故A不符合题意； B、数轴上的数从左到右依次增大，故B不符合题意； C、没有原点，故C不符合题意； D、具备数轴的三要素及数据的排列顺序，故D符合题意； 故选：D． 【变式训练】（25-26七年级上·辽宁铁岭·阶段练习）下列数轴中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了学生对数轴的掌握情况，数轴有三要素：原点、单位长度和正方向，任何一个条件都不能少，都必须体现在数轴上． 根据数轴的定义分析即可． 【规范解答】解：A. 该数轴单位长度不一致，故该数轴不正确，不符合题意； B.该数轴没有原点，故该数轴不正确，不符合题意； C.该数轴没有正方向，故该数轴不正确，不符合题意； D.该数轴具备数轴的三要素，故该数轴是正确的，符合题意． 故选：D． 考点9：用数轴上的点表示有理数 【典例精讲】（25-26七年级上·安徽黄山·阶段练习）数轴上一点，一只蚂蚁从出发向右爬了个单位长度到了原点，则点所表示的数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了用数轴上的点表示有理数，蚂蚁从点向右爬行个单位到达原点，说明点位于原点左侧个单位处，所以点表示的数是 【规范解答】解：设点表示的数为， 蚂蚁从向右爬个单位到达原点， ， 解得：， 点表示的数为 故选：B． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·课后作业）指出数轴上A，B，C，D，E，F各点所表示的数： 【答案】；；；；； 【思路点拨】本题主要考查用数轴上的点表示有理数；根据各点所在数轴上的位置写出所表示的数即可． 【规范解答】解：数轴上A，B，C，D，E，F各点所表示的数为： ；；；；；． 考点10：数轴上两点之间的距离 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北·期末）在数轴上表示 5 的点与表示 的点之间的距离是 ． 【答案】20 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间距离的计算，解题的关键是掌握数轴上两点间距离公式——若两点表示的数分别为、，则两点距离为（或用较大数减去较小数）． 先明确数轴上两点距离的计算方法：两点表示的数的差的绝对值（或直接用大数减小数）；再确定两点表示的数分别为和，代入计算即可． 【规范解答】解：数轴上两点间距离为两点表示数的差的绝对值，   则表示的点与表示的点之间的距离为 故答案为：20． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南长沙·阶段练习）已知点和点在同一数轴上，点表示数2，又已知点和点相距5个单位长度．则点表示的数是（　　） A．3 B． C．3或 D．或7 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了数轴，解题的关键是分两种情况讨论． 分两种情况①当点在点的右边时，点表示的数为．②当点在点的左边时，点表示的数为求解即可． 【规范解答】解：点表示数2，点和点相距5个单位长度， 当点在点的右边时，点表示的数为． 当点在点的左边时，点表示的数为． 点表示的数是或 7， 故选：D． 考点11：数轴上点的平移(动点问题) 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点，则点所表示的数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【思路点拨】本题考查了数轴，关键在于掌握数轴上的点平移时数的大小变化规律． 分为当点向左移动个单位长度和当点向右移动个单位长度，两种情况进行分析即可． 【规范解答】解：∵为数轴上表示的点，将点移动个单位长度到点， ∴当点向左移动个单位长度时，点为； 当点向右移动个单位长度时，点为． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·湖南永州·阶段练习）把数轴上表示数3的点移动4个单位后，表示的数为（  ） A．7 B． C．7或1 D．7或 【答案】D 【思路点拨】本题考查了数轴上点的平移（动点问题），解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 分向左、向右移动，分别求出移动后的点表示的数即可． 【规范解答】解：把数轴上表示数3的点向左移动4个单位后，表示的数为， 把数轴上表示数3的点向右移动4个单位后，表示的数为7， 综上所述，把数轴上表示数3的点移动4个单位后，表示的数为7或， 故选：D． 考点12：相反数的定义 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相反数，掌握相反数的定义是解题的关键． 根据相反数的定义解答即可． 【规范解答】解：的相反数是3． 故选B． 【变式训练】（25-26七年级上·北京昌平·期中）的相反数是（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可求解． 【规范解答】解：的相反数为． 故选：D． 考点13：数轴上整点覆盖问题 【典例精讲】（25-26七年级上·广东中山·阶段练习）小明写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨迹盖住部分的整数共有 个． 【答案】7 【思路点拨】本题主要考查了数轴，整数的概念，根据数轴上点的特点，知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于3，写出其中的整数即可． 【规范解答】解：根据数轴得∶墨迹盖住的整数共有，，，和0，1，2，共7个． 故答案为：7． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）有一条个单位长的线段，把它放在刻度尺上，最多能覆盖个整数，最少能覆盖个整数，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了数轴．分不从整数开始覆盖和从整数开始覆盖两种情况讨论． 【规范解答】解：不从整数开始覆盖最少能覆盖4个表示整数的点，即， 从整数开始覆盖最多能覆盖5个表示整数的点，即． 所以． 故答案为：9． 考点14：化简多重符号 【典例精讲】（25-26七年级上·贵州毕节·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相反数的定义，多重符合的化简，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键；根据相反数的定义逐项判断即可． 【规范解答】解：、与3不是互为相反数，故本选项不符合题意； 、与互为相反数，故本选项符合题意； 、与不是互为相反数，故本选项不符合题意； 、与不是互为相反数，故本选项不符合题意； 故选：B 【变式训练】（2024七年级上·全国·专题练习）化简： ； ； ． 【答案】 / 2 【思路点拨】本题考查了化简多重符号．根据相反数的定义化简相应符号即可． 【规范解答】解：， 故答案为：； ， 故答案为：； ， 故答案为：2． 考点15：相反数的应用 【典例精讲】（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果两个有理数的和为0，则这两个有理数的关系是（    ） A．互为倒数 B．互为相反数 C．相等 D．都为0 【答案】B 【思路点拨】根据互为相反数的两个数的和为0，解答即可． 本题考查了相反数的性质，熟练掌握相反数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：互为相反数的两个数的和为0， 故两个有理数的和为0，这两个数一定是互为相反数． 故选：B． 【变式训练】（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查的知识点是相反数和有理数的加法，解题关键是熟记相反数的性质． 依据相反数的定义可得到，然后代入计算即可． 【规范解答】解：∵与互为相反数， ∴． ∴． 故选A． 考点16：绝对值的几何意义 【典例精讲】（25-26七年级上·甘肃陇南·期中）若，则x（   ）3 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握．根据绝对值的性质进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·山东临沂·阶段练习）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了已知一个数的绝对值求这个数，根据绝对值的意义求解即可． 【规范解答】解：， ∴， 故答案为： 考点17：求一个数的绝对值 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏连云港·期中）的绝对值是 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的绝对值，解题的关键是掌握求绝对值的法则． 根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数． 【规范解答】解：， 故答案为：4． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，一定是（   ） A．零 B．非正数 C．正数 D．负数 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，即可解答，掌握绝对值意义是解题的关键． 【规范解答】解：若，一定是非正数， 故选：． 考点18：绝对值非负性 【典例精讲】（24-25七年级上·湖北襄阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 0 1 【思路点拨】本题主要考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键．根据绝对值的非负性得出，，即可得出答案． 【规范解答】解：∵，，， ∴，， ∴，． 故答案为：0；1． 【变式训练】（25-26七年级上·四川·阶段练习）代数式最大值为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 利用绝对值的非负性得出时，取得最大值即可求解． 【规范解答】解： ， 的最小为0， ∴当时，取得最大值，最大值为， 代数式最大值为3． 故答案为：3． 考点19：绝对值的其他应用 【典例精讲】（25-26七年级上·山东青岛·阶段练习）绝对值小于的所有非负整数的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了绝对值，非负整数的定义，理解绝对值和非负整数的定义是解决本题的关键．根据绝对值和非负整数的定义解答即可． 【规范解答】解：绝对值小于的所有非负整数有：、、、，共个． 故选：B ． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃平凉·阶段练习）在银行账户的收支记录中，规定“存入金额”为正，“取出金额”为负，账户余额的变化用数a表示．如果，下列关于账户余额变化的描述成立的是（   ） A．账户一定有存入金额（） B．账户一定有取出金额（） C．账户可能没有存入也没有取出（） D．账户可能有取出金额或没有资金变动（） 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是绝对值的意义，理解绝对值的意义是解题关键，根据绝对值意义结合对账户余额做出正确描述． 【规范解答】解：∵规定“存入金额”为正，“取出金额”为负，账户余额的变化用数a表示，且， 当时，表示账户有取出金额；当时，表示账户没有资金变动； 所以账户可能有取出金额或没有资金变动（）， 故选：D． 考点20：利用数轴比较有理数的大小 【典例精讲】（25-26七年级上·山东临沂·期中）若a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，，b，按照由小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，由数轴得，，进而求解． 【规范解答】解：观察数轴可知，， ∴． 故选：C． 【变式训练】（25-26七年级上·重庆北碚·阶段练习）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：4，，，，并用“<”连接起来． 【答案】数轴表示见解析， 【思路点拨】本题考查了数轴，有理数大小比较．先画出数轴，再把各数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的数总比右边的数小得出比较结果． 【规范解答】解：数轴如下： ∴． 考点21：有理数大小比较 【典例精讲】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）写一个符合条件的数：比大的负数 ． 【答案】（答案不唯一） 【规范解答】此题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较规则，负数中绝对值越小，数值越大求解即可． 【思路点拨】解：比大的负数可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）比较大小： ．（请在横线上填入“>”，“=”或“<”） 【答案】 【思路点拨】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较大小的规则，绝对值较大的负数反而较小． 【规范解答】解：计算两个负数的绝对值：，． 比较绝对值的大小：将和通分，，， 因为，所以． 因此，． 故答案为． 考点22：有理数大小比较的实际应用 【典例精讲】（25-26七年级上·全国·阶段练习）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如下表： 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔 其中最低海拔最小的大洲是（   ） A．亚洲 B．欧洲 C．非洲 D．南美洲 【答案】A 【思路点拨】本题考查负数比较大小的应用，熟记两个负数，绝对值大的反而小是解决问题的关键． 直接比较表中各洲的最低海拔的大小即可得到答案． 【规范解答】解：∵， ， 最低海拔最小的大洲是亚洲， 故选：A． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江·阶段练习）下表是我国4个地区2010～2020年人口平均增长率，增长率最低的地区是（    ）． 地区 浙江 山西 吉林 上海 人口平均增长率/％ A．浙江 B．山西 C．吉林 D．上海 【答案】C 【思路点拨】本题考查了有理数的比较大小，比较四个地区的人口平均增长率，即可解答，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得：， ∴增长率最低的地区是吉林． 故选：C． 1．（2024·全国·中考真题）已知，，，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查绝对值的性质（绝对值等于一个正数的数有两个，互为相反数）、绝对值的运算规律；掌握将拆分为的形式，通过分析各差值的符号组合求的最小值，是解题的关键．先根据绝对值的性质，得出两种情况；再将差值转化为前三个差值的和，通过绝对值的运算性质表示出；最后分析不同符号组合下的结果，找出最小值． 【规范解答】解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 2．（2024·浙江杭州·中考真题）先把下列各数在数轴上表示出来，再用“”把这些数从小到大排列起来． ，，， 【答案】 【思路点拨】本题考查绝对值，相反数，数轴和有理数的大小，能根据数轴上点的位置比较数的大小是解题的关键，先化简符号，在数轴上表示各个数，再比较即可得到答案． 【规范解答】解：在数轴上表示为： ． 3．（2024·湖北武汉·中考真题）比较下列各组数的大小，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了有理数的大小比较，根据正数大于0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小一一比较即可． 【规范解答】解：．，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； ．，则，原比较正确，故该选项符合题意； ．，，则，原比较错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·全国·中考真题）已知有理数a，b，c在数轴上的位置：a在原点左边，b在原点右边但是靠近原点，c在b右边更远的位置，化简：． 【答案】0 【思路点拨】本题主要考查了利用数轴比较大小，去绝对值等知识点，根据数轴上点的位置关系，可以判断出数的大小关系，从而确定绝对值内式子的正负性，再根据绝对值的性质：当时，；当时，；对绝对值进行化简即可． 【规范解答】解：由题意得：， ∴，，， ． 5．（2024·陕西西安·中考真题）若，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了根据绝对值求原数，代数式求值问题，求出是解题的关键．先求出，再根据绝对值的意义求解即可． 【规范解答】由题意得，， ， 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26七年级上·重庆·阶段练习）下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了数轴，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．根据数轴的定义即可解答． 【规范解答】解：A、没有正方向，不是数轴，不符合题意； B、不是直线，不是数轴，不符合题意； C、单位长度不一致，不是数轴，不符合题意； D、是数轴，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，如果把下面各数在数轴上表示出来，那么不在与2之间的数是（    ） A． B． C． D．1.98 【答案】B 【思路点拨】本题考查了在数轴上表示有理数，结合题意将各数表示在数轴上，再进行判断，即可解题． 【规范解答】解：如图所示，将下面各数在数轴上表示出来， 由图知，不在与2之间的数是， 故选：B． 3．（25-26七年级上·河南新乡·期中）下列各组数中，互为相反数的是（   ） A．与 B． 与 C．与 D．与 【答案】B 【思路点拨】本题考查了多重符号的化简，相反数的定义等知识﹒互为相反数是指两个数的和为零；先对各项的数进行化简，通过计算各选项的值，判断是否满足相反数的定义﹒ 【规范解答】A、与，，故不互为相反数，不符合题意； B、，，且，故互为相反数，符合题意； C、，，且，故不互为相反数，不符合题意； D、与，，故不互为相反数，不符合题意； 故选：B﹒ 4．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了有理数的大小比较法则“正数大于0、负数小于0、正数大于负数、负数绝对值大的反而小”，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．根据有理数的大小比较法则即可得． 【规范解答】解：∵，，且， ∴， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·期中）已知有理数：，，，0，2，． (1)在如图所示的数轴上画出表示这6个数的点； (2)把这6个数用“ ”连接起来． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键． （1）先化简绝对值，然后在数轴上表示可进行求解； （2）根据有理数的大小比较可进行求解． 【规范解答】（1）解：，如图： ； （2）解：由数轴知： ． 培优拔高 6．（25-26七年级上·河南新乡·期中）在数轴上，如果点A、B表示的有理数分别为，，那么A、B两点之间的距离为。例如，，它表示数轴上，表示有理数，的两点之间的距离．则当取得最小值时，的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查数轴上两点距离公式的几何意义，利用绝对值的几何意义可简化计算． 表示到的距离，表示到2的距离；当在和2之间时，距离之和最小，为固定值3． 【规范解答】解：由于，表示到的距离， 则表示到2的距离， 所以表示到和到2的距离之和。 当在和2之间时，距离之和最小，即为与2之间的距离， ∴的取值范围是． 故选：B． 7．（24-25七年级上·山东枣庄·阶段练习）下列说法，正确的个数为（    ） 不一定是负数；若，则；一个有理数不是正数就是负数； 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了数轴表示数、绝对值的意义，有理数分类，根据数轴表示数、绝对值的意义，有理数分类逐一破除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解： 不一定是负数，原说法正确，符合题意； 若，则或，原说法错误，不符合题意； 一个有理数不是正数就是负数或零，原说法错误，不符合题意；； 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，原说法正确，符合题意； 综上可知，正确，共个， 故选：． 8．（24-25七年级上·广西南宁·期中）数轴上的点表示，则到点距离为5个单位长度的点所表示的数是 ． 【答案】3或 【思路点拨】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键是考虑所求点在已知点的左右两侧两种情况． 分所求点在点右侧和左侧两种情况，根据数轴上两点间的距离公式计算． 【规范解答】解：设到点距离为5个单位长度的点表示的数为， 根据数轴上两点间的距离公式，即， 当时，， 当时，， 所以到点距离为5个单位长度的点所表示的数是3或． 9．（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）某数的绝对值小于2，在数轴上，这个数表示的点到所表示的点的距离是，则这个数是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了绝对值的概念及数轴上两点间距离的计算，解题的关键是根据距离公式列出绝对值方程，再结合绝对值的限制条件筛选出符合要求的解． 设这个数为；根据数轴上两点间距离公式，可得，即；解此绝对值方程得到两个可能的解；再根据“某数的绝对值小于2”即，排除不符合条件的解，得到最终答案． 【规范解答】解：设这个数为， ∵这个数表示的点到所表示的点的距离是， ∴由数轴上两点间距离公式，得，即， 当时，； 当时，． 又∵这个数的绝对值小于，即， 而，， ∴． 故答案为：． 10．（25-26七年级上·河南洛阳·阶段练习）【背景知识】我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【问题情境】例如，有理数和在数轴上对应的两点之间的距离是，而的几何意义是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离；因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． 【综合运用】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)当取最小值时，其最小值是______． (4)小明同学在解方程时，步骤如下： 由方程右边的值为可知，满足方程的对应点在的右边或的左边． 若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以看出； 同理，若x的对应点在的左边，可得； 故原方程的解是或． 参考小明的解答过程，回答以下问题： ①求方程的解（须写出必要的求解过程）； ②若数轴上存在有理数x，使得方程成立，则x的值可能为______． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【思路点拨】（）直接根据数轴上两点之间的距离，代入数值运用绝对值即可求任意两点间的距离； （）对于直接根据绝对值的性质进行求解即可； （）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况分类讨论即可； （）①设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，再分三种情况分类讨论即可，②分四种情况分类讨论即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴或， 故答案为：或； （3）设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 如图所示，当在之间(包含)时，； 当在点左侧时； 当在点右侧时； ∴的最小值为； 故答案为：； （4）①设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 如图，，当在之间(包含)时，， ∴点应在点左侧或点右侧； 当在点左侧时如图，， ∴， ∴； 同理，当在点右侧时， ∴， ∴； 综上所述，当时，或； ②当时， |∵， ∴， 解得符合题意； 当时 ∵， ∴， 解得不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得符合题意． ∴综上所述，当，或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $