专题1.2 二次函数的图象和性质（一）（3大考点+8大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

专题1.2 二次函数的图象和性质（一） 教学目标 1. 会画二次函数y=ax^2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 y=ax²的图象和性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于轴对称，顶点是坐标原点.当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点. 【即学即练1】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，可得的取值范围，结合选项进行分析，即可得的可能取值． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， 只有选项A符合， 故选：A． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此可根据“当时，开口向上，当时，开口向下，越大，开口也就越小”进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：； 故答案为． 知识点02 y=a（x-h）²的图象和性质 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，0） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 【即学即练2】 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，二次函数图象的性质， 先根据一次函数图象的性质可知，可知抛物线的开口向下，再根据二次函数图象的性质可知其对称轴是，可得答案 【详解】解：∵一次函数中，y随着x的增大而减小， ∴， ∴抛物线的开口向下. ∵二次函数的对称轴是， ∴B符合题意. 故选：B 2．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．，时，对称轴为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，可知对称轴为，进而可得的值． 【详解】解：∵二次函数，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴抛物线的对称轴为直线， 故， 故答案是：3． 知识点03 y=a（x-h）²+k的图象和性质 二次函数（）的图象的顶点坐标是 （m，k） ，对称轴是直线.图象的开口方向：当时，开口向上；当时，抛物线开口向下. 【即学即练3】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：C． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质得出该函数图象开口向下，当时，有最大值4，再结合当时，，当时，，即可以得到当时的取值范围． 【详解】解：二次函数， 该函数图象开口向下，对称轴为直线 当时，有最大值，且为， 当时，，当时，， ∵， 的取值范围为， 故答案为：． 题型01 二次函数y=ax²的图象 【典例1】（25-26九年级上·山西·阶段练习）二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数图象与系数之间的关系是解决本题的关键． 根据二次函数图象与系数的关系进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向下， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解决问题的关键是采用取特殊点的方法，比较字母系数的大小； 【详解】解：直线与四个二次函数的图象的交点分别为； 由图像可知：； 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由的值决定，越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由的值决定是解题的关键．由图象可知，抛物线均开口向上，最大，最小，根据越大，开口越小可得． 【详解】解：由图象得，抛物线均开口向上， 越大，开口越小， ． 故答案为： ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为 ． 【答案】144 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据函数表达式求出点的坐标，即可得解． 【详解】解：当时，， 则最低点， 那么最低点到最高点O的垂直高度为144， 故答案为：144． 题型02 二次函数y=ax²的性质 【典例2】（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于函数的图象，下列说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质逐一分析即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象是抛物线，故正确； ∵， ∴抛物线开口向上，故错误； 的对称轴为轴，故正确； 的顶点在原点，故正确； 综上，正确的有，共个， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了待定系数法二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴，进而利用二次函数增减性得出答案是解题关键．先求得函数的对称轴为y轴，再判断，离对称轴距离，从而判断出，的大小关系． 【详解】解：函数的对称轴为y轴， ，在对称轴两侧， 抛物线开口向下，且， ， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）若二次函数的图像经过点，，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键掌握二次函数图象的对称性和增减性．先求出二次函数的对称轴，再根据函数的开口方向和增减性，即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数， ∴对称轴为直线，开口向上， ∴距离对称轴越远，函数值越大， ∵，，， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 【答案】(1) (2)当时，该函数图象的开口向下 (3)当时，最小值为 【分析】该题主要考查了二次函数的定义及其性质的应用问题． （1）根据二次函数的定义求出m的值即可解决问题． （2）运用当二次项系数小于0时，抛物线开口向下； （3）运用当二次项系数大于0时，抛物线开口向上，图象有最低点，函数有最小值． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴，， 解得：； （2）解：∵函数图象的开口向下， ， ， ∴当时，该函数图象的开口向下； （3）解：∵当时，抛物线有最低点，函数有最小值， ，即 ∵抛物线顶点坐标为， ∴该函数最小值为． 题型03 二次函数的y=ax²+k的图象 【典例3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的图象与y轴的交点坐标，熟练掌握求二次函数的图象与y轴的交点坐标是解题的关键．根据题意可得抛物线与y轴的交点在x轴上方，即交点的纵坐标． 【详解】解：图中抛物线与y轴的交点在x轴上方， ． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）抛物线的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线的图象，解题的关键是理解二次函数各项系数代表的意义和性质． 先根据二次项系数判断开口方向，再根据顶点坐标进行判断即可求解． 【详解】解：∵二次项系数， ∴开口向上， 又∵抛物线的顶点坐标公式为， ∴的顶点坐标为， ∴C项的图象符合题意，故正确， 故选：C． 【变式2】（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的判断，掌握其性质是解题的关键．根据，，得出，再根据二次函数图象与系数关系即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴的图象开口向上，与轴的交点在与之间， 观察四个选项，只有B项的图象符合条件． 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 【答案】(1)3，0，，0，3 (2)作图见解析 【分析】此题考查了列表法画二次函数图象，求函数值，正确掌握画函数图象的步骤：列表，描点，连线是解题的关键． （1）分别将值代入函数解析式求解即可； （2）描点，连线即可画出图象． 【详解】（1）解：当； 当； 当； 当； 当； （2）解：图象如图： 题型04 二次函数的y=ax²+k的性质 【典例4】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．向上、y轴、 B．向下、y轴、 C．向上、y轴、 D．向下、直线、 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象性质．根据型二次函数的图象性质即可求解． 【详解】解：对于抛物线， ∵， ∴其开口向下； ∵， ∴对称轴为y轴； 当时，，故顶点坐标为； 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·四川·开学考试）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式确定顶点坐标，解答即可． 本题考查了抛物线的顶点坐标计算，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）若抛物线（为常数）的开口向上，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟记二次函数图象开口向上对应二次项系数大于0是解决问题的关键．根据二次函数的图象与性质，由题意列不等式直接求解即可得到答案． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，解得． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）函数，当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先分别求出、和时，的值，再求出当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则当时，函数的值最小，由此即可得． 【详解】解：将代入函数得：， 将代入函数得：， 将代入函数得：， ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴在内，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴当时，函数的值最小，最小值为， 故答案为：． 题型05 二次函数y=a（x-h）²的图象 【典例5】（25-26九年级上·山东·阶段练习）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，关键是利用顶点式快速确定顶点坐标和开口方向，再通过这两个核心要素筛选选项．熟练掌握二次函数顶点式的结构是解题的关键． 【详解】解：二次函数的顶点式为，其中顶点坐标为， 二次函数的顶点坐标为， ， 二次函数图像开口向下，   结合顶点坐标和开口向下的特征，只有选项B的图象满足． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图像和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．依据二次函数顶点式的性质，从开口方向和顶点坐标两个角度分析逐项判断即可 ． 【详解】解：函数， ， 抛物线开口向下， 选项A、B不符合题意， 抛物线的顶点坐标为（即顶点在x轴上，且横坐标为），选项C、D的抛物线开口向下，而选项C的抛物线顶点在x的负半轴上；选项D的抛物线顶点在x轴正半轴， 符合条件的是选项C， 故答案为：C． 【变式2】（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查抛物线上点的坐标特征，掌握抛物线上的点的坐标满足其解析式是解题关键．将，，分别代入，再比较即可． 【详解】解：把，，分别代入， 得：，，． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据二次函数的性质解答即可； （2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为， ∴点， 当时，， ∴点； （2）设点的坐标为， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点为点关于对称轴对称的点，点， ∴点， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵点在抛物线上，将代入抛物线得， ， 解得：， ∵在第一象限内， ∴， ∴点的坐标为． 题型06 二次函数y=a（x-h）²的性质 【典例6】（25-26九年级上·广西·阶段练习）顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的图像和性质． 根据形状相同，开口方向以及顶点坐标即可得出解析式． 【详解】解：根据形状相同，所以两个函数的相等， 根据开口向上，得出， 又∵顶点为， ∴解析式为， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合开口向上，对称轴为直线，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，又因为抛物线上有三个点，，，且，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上，对称轴为直线，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线上有三个点，，， 则 ∵， ∴ 故选：B 【变式2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数中，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，该二次函数的对称轴为直线，开口向上，则当时，函数有最小值为，又，故当时，函数有最大值为，从而得出的取值范围，熟练运用二次函数的性质求解函数值的范围是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，该二次函数的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，函数有最小值为， ∵， ∴当时，函数有最大值为， ∴当时，的取值范围是， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数定点式，对称轴为直线． 根据题意可得二次函数的对称轴为直线，进而可得，从而可得函数解析式，再把代入函数解析式可得y��的值． 【详解】解：由二次函数的性质可知，二次函数的图象的对称轴为直线． 根据题意可知，，解得， 即二次函数的解析式为， ∴当时，． 故答案为：． 题型07 二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典例7】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向、顶点所在象限进行判断即可． 【详解】解：由得，该二次函数图象开口向下，对称轴为直线，在y轴的左侧，顶点坐标为，位于第二象限， 当时，，即函数图象过， 故选项D符合题意； 选项A的顶点在第三象限，不符合题意； 选项B的对称轴在y轴右侧，不符合题意； 选项C中图象满足在y轴的左侧，顶点位于第二象限，但图象不经过原点，不符合题意， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·山西·阶段练习）如图所示的是二次函数的图象，若是该函数图象上的两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得二次函数的对称轴是，则，代入和求解即可． 【详解】解：根据图象可得二次函数的对称轴是， 则， 令，则， 令，则，解得：或， ∴， 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意，可以得到，设点C的坐标为，则点D的坐标为，得到h的值，然后将点C的坐标代入抛物线的解析式，即可得到k的值，本题得以解决． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且， ， ∴设点C的坐标为， 则点D的坐标为， ， ∴抛物线为， 把点代入，得， 解得：． 故答案为：5． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握相关性质内容是解题的关键． （1）求出当时，y的值，即可得到答案； （2）根据函数的开口方向和对称轴进行作答即可； （3）根据函数的开口方向和顶点坐标进行作答即可． 【详解】（1）解：∵当时，， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． （2）解：∵二次函数中的， ∴二次函数的开口方向向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x的值增大而减小， 故答案为：． （3）解：∵二次函数中的，顶点坐标为， ∴二次函数的开口方向向下，最大值为5， 当时，， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 题型08 二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典例8】（25-26九年级上·山东·阶段练习）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键 ． 根据二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴两侧的增减性以及与y轴的交点坐标判断选项即可 ． 【详解】解：二次函数为，其中，因此开口向下，选项A错误； 二次函数为，顶点坐标为，选项B错误； 开口向下时，对称轴直线的右侧，即时，函数值随增大而减小，选项C正确； 令，得，图象与轴的交点坐标为，选项D错误． 故选：C ． 【变式1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质．先根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线，然后结合二次函数的性质和A点、B点和C点离对称轴的远近进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以到直线的距离为5，到直线的距离为1，到直线的距离为2， 所以． 故选：C． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）将二次函数化为的形式，则 ；此抛物线的顶点坐标是 ；当 时，y有最 值 ． 【答案】 1 小 2 【分析】本题考查了配方法、一元二次函数的性质．利用配方法将二次函数配成顶点式，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：， 此抛物线的顶点坐标为， 当时，y有最小值2， 故答案为：；；1，小，2． 【变式3】（25-26九年级上·江西·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点关于对称轴的对称点为，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴该抛物线的对称轴为直线； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 【答案】D 【分析】本题考查了对称点的判定，对称轴的计算，熟练掌握对称点的判定和对称轴的计算是解题的关键．根据纵坐标相等的两个点是对称点，对称点的横坐标和的一半是对称轴解答即可． 【详解】解：根据题意，得是对称点， 抛物线的对称轴为直线， 故选：． 2．（25-26九年级上·广东·期中）对于的图象，下列叙述正确的是（  ） A．当时，随的增大而增大 B．顶点坐标 C．当时，随的增大而减小 D．对称轴为 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据，得二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线，再结合各个选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵， ∴二次函数的开口向上，顶点坐标，对称轴是直线， A、当时，随的增大而增大，此选项符合题意； B、顶点坐标，此选项不符合题意； C、当时，随的增大而增大，此选项不符合题意； D、对称轴是直线，此选项不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴越远，函数值越大，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数，二次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．由二次函数图象可得到，由此可判断反比例函数和一次函数的图象所过象限． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， 由二次函数图象知， ∴， 令得， 图象与轴交于， 由二次函数图象知抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴反比例函数过一、三象限，一次函数过一、二、四象限． 故选：B． 5．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最小值 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．先算对称轴和判断开口方向，再结合自 变量范围分析函数增减性，最后算边界值的函数值，从而选出正确选项． 【详解】解：∵ ∴这个二次函数的开口向上，对称轴 ∵自变量满足， ∴对称轴在这个取值范围的右边， ∵抛物线开口向上，且自变量范围在对称轴左侧， ∴随的增大而减小， 当时，有最小值； 当时，有最大值． 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，y的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 由图象得，二次函数的图象经过点，对称轴为，根据二次函数的对称性得到图象也经过点，据此即可解答． 【详解】解：由图象得，二次函数的图象经过点，对称轴为， ∴二次函数的图象也经过点， ∴当时，y的值为2． 故答案为：2． 7．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）用配方法把二次函数化成的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，直接利用配方法整理即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数在的范围内有最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出二次函数图像的对称轴为直线，对称轴在的范围内，利用二次函数的增减性求得最小值即可． 【详解】解：， 则二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， 在时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 在时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ， 故在范围内最小值为． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像和性质． 先根据函数解析式得出开口方向及对称轴，进而得出图像的增减性，求出关于对称轴的对称点，再比较各点的横坐标即可． 【详解】解：的对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随x的增大而增大，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小， 关于对称轴的对称点为，， ， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质．由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解． 【详解】解：∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 【答案】(1)①；②2；③ (2)2或． 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质并灵活应用是解题的关键． （1）根据函数表达式求最值，判断二次函数图象的增减区间，即可求解； （2）分析抛物线对称轴的不同位置判断最值并求解即可； 【详解】（1）解：当时，则二次函数 ①二次函数图像的顶点坐标为：； ②该抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，当时，函数取得最大值为2； ∴当时，该二次函数的最大值为2； ③当时，该二次函数的最大值为． 故答案为：①；②2；③ （2）二次函数的对称轴为：，开口向下， 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得：； 综上，常数m的值为或． 故答案为：或． 12．（24-25九年级上·广西·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 【答案】（1）①③；（2）直线；（3）时，最小值为；（4） 【分析】本题考查二次函数的图象及性质， （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）①的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ②的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； ③的对称轴为直线，开口向上，当时，值随的增大而增大； 故答案为：①③． （2）函数 的对称轴是直线； 故答案为：直线． （3）当时，函数 有最小值 （4）∵，，． ∴ ∴当时，的最小值为． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 【答案】(1)，； (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （3）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； （3）解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或． 14．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了配方法确定二次函数的顶点式，画出二次函数的图象以及最值的问题． （1）用配方法配方成顶点式即可； （2）写出顶点坐标，计算其与轴的交点和与轴的交点，列表、描点，画出图象； （3）由图象判断时抛物线的增减性，进而可求的取值范围． 【详解】（1）解：， 即； （2）解：二次函数图象的顶点坐标为， 令， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为，， 当时，， 抛物线与y轴的交点坐标为， 点关于对称轴的对称点为， 抛物线经过点，，，，， 图象如图所示： （3）解：由图象可得，当时，随x的增大而减小， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值； (2)点在此函数图象上，求的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)对称轴；顶点坐标． 【分析】本题考查了二次函数的定义、性质及函数图象上点的坐标的特征，关键是熟练应用知识点解决问题． （1）由二次函数的定义可得最高次项次数为且系数不为，进而求得的值； （2）将点的坐标代入图象解析式，即可求出的值； （3）利用对称轴公式及顶点坐标公式即可求得． 【详解】（1）解：由题意得， 解得． （2）解：∵当时，函数为， ∵点在函数上， ∴． （3）解：∵， ∴对称轴为， ∵ ， ∴顶点坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 二次函数的图象和性质（一） 教学目标 1. 会画二次函数y=ax^2+bx+c的图象，掌握其顶点坐标、对称轴等特征。2. 能结合图象分析a、b、c对图象的影响，理解增减性、最值等性质。3. 体会数形结合思想，获得用图象研究函数的经验，提升直观想象能力。 教学重难点 1.重点 （1）掌握二次函数y=ax^2+bx+c的图象特征，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等核心要素。 （2）理解并运用二次函数的性质，如增减性、最值，解决简单问题。 2.难点 （1） 理解二次函数图象的对称性，以及对称轴位置与a、b的“左同右异”关系 （2）灵活运用配方法或公式法求顶点坐标，并将其与最值、增减性等性质关联应用。 知识点01 y=ax²的图象和性质 二次函数（）的图象是一条抛物线，它关于 对称，顶点是 .当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 ；当时，抛物线开口 ，顶点是抛物线的 . 【即学即练1】 1．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）二次函数的图象如下图所示，则的值可以是（    ） A．1 B．0 C． D． 2．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）已知二次函数，，，的图象如图所示，则a，b，c，d 的大小关系为 （用“>”连接）． 知识点02 y=a（x-h）²的图象和性质 二次函数（）的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .图象的开口方向：当时，开口 ；当时，抛物线开口 . 【即学即练2】 1．（24-25九年级下·全国·随堂练习）在一次函数中，y随x的增大而减小，则二次函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·天津武清·阶段练习）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，则h的值为 ． 知识点03 y=a（x-h）²+k的图象和性质 二次函数（）的图象的顶点坐标是 ，对称轴是 .图象的开口方向：当时，开口 ；当时，抛物线开口 . 【即学即练3】 1．（25-26九年级上·福建厦门·阶段练习）抛物线的顶点是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）对于二次函数，当时，y的取值范围为 ． 题型01 二次函数y=ax²的图象 【典例1】（25-26九年级上·山西·阶段练习）二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①；②；③；④．则a、b、c、d的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段练习）在同一个平面直角坐标系中，二次函数，，的图象如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”） 【变式3】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，若某抛物线形沙丘满足的函数表达式为，则最低点到最高点O的垂直高度为 ． 题型02 二次函数y=ax²的性质 【典例2】（25-26九年级上·广东·阶段练习）关于函数的图象，下列说法：图象是一条抛物线；开口向下；对称轴是轴；顶点坐标是．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点，都在函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·阶段练习）若二次函数的图像经过点，，则 （填“”，“”或“”）． 【变式3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，该函数图象的开口向下？ (3)当m为何值时，该函数有最小值，最小值是多少？ 题型03 二次函数的y=ax²+k的图象 【典例3】（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）抛物线的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025·广东江门·三模）已知，，则y关于x的二次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图． x … 0 2 4 … … … (1)补充表格中的y值； (2)在坐标系中画出图象． 题型04 二次函数的y=ax²+k的性质 【典例4】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ） A．向上、y轴、 B．向下、y轴、 C．向上、y轴、 D．向下、直线、 【变式1】（25-26九年级上·四川·开学考试）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·陕西·阶段练习）若抛物线（为常数）的开口向上，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·山东·阶段练习）函数，当时，函数的最小值是 ． 题型05 二次函数y=a（x-h）²的图象 【典例5】（25-26九年级上·山东·阶段练习）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）下列图像是二次函数的图像的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·云南·期中）若，，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接） 【变式3】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点． (1)求，两点的坐标； (2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标． 题型06 二次函数y=a（x-h）²的性质 【典例6】（25-26九年级上·广西·阶段练习）顶点为，开口向上，形状与函数的图像相同的抛物线对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·广东·阶段练习）若抛物线上有三个点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）已知二次函数中，若，则的取值范围是 ． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．当时，y的值为 ． 题型07 二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典例7】（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山西·阶段练习）如图所示的是二次函数的图象，若是该函数图象上的两点，则的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（25-26九年级上·河北·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为．若抛物线(h，k为常数)与线段交于C，D两点，且，则k的值为 ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示．    (1)该抛物线与y轴的交点坐标是________； (2)当x________时，y的值随x的值增大而减小； (3)当时，求y的取值范围． 题型08 二次函数y=a（x-h）²+k的图象 【典例8】（25-26九年级上·山东·阶段练习）关于的二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【变式1】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知抛物线为常数，是抛物线上三点，则，，由小到大依序排列为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏·阶段练习）将二次函数化为的形式，则 ；此抛物线的顶点坐标是 ；当 时，y有最 值 ． 【变式3】（25-26九年级上·江西·阶段练习）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴． (2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小． 一、单选题 1．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数的部分对应值如下表：二次函数图象的对称轴是（    ） x … 0 1 2 3 … y … 5 0 0 … A．直线 B．y轴 C．直线 D．直线 2．（25-26九年级上·广东·期中）对于的图象，下列叙述正确的是（  ） A．当时，随的增大而增大 B．顶点坐标 C．当时，随的增大而减小 D．对称轴为 3．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）在函数的图象上有三点，，，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）已知二次函数中，自变量满足，则下列说法正确的是（   ） A．当时，有最大值 B．当时，有最小值 C．当时，有最大值 D．当时，有最小值 二、填空题 6．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）已知二次函数的图象如图所示，当时，y的值为 ． 7．（25-26九年级上·新疆·阶段练习）用配方法把二次函数化成的形式 ． 8．（25-26九年级上·广东·阶段练习）二次函数在的范围内有最小值 ． 9．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 10．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知二次函数（是常数） (1)若， ①该函数的顶点坐标为___________； ②当时，该函数的最大值___________； ③当时，该函数的最大值为___________； (2)当时，该函数的最大值为4，则常数的值为___________． 12．（24-25九年级上·广西·期中）学习完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究过程． ①，②，③． 【任务一】研究增减性 （1）当时， 随的增大而增大的是 ；（填序号） 【任务二】研究对称性 （2）函数 的对称轴是 ； 【任务三】研究最值 （3）当取何值时，函数 有最小值，并写出最小值； 【任务四】研究复杂问题的最值 （4） 若 ，求的最小值． 13．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． (1)点C坐标为_________，顶点坐标为_________； (2)当x满足时，y的取值范围是_________； (3)当y满足时，x的取值范围是_________． 14．（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法化为的形式； (2)请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象； (3)根据图象，求当时，的取值范围为_____． 15．（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知函数（为常数）是二次函数． (1)求的值； (2)点在此函数图象上，求的值； (3)写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $