专题1.1 二次函数（2大考点+7大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学湘教版九年级下册

专题1.1 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是 ，）的函数叫做 ，称为 ，为 ，为 . 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是 ． 【即学即练1】 1．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段练习）下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数，则 ， ， ． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例2】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）若函数（是常数）是二次函数，则（  ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知是关于的二次函数，则 ． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 题型03 二次函数的一般形式 【典例3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将二次函数整理为一般式得 【变式3】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 题型04 二次函数的各项系数 【典例4】（25-26九年级上·云南·阶段练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【变式2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）把变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】（25-26九年级上·黑龙江·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例7】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【变式3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有 ． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 8．（25-26九年级上·天津·阶段练习）二次函数的二次项系数与常数项的和是 ． 9．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 10．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）抛物线的图象经过原点，求m的值． 12．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 13．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 14．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 15．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 二次函数 教学目标 1. 理解二次函数的意义与概念，掌握其一般形式 2. 会表示简单变量间的二次函数关系，能确定自变量取值范围 3. 经历建立二次函数关系的过程，体会数学与生活的联系，培养合作意识。 教学重难点 1.重点 理解二次函数的概念，体会其在实际问题中的意义。 2.难点 能根据实际问题情境构建二次函数关系，重视二次函数解析式中a≠0这一条件。 知识点01 二次函数的概念 二次函数的概念 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 【即学即练1】 1．（25-26九年级上·湖北荆门·阶段练习）下列函数属于关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（、、是常数，）是二次函数．直接利用二次函数的定义分别分析得出答案． 【详解】解：A、中是分式，不是二次函数，选项错误； B、，是一次函数，不是二次函数，选项错误； C、是二次函数，选项正确； D、当时，不是二次函数，选项错误； 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次函数的定义可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ， 故答案为：． 知识点02 二次函数的一般形式 一般式：（，，为常数，）； 【即学即练2】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　） A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键． 根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，， 答案：A． 2．（25-26九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义是解题关键．形如：这样的函数是二次函数，其中二次项系数为 一次项系数为 常数项为 根据定义逐一作答即可． 【详解】解：，则， 故答案为：，，． 题型01 二次函数的识别 【典例1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数的定义，判断各选项是否为整式且最高次数为2即可． 【详解】解：A、当时，不是二次函数，故本选项不符合题意； B、不是二次函数，故本选项不符合题意； C、是二次函数，故本选项符合题意； D、不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：C 【变式1】（25-26八年级上·安徽·阶段练习）下列函数中，一定是关于的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是二次函数，故不符合题意； B、是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、当时，函数才是二次函数，故不符合题意； 故选C． 【变式2】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）下列函数是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、，只有当时才是二次函数，故不符合题意； B、，函数等号右边不是整式，不是二次函数，故不符合题意； C、，该函数解析式化简后没有二次项，不是二次函数，故不符合题意； D、，是二次函数，故符合题意， 故选：D． 【变式3】（25-26九年级上·宁夏吴忠·阶段练习）以为自变量的函数：①；②；③；④，是二次函数的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键． 根据二次函数的定义进行判断． 【详解】解：①，符合二次函数的定义，故①是二次函数； ②，符合二次函数的定义，故②是二次函数；   ③，符合二次函数的定义，故③是二次函数；   ④，不符合二次函数的定义，故④不是二次函数．   所以，是二次函数的有①②③，   故答案为①②③．   题型02 根据二次函数的定义求参数 【典例2】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）若函数（是常数）是二次函数，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的概念． 形如的函数为二次函数，根据概念列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：B． 【变式1】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）如果函数是二次函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数定义，根据二次函数的定义得到且，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·山东·阶段练习）已知是关于的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，正确求出的值．根据二次函数的定义，得出即可求出的值． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴ 解得， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（m是常数）． (1)若该函数是一次函数，求的值； (2)若该函数是二次函数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义： （1）一般地，形如的函数叫做一次函数，据此求解即可； （2）一般地，形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵是一次函数， 且， 解得． （2）解：函数（m是常数）是二次函数， ，且， 解得：，且， ． 题型03 二次函数的一般形式 【典例3】（24-25九年级上·吉林·阶段练习）将二次函数化为一般形式后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的一般式，根据整式乘法展开后合并同类项即可． 【详解】， 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）把二次函数化为一般形式，一次项系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的一般形式，把化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：； 其中二次项系数是、一次项系数是、常数项是4． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）将二次函数整理为一般式得 【答案】 【分析】本题考查了将二次函数的顶点式化为一般式，注意打开括号变号即可； 【详解】解：， 故答案为： 【变式3】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将下列二次函数化为一般形式，并分别指出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)，二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1 (2)，二次项系数为，一次项系数为1，常数项为 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，即可得到答案． （1）将化为，即可求解； （2）将化为，即可求解. 【详解】（1）解：， 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为1； （2）， 二次项系数为，一次项系数为1，常数项为. 题型04 二次函数的各项系数 【典例4】（25-26九年级上·云南·阶段练习）二次函数的一次项系数是（   ） A．1 B．5 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答． 【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级下·全国·随堂练习）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【变式2】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）把变成一般式，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，熟练运用多项式乘法将表达式展开并整理成一般形式是解题的关键． 根据多项式的乘法法则化简为一般式，再根据二次函数的一般式求出相应系数即可． 【详解】 所以二次项系数：， 一次项系数：， 常数项：． 故答案为：；；． 【变式3】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）二次函数中，二次项系数是 ，一次项系数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了二次函数的定义，对于二次函数（a、b，c是常数且），其中a，b，c分别叫二次项系数、一次项系数、常数项． 根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， ∴该函数解析式的二次项系数是3，一次项系数是，常数项是5． 故答案是：3，． 题型05 二次函数图象上点的坐标特征 【典例5】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知二次函数，当时，y的值为（   ） A． B． C．3 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 【变式1】（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）已知是关于x的二次函数，其图象经过，则a的值为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，待定系数法求二次函数解析式，根据定义得出，然后将点代入解析式，即可求解． 【详解】解：依题意，，， 解得：， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·安徽·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）已知二次函数，当 时，图象经过原点． 【答案】1 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟悉待定系数法． 根据函数过原点，代入求解即可． 【详解】由题知函数过原点， ，解得． 故答案为：1． 题型06 建立二次函数模型，列函数表达式（实际应用） 【典例6】（25-26九年级上·黑龙江·开学考试）参加会议的人两两彼此握手，有人统计一共握了次手，那么与到会人数之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．根据参加会议的人两两彼此握手表示即可． 【详解】∵参加会议的人两两彼此握手， ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式2】（25-26九年级上·全国·周测）中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里．若2024年运营里程约为y万公里，运营里程的年平均增长率为x，则y关于x的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，解题的关键是要读懂题目的意思，找到等量关系．先用x表示出2023年我国高铁的运营总里程，再表示出2024年我国高铁的运营总里程，然后根据已知条件列函数解析式即可． 【详解】解：2023年我国高铁的运营总里程：， 2024年我国高铁的运营总里程：， 根据题意，可列函数解析式为：．故选． 【变式3】（25-26九年级上·青海西宁·阶段练习）西宁某商城计划销售大号宁萌公仔，每个进货价为50元．调查发现，当销售价为120元时，平均每天能售出80个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．设每个宁萌公仔降价x元时，每天获得的利润为y元，则y关于x的函数关系式为 (化为一般式) 【答案】 【分析】本题考查根据题意列二次函数解析式． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式，再化为一般式即可． 【详解】由题意，可列y关于x的函数关系式为：． 故答案为：． 题型07 建立二次函数模型，列函数表达式（几何图形） 【典例7】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）用一段米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米，根据矩形的面积列函数关系式即可． 【详解】解：由题意，矩形的周长为米，矩形的一边长为x米，则另一边长为米， ． 故选：D． 【变式1】（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，点分别在正方形边，上，且；设线段的长为，四边形的面积为，则与的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定， 先证明，可说明四边形是正方形，再根据勾股定理可得，则此题可解. 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形. ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形. ∵， ∴. 在中，， ∴， 即. 故选：D. 【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如果圆的半径是，当半径增加，圆的面积增加，则关于的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，解决本题的关键是找到增加的圆的面积的等量关系，注意半径增加后圆的面积的求法．圆增加的面积=新圆的面积半径为1的圆的面积，把相关数值代入即可． 【详解】解：新圆的面积为， ∴． 故答案为． 【变式3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 一、单选题 1．（25-26九年级上·江苏·阶段练习）下列各式中，一定是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：A、当时，不是的二次函数，不符合题意； B、中含分式，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意； C、符合二次函数的一般式，所以是二次函数，符合题意； D、中有根号，不是整式函数，不满足二次函数的定义，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义、根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， 解得， 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）某集成电路公司主动适应市场需求，引进新设备新技术提升产能后，第一年生产晶圆1.5万片，计划第三年生产晶圆万片，设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 根据增长率的问题可直接进行求解． 【详解】设该公司第二、三年生产晶圆片数的年平均增长率为， 根据题意得，． 故选：A． 4．（24-25九年级上·四川·期末）关于x的二次函数的解析式是，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．3，， B．3，，1 C．，4，1 D．，4， 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的定义，一般地，形如（、b、c是常数，）的函数，叫作二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．根据二次函数的定义解答即可． 【详解】解：函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项分别是，4，． 故选：C． 5．（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 二、填空题 6．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）给出下列函数：①；②；③；④．其中是二次函数的有 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．根据二次函数的一般形式：形如（a，b，c为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：①不是二次函数； ②是一次函数，不是二次函数； ③不是二次函数； ④是二次函数； 综上，是二次函数的有④， 故答案为：． 7．（24-25九年级下·湖南湘西·开学考试）把变成一般式，它的常数项为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的一般形式，二次函数的一般形式为（为常数且）. 根据整式的乘法法则将右边展开，再合并同类项，即可将其化为一般形式，即可得到答案. 【详解】解：， 把变成一般式，它的常数项为， 故答案为：. 8．（25-26九年级上·天津·阶段练习）二次函数的二次项系数与常数项的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是理解二次函数的定义，正确求出二次项系数，一次项系数和常数项．根据二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，可得二次项系数是3，常数项是，再求和即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数与常数项分别为， 二次项系数与常数项的和是， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江·阶段练习）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如果函数是二次函数，那么k的值一定是 ． 【答案】0 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得； 故答案为：0． 三、解答题 11．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）抛物线的图象经过原点，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标特征把原点坐标代入解析式，再结合二次函数的定义，即可计算出的值，理解二次函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得：， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）指出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） （3） 【答案】见解析 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键．根据二次函数的定义，二次函数的解析式解答即可． 【详解】解：的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为； 的二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 填表如下： 函数解析式 二次项系数 一次项系数 常数项 （1） （2） 0 （3） 13．（25-26九年级上·河南·阶段练习）已知函数，m是常数． (1)若这个函数是一次函数，求m的值； (2)若这个函数是二次函数，求m的值． 【答案】(1)； (2)且 【分析】本题考查了一次函数以及二次函数的定义，当且时，这个函数是一次函数；当时，这个函数是二次函数，据此即可求解； 【详解】（1）解：当且时，这个函数是一次函数， 此时：； （2）当时，这个函数是二次函数， 此时：且 14．（25-26九年级上·山东德州·阶段练习）已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 【详解】（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 15．（24-25九年级下·全国·假期作业）已知正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 (1)分别写出与、与之间的函数表达式； (2)这两个函数中，哪一个是关于的二次函数？ 【答案】(1)， (2)是关于的二次函数 【分析】此题主要考查了正方体的表面积和体积公式以及二次函数的定义，正确记忆二次函数的定义是解题关键． （1）直接利用正方体的表面积和体积公式分别求出即可； （2）利用二次函数的定义得出答案． 【详解】（1）解：正方体的棱长为，它的表面积为，体积为 ，； （2）解：依题意，是关于的二次函数． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $