专题04 二次函数的实际应用问题三类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版九年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二次函数的实际应用问题三类综合题型 目录 典例详解 类型一、增长率、销售问题 类型二、拱桥、投球、喷水问题 类型三、图形及图形运动问题 压轴专练 理 典例详解 类型一、增长率、销售问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例1.(25-26九年级上江苏苏州阶段练习)国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为 2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系 (30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示： 电影票售价x(元/张) 50 60 售出电影票数量y(张 132 92 (I)请求出y与x之间的函数关系式： (②)设该影院每天的利润（利润=票房收入一运营成本）为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式： (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【变式1-1】(25-26九年级上·四川资阳阶段练习)某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两 次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同. (1)求每次降价的百分率； 1/12 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取 适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克.现该水果店要保证每天盈利 6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在(2)题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明 理由。 【变式1-2】(25-26九年级上·甘肃定西期中)2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A,B 两类特产.A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件.己知购买1件A类特产和1件B类特 产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元. (I)求A类特产和B类特产每件的售价。 (②)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件，市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件 (每件售价不低于进价).设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围. (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这两 类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最 大利润是多少元.（利润=售价-进价） 【变式1-3】(2025·贵州一模)某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第 x(1≤x≤48)天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x(天) 1≤x<30 30≤x≤48 售价（元） x+30 60 日销售量(kg) -2x+120 己知这种商品的进价为20元kg,设销售这种商品的日销售利润为y元. (I)求y与x的函数关系式： (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元(n<9)给希望工程，若每天扣除捐赠后的日 销售利润随时间x的增大而增大，求的取值范围. 2/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、拱桥、投球、喷水问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： (1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 (2)在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例2.(2025陕西·模拟预测)赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项月，2011年 被列入国家级非物质文化遗产.在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面 部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系xOy,桥拱上各 点到水面的竖直高度y(单位：m)与到点O的水平距离x(单位：m)近似满足二次函数关系.据测量， 水面两端点的距离0A=60m,主桥拱距离水面的最大高度为9m. ◆y/m 拱桥 龙舟、 3m 2m 水面 A x/m 图1 图2 (I)求主桥拱所在抛物线的函数表达式： (2)据测量，龙舟最高处距离水面2m,为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少3m,要 设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为9m,求最多可设计龙舟赛道的数量. 【变式2-1】(2025湖北一模)阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究. 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级(1)班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享， 对圆形喷水池喷射形状建立数学模型。 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以vms喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t (单位：s)之间的关系式为：h=vt-52,请你解决以下问题： 任务一：当v=30s时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在4s及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为20≤h≤25，求水流速 度的取值范围. 3/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆h/m 60 40 38 10 0 123456ts 图① 图② 【变式2-2】(2025·江西赣州一模)鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某 一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2)，足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位 于O,守门员位于点A,OA的延长线与球门线交于点B,且点A,B均在足球轨迹正下方，己知OB=28m, AB 8m h/m个 B s/m 图1 图2 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为15m/s、水平距离s(水平距离=水平速度×时间)与离地高度h 的鹰眼数据如下表.守门员的最大防守高度为 m.守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员 25 位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功. s/m … 9 12 15 h/m 4.2 4.8 5 (I)求h关于s的函数表达式. (②)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通 过计算说明理由， (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度， 【变式2-3】(25-26九年级上广东珠海期中)跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过 助滑道后在点A处起跳，经空中飞行后落在着陆坡BC上的点P处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的 一部分这里OA表示起跳点A到地面OB的距离，OC表示着陆坡BC的高度，OB表示着陆坡底端B到点O 的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面OB的竖直距离（单 位：m)与他在水平方向上移动的距离x(单位：m)近似满足函数关系y二)x+bx+c已知04=70m 0C=60m,落点P到0C的水平距离是30m,到地面OB的竖直高度是37.5m. 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求y与x的函数表达式： (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离x(m)与飞行时间t(s)具备一次函数 关系，当运动员在起跳点腾空时，t=0,x=0;当他在点P着陆时，飞行时间为5s. ①求x与t的函数表达式： ②当运动员与着陆坡BC在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值. 类型三、图形及图形运动问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相 似、最大（小面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等 坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决解这类问题的关键就是要 善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的. 例3.（2025全国一模)如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长)的矩形菜地，中间用篱笆分隔 为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： ()设垂直于墙的边长AC为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值： (3)(变式)若分隔篱笆长度EF为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化， 【变式3-1】(25-26九年级上·安徽合肥期中)如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗 的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口AB的垂直平分线对称，且碗底MN与碗口AB平 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行，C、D均在抛物线上，CM⊥MN,DN⊥MN,已知AB=I2cm,MN=4cm,CM=DN=三cm,以 MN所在直线为x轴，过点A且垂直于MV的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式 y=2x2+br+c(b、c为常数). 6 Ay/cm 5> 华 D 传 x/cm 图1 图2 (1)求点B的坐标； ②)若碗中装入一定量的水，水面EF∥AB,且EF与AB之间的距离为cm,求水面的宽度EF, 6 【变式3-2】(25-26九年级上福建南平.阶段练习)在矩形ABCD中，AB=10cm,BC=12cm,点P从点 A开始沿边AB向终点B以2cms的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以4cm/s的速 度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动时间为t秒， D (I)填空：BQ= cm,PB= cm(用含t的代数式表示)： (2)当t为何值时，PQ的长度等于10cm? (3)是否存在t的值，使△BP9的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由. 【变式3-3】(2024九年级下·广东，专题练习)综合运用 在Rt△ABC中，∠C=90°，D为边AC上一点，CD=√2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发， 在三角形的三边上沿C→B→A匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作正方形DPEF,设点P的运动时 间为s,正方形DPEF的面积为S,试探究S与t的关系 6/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 S 18 M D 6- 2 B 04 图1 图2 (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式. (②)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象.请根据 图象信息，求S关于t的函数表达式及线段AB的长 (3)若存在3个时刻，t2,专(1<t2<1)对应的正方形DPEF的面积均相等. ①求t+t,的值； ②当t=4t时，求正方形DPEF的面积. 压轴专练 一、单选题 1.(2025甘肃平凉中考真题)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置0M,喷头M向 外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m )与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大高度是() 4 y/m x面 4.3m B.2.75m C.2m D.1.75m 2.某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出.若每床每天收费提高5元，则有1张床 7/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 位不能租出：若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化 下去，则该旅店每天营业收入最多为() A.3125元 B.2120元 C.2950元 D.1280元 3.如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF,GH的总长为m,且隔断EF,GH分别与矩形 的两条邻边平行.设BC的长为m,矩形ABCD的面积为ym2,y关于x的函数图象如图②，则下列说法 正确的是() AGD D 4. E B H x m 图① 图② A.矩形ABCD的最大面积为8m B.当x=4时，矩形ABCD的面积最大 C.a的值为12 D.以上说法均错误 二、填空题 4.(24-25九年级下.甘肃张掖期中)如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物 线，一个桥拱在水面的跨度OA约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线 可以表示为y= 红20+k,则此时桥拱最高点P离水面的盒 米 水面 图1 图2 5.(24-25八年级下广西南宁，期末)某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空 气阻力，足球飞行的高度h(单位：m)与足球飞行的时间t(单位：s)之间具有二次函数关系，其部分 图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ◆h(m) 2.75 0 0.5 1.1 t(s) 6.用一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园. 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 方案一：如图①，围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AD是墙， 其余的三边AB,BC,CD用篱笆，其中AD≥AB; 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径EF是墙，其余用篱笆. 有下列结论： ①AB的长可以是13m; ②AB的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为160m2: ③矩形菜园ABCD的面积的最大值为162m; ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积. 其中正确的是 (写出所有正确结论的序号) 墙 墙 theeeeeeeeeee lleeeeeeeeeeeeeiiie A D E 菜园 菜园 B 图① 图② 三、解答题 7.(2025广东.中考真题)如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7km,主塔高0.27km,主缆可视为抛物 线，主缆垂度0.1785km,主缆最低处距离桥面0.0015km,桥面距离海平面约0.09km,请在示意图中建立 合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式， 1.7km 主塔 主塔 主缆 0.1785km 桥面 0.27km =0.0015km 0.09km 海平面 8.(24-25八年级下浙江杭州期中)某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元， 标价为每个20元： (1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同， 最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率： (2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天 就能多售出10个. ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个 应降价多少元？ 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 9.(24-25九年级下·黑龙江绥化期中)有一座抛物线形拱桥，在正常水位AB时，水面AB宽24m,拱顶距 离水面4m.以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系 B (1)求抛物线的解析式： (2)若水位上升3m就达到警戒线CD的位置，求这时水面CD的宽度. 10.(24-25八年级下·安徽安庆期末)某超市销售一批成本为20元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐， 经市场调查发现，该食品每天的销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间满足一次函数关系，其图 象如图所示 不千克) 130 110 0 2535x(元/千克) (1)写出y关于x的函数关系式： 销售利润为 元（用含有x代数式表示） (2)为尽可能让利于顾客，当该超市每天销售这种绿色健康食品获利2400元时，销售单价为多少元？ (3)请求出销售利润的最大值及此时销售单价 11.(24-25九年级下·湖北孝感期中)习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”.某校为 促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另 外三边用长为30m的篱笆围成.已知墙长为18m,设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为x(m), 其中6≤x<15,平行于墙的一边的长为ym,矩形劳动实践基地的面积为Sm). 18m tielleee11111111111122222 劳动实践基地 (1)请直接写出y与x,S与x的函数关系式： (2)当S=100m2时，求垂直于墙的一边长； 10/12 专题04 二次函数的实际应用问题三类综合题型 目录 典例详解 类型一、增长率、销售问题 类型二、拱桥、投球、喷水问题 类型三、图形及图形运动问题 压轴专练 类型一、增长率、销售问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例1．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）国庆期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且x是整数），部分数据如下表所示： 电影票售价x（元/张） 50 60 售出电影票数量y（张） 132 92 (1)请求出y与x之间的函数关系式； (2)设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)(，且是整数) (2)() (3)定价41元/张或42元/张时，每天获利最大，最大利润是4888元 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用． （1）根据表格数据，利用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据利润为票房收入减去运营成本，得到二次函数解析式； （3）通过二次函数的性质，在自变量取值范围内求最大利润． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 由表格数据，当时，；当时，， 得方程组： 解得： 所以与之间的函数关系式为 (，且是整数)； （2）解：由题意得， 所以与之间的函数关系式为 ()； （3）解：， ∵， ∴抛物线开口向下，有最大值，顶点横坐标， ∵，且是整数， ∴当或时，最大，， ∴最大利润为4888元． 答：该影院将电影票售价定为41元或42元时，每天获利最大，最大利润是4888元． 【变式1-1】（25-26九年级上·四川资阳·阶段练习）某水果店经销一种水果，原价为每千克50元，连续两次降价后为每千克32元，已知每次降价的百分率相同． (1)求每次降价的百分率； (2)若该水果店售卖的水果每千克盈利10元，每天可售出500千克，在进价不变的情况下，水果店决定采取适当的涨价措施，经市场调查发现，每千克涨价1元，日销售将减少20千克．现该水果店要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ (3)在（2）题中“现该水果店要保证每天盈利6000元”，这6000元是商家获得的最大利润吗？请判断并说明理由． 【答案】(1)每次降价的百分率为 (2)每千克应涨价元 (3)这6000元不是商家获得的最大利润，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （2）设每千克应涨价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解； （3）设商场每天的盈利为元，则，再结合二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为， 由题意可得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴每次降价的百分率为； （2）解：设每千克应涨价元， 由题意可得：， 整理可得：， 解得或， ∵为了尽快减少库存， ∴， ∴每千克应涨价元； （3）解：这6000元不是商家获得的最大利润，理由如下： 设商场每天的盈利为元， 由（2）可得：， ∵， ∴当时，取得最大值为， ∴这6000元不是商家获得的最大利润． 【变式1-2】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x 元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)A售价60元，B售价72元 (2) (3)；降价2元，最大利润1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、一次函数的应用以及二次函数的应用． 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． ∴． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 【变式1-3】（2025·贵州·一模）某商贸公司购进某种商品，经过市场调研，整理出这种商品在第天的售价与日销售量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元） 60 日销售量 已知这种商品的进价为20元/kg，设销售这种商品的日销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)第几天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？ (3)公司在销售的前28天中，每销售1kg这种商品就捐赠元（）给希望工程，若每天扣除捐赠后的日销售利润随时间的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第25天；2450元 (3) 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，解题的关键是根据不同取值范围确定函数关系式，再结合函数性质（二次函数的顶点、单调性，一次函数的单调性）求解最值和参数范围． （1）根据“日销售利润（售价－进价）日销售量”，分和两种情况，分别推导与的函数关系式； （2）分别分析两种函数关系式的最值：二次函数用顶点式求最大值，一次函数）根据增减性求最大值，再比较得出最终最大利润及对应天数； （3）先列出扣除捐赠后的利润函数，再根据二次函数的单调性（对称轴与取值范围的关系），确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时， 当时， ； （2）解：当时， ， 当时，， 当时， ∴随的增大而减小， 当时，， ∴在第25天的销售利润最大，最大日销售利润为2450元； （3）解：设每天扣除捐赠后的日销售利润为元， ∴对称轴为直线， ∵随的增大而增大，为整数， 解得， 类型二、拱桥、投球、喷水问题 利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是： （1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围 （2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值 例2．（2025·陕西·模拟预测）赛龙舟是中国端午节的主要习俗，也是民间传统水上体育娱乐项目，2011年被列入国家级非物质文化遗产．在某地筹备的龙舟比赛路线上，有一座拱桥（图1），图2是该桥露出水面部分的主桥拱的示意图，其形状可看作抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上各点到水面的竖直高度（单位：）与到点的水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．据测量，水面两端点的距离，主桥拱距离水面的最大高度为． (1)求主桥拱所在抛物线的函数表达式； (2)据测量，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．要设计通过拱桥的龙舟赛道方案，若每条龙舟赛道宽度为，求最多可设计龙舟赛道的数量． 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程等知识，读懂题意，准确求出二次函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）知，抛物线的表达式为，，解一元二次方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为（为常数，且）， 将点的坐标代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：由（1）知，抛物线的表达式为， 当时，， 解得或， 可设计赛道的宽度为， ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条． 【变式2-1】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务： 【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究． 【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型． 【项目任务】 如图①是一个圆形喷水池，其以喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：）与水流运动时间t（单位：）之间的关系式为：，请你解决以下问题： 任务一：当时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象； 任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在及以上，求v的最小值； 任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为，求水流速度的取值范围． 【答案】任务一：时间为，图象见解析；任务二：；任务三：水流速度的取值范围为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据二次函数的性质即可求解，再作图即可． （2）把代入二次函数解析式中，可得，进一步即可求解． （3）根据最大高度为时或者最大高度，分别求出水流速度即可求解． 【详解】解：任务一： 当时，， 令， 解得（舍去），， ∴水流从喷出到落地需要的时间为．画出函数图象如图所示； 任务二： 令， 则， 即v随t的增大而增大， ∴当时，； 任务三： ∵， ∵， 当最大高度为米时，有， 解得（不合题意，舍去）或； 当最大高度为米时，有， 解得：（不合题意，舍去）或； 故水流速度的取值范围为． 【变式2-2】（2025·江西赣州·一模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），足球的飞行轨迹可看成抛物线、攻球员位于O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，已知，． 通过鹰眼系统监测，足球飞行的水平速度为、水平距离s（水平距离水平速度时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表．守门员的最大防守高度为．守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功． … 9 12 15 18 21 … … 5 … (1)求h关于s的函数表达式． (2)若守门员选择原地接球，能否防守成功？若成功，请求出守门员接住球时，球的高度；若不成功，请通过计算说明理由． (3)求守门员选择面对足球后退，计算成功防守的最小速度． 【答案】(1) (2)若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由见解析； (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解表格中的数据求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）计算出当时h的值即可得到答案； （3）当守门员刚好接到球时，则，求出此高度下s的值，进而求出球运动的时间，进而求出守门员运动的最小路程，即可求出最小速度． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知当和当时，h的值相同， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴h关于s的函数表达式为； （2）解：若守门员选择原地接球，不能防守成功，理由如下： 在中，当时，， ∵， ∴若守门员选择原地接球，不能防守成功； （3）解：当守门员刚好接到球时，则， 把代入中得：， 解得， ∴此时球的飞行时间为， ∴守门员选择面对足球后退，能够防守成功，那么运动员在内肯定要到达能够刚好接球的位置，即守门员在内的路程要大于等于， ∴守门员的速度要大于等于， ∴守门员的最小速度为． 【变式2-3】（25-26九年级上·广东珠海·期中）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一如图，运动员通过助滑道后在点处起跳，经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离单位：与他在水平方向上移动的距离单位：近似满足函数关系已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． (1)求与的函数表达式； (2)进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为． 求与的函数表达式； 当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间的值． 【答案】(1)与的函数关系式为 (2)； 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意得，，，据此利用待定系数法求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②求出直线的解析式为，如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点，设，则，则，求出的最大值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 将，代入，得： 解得 与的函数关系式为； （2）解：设， 落点到的水平距离是，， 在点着陆时坐标为 将代入，得： 解得， ． 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 如图，设运动员飞行过程中的某一位置为，过作轴交于点， 设，则 ， ∵ 当时，最大，此时． 类型三、图形及图形运动问题 二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的． 例3．（2025·全国·一模）如图，用长为24米的篱笆围成一面靠墙（足够长）的矩形菜地，中间用篱笆分隔为两个小矩形（平行于墙面方向分隔）： (1)设垂直于墙的边长为x米，求菜地总面积S与x的函数关系式； (2)结合二次函数性质，求S的最大值； (3)（变式）若分隔篱笆长度为x米，其他条件不变，重新建立S与x的关系式，并分析最值变化． 【答案】(1) (2)36平方米 (3)，最大面积没有发生变化 【分析】本题主要考查了列函数关系式、二次函数的面积问题、配方法的应用等知识点，掌握数形结合思路并灵活运用相关知识是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为x米，则菜地的平行于墙的边的长为，即；再根据长方形的面积公式即可解答； （2）直接运用配方法求最值即可； （3）若分隔篱笆长度为x米，则垂直于墙的边长为，即米，，然后根据题意列出函数关系式并求最值，然后再比较即可． 【详解】（1）解：由垂直于围墙的边长为x米， 则平行于围墙的边长为，即米， 所以菜地面积S与x的函数关系式为：，即． （2）解：∵，， ∴当时，菜地的最大面积为36平方米． （3）解：若分隔篱笆长度为x米， 则垂直于围墙的边长为，即米，， 所以菜地面积S与x的函数关系式为，即． 所以当时，菜地的最大面积为36平方米，最大面积没有发生变化． 【变式3-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1是我们生活中常见的一只碗，图2是从正面看到的碗的形状示意图，碗壁近似呈抛物线形，该抛物线关于碗口的垂直平分线对称，且碗底与碗口平行，C、D均在抛物线上，，，已知，，，以所在直线为x轴，过点A且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，碗壁抛物线满足关系式（b、c为常数）． (1)求点B的坐标； (2)若碗中装入一定量的水，水面，且与之间的距离为，求水面的宽度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键； （1）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，则由对称轴计算公式可得，再求出，利用待定系数法求出的值，进而求出点的坐标即可； （2）求出点和点的纵坐标，进而求出点和点的横坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∵，，，， ∴， ∴， 将点代入，得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点B的坐标为； （2）解：∵与之间的距离为， ∴点E与点F的纵坐标为. 令，得， 解得，， ∴，即水面的宽度为； 【变式3-2】（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 【变式3-3】（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    一、单选题 1．（2025·甘肃平凉·中考真题）如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意、将抛物线转化为顶点式是解题关键； 将抛物线化为顶点式即可解决问题. 【详解】解：∵， ∴当时，； 故选：B. 2．某景区旅店有30张床位，每床每天收费10元时，可全部租出．若每床每天收费提高5元，则有1张床位不能租出；若每床每天收费再提高5元，则再有1张床位不能租出；若每次按提高5元的这种方法变化下去，则该旅店每天营业收入最多为（   ） A．3125元 B．2120元 C．2950元 D．1280元 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式．设每床每晚收费应提高个5元，旅店每天营业收入为元，然后根据题意可得函数解析式：，再根据二次函数的性质即可求得答案． 【详解】解：设每床每晚收费提高个5元，旅店每天营业收入为元， 根据题意得： ， 当时，最大，最大值为1280元， 该旅店每天营业收入最多为1280元， 故选：D． 3．如图①所示的矩形窗框ABCD的周长及其两条隔断EF，GH的总长为，且隔断EF，GH分别与矩形的两条邻边平行．设BC的长为，矩形ABCD的面积为，y关于x的函数图象如图②，则下列说法正确的是（   ） A．矩形ABCD的最大面积为 B．当时，矩形ABCD的面积最大 C．a的值为12 D．以上说法均错误 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象和性质，解题的关键是识别函数图象，确定自变量的取值为何值时函数取得最大值． 观察图2，得出当时，函数值最大，可判断A、B错误；根据题意确定，即判断C正确，进而可判断D． 【详解】解：由题图②可知，矩形ABCD的最大面积为，此时，故A，B选项错误； 当时，矩形ABCD的面积取最大值4， ， ， 故C选项正确，D选项错误． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级下·甘肃张掖·期中）如图1是小峡水电站黄河公路大桥，它的一个桥拱可以近似看作抛物线，一个桥拱在水面的跨度约为40米，若按如图2所示方式建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线可以表示为，则此时桥拱最高点P离水面的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的运用，根据桥拱在水面的跨度约为40米，则，且桥拱所在抛物线可以表示为，代入计算即可求解k的值，根据顶点坐标，即可求出此时桥拱最高点P离水面的高度． 【详解】解：桥拱所在抛物线可以表示为，桥拱在水面的跨度约为40米，则， ∴， 解得，， ∴， 即此时桥拱最高点P离水面的高度是米， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期末）某足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，如果不考虑空气阻力，足球飞行的高度（单位：）与足球飞行的时间（单位：）之间具有二次函数关系，其部分图象如图所示，则足球到达最高点所需的时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 先确定抛物线的对称轴方程，再根据抛物线的图象性质可得出结论． 【详解】解：根据函数的图象可得抛物线的对称轴方程为：， ∵函数的开口向下， ∴在时，足球到达最高点， 即足球到达最高点所需的时间是 故答案为： 6．用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的菜园． 方案一：如图①，围成一个矩形菜园，其中一边是墙， 其余的三边，， 用篱笆，其中； 方案二：如图②，围成一个扇形菜园，一条半径是墙，其余用篱笆． 有下列结论： ①的长可以是； ②的长有两个不同的值满足该矩形菜园的面积为； ③矩形菜园的面积的最大值为； ④方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，准确列出方程和函数解析式是解答本题的关键．①设边长为，则边长为，当时，求出是，不符合题意，即可判断正误；②列出一元二次方程：求出值即可判断正误；③列出二次函数解析式 ，根据最值求法即可判断正误；④列出二次函数解析式 ，求得扇形面积的最大值，即可判断正误． 【详解】解：图①，设边长为，则边长为， 当时， ， ∴， ∵， 故①不正确； ∵菜园面积为 ∴， 整理得： 解得： 或， ∴或， ∵时， ， 满足，故②正确； 设矩形菜园的面积为 根据题意得：， ， ∴当时， 有最大值，最大值为，故③正确； 如图②，设则弧长， ， ， ∴当时， 有最大值，最大值为， ∴方案二围成扇形菜园的最大面积等于方案一围成矩形菜园的最大面积. 故④不正确. ∴正确结论是②③. 故答案为： ②③． 三、解答题 7．（2025·广东·中考真题）如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式． 【答案】该抛物线的表达式为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数表达式，先由题意，建立恰当的平面直角坐标系，从而得到、，设该抛物线的顶点式为，将代入解方程即可得到答案．根据题中示意图，建立恰当的平面直角坐标系，并设出抛物线表达式是解决问题的关键． 【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示： 则抛物线顶点坐标为，，即， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的表达式为． 8．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某商城在“双11”期间举行促销活动，一种热销商品进货价为每个12元，标价为每个20元． (1)商城举行了“感恩老用户”活动，对于老客户，商城对甲商品连续进行两次降价，每次降价的百分率相同，最后以每个16.2元售出，求每次降价的百分率； (2)市场调研表明：当甲商品每个标价20元时，平均每天能售出40个，当每个售价每降1元时，平均每天就能多售出10个． ①在保证甲每个商品的售价不低于进价的前提下，若商城要想销售甲商品每天的销售额为1190元，则每个应降价多少元？ ②若要使甲商品每天的销售利润最大，每个应该降价多少元？此时最大利润为多少元？ 【答案】(1)每次降价的百分率是 (2)①每个应降价3元；②每个应该降价2元，此时最大利润为360元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及二次函数的有关知识，解题的关键是正确的找到题目中的等量关系且利用其列出方程． （1）设每次降价的百分率为，根据题意得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）①设每个应降价x元，利用销售总额销售单价销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再根据售价不低于进价进行选择即可求出结论； ②设每个应降价x元，利润为W元，列出二者之间的函数关系式，再根据顶点式求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率是， 根据题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 每次降价的百分率是； （2）解：设每个应降价x元， ①根据题意得：， 解得或， 售价不低于进价， 舍去， ， 每个应降价3元； ②设甲商品每天的销售利润为W元， 根据题意得 ，当时，W取最大值，最大值为360， 每个应该降价2元，此时最大利润为360元． 9．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）有一座抛物线形拱桥，在正常水位时，水面宽，拱顶距离水面．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)若水位上升就达到警戒线的位置，求这时水面的宽度． 【答案】(1) (2)米 【分析】此题考查了求抛物线的解析式，二次函数的应用，正确理解题意得到为是解题的关键． （1）由抛物线对称性可知，为，设解析式为，将点B坐标代入求出a即可． （2）根据题意得出点C、D的纵坐标为，代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由抛物线对称性可知，为， ∵抛物线顶点在原点， ∴设解析式为，把代⼊得： ∴， ∴． （2）∵水位上升就达到警戒线的位置， ∴点C、D的纵坐标为， 当时， ， 解得：， ∴， ∴米． 10．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）某超市销售一批成本为元/千克的绿色健康食品，深受游客青睐，经市场调查发现，该食品每天的销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)写出关于的函数关系式：________，销售利润为__________元（用含有代数式表示） (2)为尽可能让利于顾客，当该超市每天销售这种绿色健康食品获利元时，销售单价为多少元？ (3)请求出销售利润的最大值及此时销售单价． 【答案】(1)，； (2)元； (3)销售单价元时，销售利润最大，最大值是元． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用． （1）设关于的函数关系式是，因为图象经过点，，可得关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得到关于的函数关系式；根据销售成本为元/千克，销售单价为元/千克，可得每千克的利润为元/千克，根据销售利润每千克利润销售量，可得元； （2）根据每天销售这种绿色健康食品获利元，可得关于的一元二次方程：，解方程可得当销售单价定为元和元时，销售利润均可达到元，因为超市要让利于顾客，所以单价应定为元； （3）把二次函数整理成顶点坐标式，可得：，根据二次函数的性质可知：当时，销售利润最大，最大值是元． 【详解】（1）解：设关于的函数关系式是， 由图象可知，图象经过点，， 可得：， 解得：， 关于的函数关系式是； 销售成本为元/千克，销售单价为元/千克， 每千克的利润为元/千克， 销售利润为元； 故答案为：，； （2）解：由题意得：， 解得：， 要尽可能让利于顾客， 销售单价应定为元/千克， 答：销售单价为元； （3）解： 当时，销售利润最大，最大值是元． 11．（24-25九年级下·湖北孝感·期中）习近平总书记强调：“要教育孩子们从小热爱劳动、热爱创造”．某校为促进学生全面发展、健康成长，计划在校园围墙内围建一个矩形劳动实践基地，其中一边靠墙（如图），另外三边用长为的篱笆围成．已知墙长为，设这个矩形劳动实践基地垂直于墙的一边的长为，其中，平行于墙的一边的长为，矩形劳动实践基地的面积为． (1)请直接写出与，与的函数关系式； (2)当时，求垂直于墙的一边长； (3)若根据实际情况，可利用的墙的长度不超过，垂直于墙的一边长为多少时，这个矩形劳动实践基地的面积最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)； (2)垂直于墙的一边长为； (3)当垂直于墙的一边长为时，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为 【分析】本题考查二次函数解实际应用题，涉及求一次函数与二次函数表达式、二次函数最值等知识． （1）根据题意，表示出长方形的长与宽，根据矩形面积公式即可得到二次函数表达式，由墙的最大可用长度为即可确定自变量的取值范围； （2）令，解方程即可解题； （3）由（1）中得到函数关系式，利用二次函数图像与性质，在自变量范围内讨论求出其最值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∴； （2）解：当时，， 解得，， ∵， ∴， 答：垂直于墙的一边长为； （3）解：∵， 解得， ∴， ， ∵， ∴开口向下， ∵对称轴为直线，， ∴在对称轴右侧，S随x的增大而减小， ∴当时，， 答：垂直于墙的一边长为，矩形劳动实践基地面积最大，最大值为． 12．（24-25八年级下·福建福州·期末）八年级小惠同学的爸爸是开花店的，于是他就想趁着情人节活动赚点零花钱，他以元/朵的价格从爸爸那里购入一批玫瑰花，准备在情人节那天销售．开花店的爸爸告诉他前4天的这种玫瑰花日销售量y（朵）与销售单价x（元）的对应值表： 销售单价x/元 10 12 14 16 日销售量y/朵 36 32 28 24 小惠判断出y与x是一次函数关系．请你根据以上信息，帮小惠完成下列问题： (1)求y关于x的函数解析式： (2)当销售单价为多少元时，小惠获得的日销售利润最大？并求出最大利润； (3)爸爸要求小惠日销售利润不低于180元，请直接写出销售单价x的取值范围______． 【答案】(1)y关于x的函数解析式为 (2)当时，最大，最大值为元 (3)日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为 【分析】本题主要考查一次函数，二次函数的运用，理解数量关系，掌握待定系数法，二次函数图象的性质是关键． （1）根据表格信息，运用待定系数法求解即可； （2）销售单价x元，则每朵的利润为元，设销售利润为，由此列式，根据二次函数图象的性质求解即可； （3）根据（2）中的利润，当时，，结合二次函数图象即可求解． 【详解】（1）解：y与x是一次函数关系，设， ∴， 解得，， ∴y关于x的函数解析式为： （2）解：销售单价x元，则每朵的利润为元， 设销售利润为， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为元； （3）解：∵， ∴当时，， 整理得，， 解得，，即， ∵，函数图象开口向下， ∴日销售利润不低于180元，销售单价x的取值范围为． 13．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米．建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高． (1)求抛物线的解析式； (2)判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由； (3)运动员在第二次击球时仍然在点P处，通过击球改变网球的飞行路线，其抛物线为，网球在距球网右侧水平距离2米时，离地面的高度不低于4米，且网球落在对方区域内（含边界），求m的最大值． 【答案】(1) (2)此次击球越过球网并落在对方区域内，理由见解析 (3) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时，y的值，时，y的值，即可求解； （3）把代入，求出与的关系式，当时，，当时，，解不等式即可求解最大值． 【详解】（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高， 设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下： ∵， 当时，， 网球越过球网， 当时，， 网球落在对方区域； 此次击球越过球网并落在对方区域内； （3）解：把代入，得：， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， ， 的最大值为． 14．（2025·山西·中考真题）综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，所在直线为x轴，过点O与所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． （2）如图1，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为，点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离的长； （3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，．仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）． 【答案】（1），；（2）起跳点P与落地点Q的水平距离的长为；（3） 【分析】本题考查二次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据起跳点与落地点的距离为，得到对称轴为直线，根据运动路线的最高点距地面，得到顶点纵坐标为，写出顶点坐标，列出顶点式，把代入，求出函数解析式即可； （2）根据抛物线的形状不变，利用平移思想，写出新的函数解析式，令，求出的值，进而求出的长即可； （3）设该平台的高度为，根据题意，得到新的抛物线的解析式为：，根据仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物，得到抛物线过点，代入求解即可； 【详解】解：（1）由题意，得：抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， ∵图象过原点， ∴，解：， ∴； （2）∵抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由（1）的抛物线向上平移75个单位长度，得到的， ∴新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，（舍去）； 故起跳点P与落地点Q的水平距离的长为； （3）设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ∵，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， ∴把代入，得：，解得：； 故设该平台的高度为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $