第10章 第62讲 事件的独立性、条件概率与全概率公式(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦事件独立性、条件概率与全概率公式三大核心考点，依据高考评价体系明确了解、计算、应用三个考查层级。通过教材梳理构建知识网络，基础自测辨析易错点，考点突破分角度归纳独立事件判断、概率计算等常考题型，对接高考真题提升实战性。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技巧融合，如2021新高考Ⅰ卷事件独立性判断、2023天津卷全概率公式应用实例，培养学生数学思维与数学语言表达能力。总结“定义法判断独立事件”“四步解全概率问题”等技法，帮助学生掌握复杂事件分解策略，教师可依托系统梳理与题型解析实现高效复习教学。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第62讲　事件的独立性、 条件概率与全概率公式 复习目标 1.了解两个随机事件独立性的含义,结合古典概型,利用独立性计算概率. 2.了解条件概率,能计算简单随机事件的条件概率. 3.了解条件概率与独立性的关系,会利用乘法公式计算概率. 4.会利用全概率公式计算概率. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　相互独立事件 (1)概念:对任意两个事件A与B,如果P(AB)=_________成立,则称事件A与事件B相 互独立,简称为独立. (2)性质:若事件A与B相互独立,那么A与,与___,与也都相互独立. P(A)P(B) B 返回 知识点2　条件概率 (1)概念:一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称P(B|A)=为在事件 A发生的条件下,事件B发生的条件概率,简称条件概率. (2)两个公式 ①利用古典概型:P(B|A)=; ②概率的乘法公式:P(AB)=___________. P(A)P(B|A) 返回 (3)条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0,则 ①P(Ω|A)=___; ②如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=______________. ③设和B互为对立事件,则P(|A)=_________. 1 P(B|A)+P(C|A) 1-P(B|A) 返回 知识点3　全概率公式 一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0, i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=P(Ai)P(B|Ai). 返回 常用结论 1.A,B都发生的事件为AB;A,B都不发生的事件为 . 2.A,B恰有一个发生的事件为A+B;A,B至多有一个发生的事件为B+A+ . 返回 基础自测 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若事件A,B互斥,则P(B|A)=1. (　 ) (2)全概率公式用于求复杂事件的概率,是求最后结果的概率. (　 ) (3)P(A)=P(A)P(B|A)+P()P(B|). (　 ) (4)P(A)=P(BA)+P(B). (　 ) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 × √ × × 返回 2.(必修第二册P253习题10.2T4变式)甲、乙两人独立地破解同一个谜题,破解出谜题的概率分别为,,则谜题没被破解出的概率为 (　　) A. B. C. D.1 【解析】选A.设“甲独立地破解出谜题”为事件A,“乙独立地破解出谜题”为事件B, 则P(A)=,P(B)=,故P()=,P()=,所以P( )=×=,即谜题没被破解出的概率为. 返回 3.(选择性必修第三册P46例1变式)在8件同一型号的产品中,有3件次品,5件合格品,现不放回地从中依次抽取2件,在第一次抽到次品的条件下,第二次抽到次品的概率是 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.当第一次抽到次品后,还剩余2件次品,5件合格品,所以第二次抽到次品的概率为. 返回 4.甲、乙两个气象站同时进行气象预报,如果甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,那么在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率为 (　　) A.0.8 B.0.7 C.0.56 D.0.38 【解析】选D.由于甲站、乙站预报的准确率分别为0.8和0.7,则在一次预报中两站恰有一站准确预报的概率P=0.8×(1-0.7)+(1-0.8)×0.7=0.38. 返回 考点突破 强技能 返回 考点一相互独立事件 角度1　相互独立事件的概念 1.坛子中放有大小、质地完全相同的3个白球,2个黑球,从中不放回地取球两次, 每次取一个球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,则A1和A2(　　) A.是互斥事件 B.是相互独立事件 C.是对立事件 D.不是相互独立事件 【解析】选D.因为P(A1)=,若A1发生,则P(A2)==;若A1不发生,则P(A2)=,所以 A1发生的结果对A2发生的结果有影响,所以A1与A2不是相互独立事件. 返回 2.若P(AB)=,P()=,P(B)=,则事件A与B的关系是 (　　) A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立 C.事件A与B相互独立 D.事件A与B既互斥又相互独立 【解析】选C.因为P(A)=1-P()=1-=, 所以P(AB)=P(A)·P(B)=≠0,所以事件A与B相互独立、事件A与B不互斥,故不对立. 返回 3.当P(A)>0时,若P(B|A)+P()=1,则事件A与B的关系是 (　　) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.无法判断 【解析】选C.因为P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,所以P(B|A)=P(B),即=P(B),所以P(AB)=P(A)·P(B),所以事件A与B相互独立. 返回 4.(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则 (　　) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 返回 【解析】选B.由题意可知,两球数字之和为8的所有可能为(2,6),(3,5),(4,4),(5,3), (6,2),两球数字之和为7的所有可能为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),事件甲发生 的概率P(甲)=,事件乙发生的概率P(乙)=,事件丙发生的概率P(丙)==,事件 丁发生的概率P(丁)==.事件甲与事件丙同时发生的概率为0,P(甲丙)≠P(甲)P(丙), 故A错误;事件甲与事件丁同时发生的概率为=,P(甲丁)=P(甲)P(丁),故B正 确;事件乙与事件丙同时发生的概率为=,P(乙丙)≠P(乙)P(丙),故C错误;事件 丙与事件丁是互斥事件,不是相互独立事件,故D错误. 返回 解题技法 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法:事件A,B相互独立⇔P(AB)=P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响. (3)条件概率:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 返回 角度2　相互独立事件的概率 【例1】(1)(2025·邢台模拟)甲、乙两人进行下象棋比赛,采取五局三胜制(不考虑平局,先赢得三场的人为获胜者,比赛结束).根据前期的统计分析,得到甲在和乙的第一场比赛中,取胜的概率为0.5,受心理方面的影响,前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响,如果甲在某一场比赛中取胜,那么下一场取胜率提高0.1,反之降低0.1,则甲以3∶1取得胜利的概率为 (　　) A.0.162 B.0.18 C.0.168 D.0.174 返回 【解析】选D.设甲在第一、二、三、四局比赛中获胜分别为事件A1,A2,A3,A4,由 题意,甲以3∶1取得胜利的事件可能是A1A2A4,A1A3A4,A2A3A4,所以甲以 3∶1取得胜利的概率P=P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4) =0.5×0.6×0.3×0.6+0.5×0.4×0.5×0.6+0.5×0.4×0.5×0.6=0.174. 返回 (2)某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮.假设某选手每个问题正确回答的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为____________.  【解析】依题意可知,该选手第2个问题回答错误,第3,4个问题均回答正确,第1个问题回答正确、错误均有可能,则所求概率P=1×0.2×0.82=0.128. 答案:0.128 返回 [变式]若保持本例(2)条件不变,则该选手恰好回答了5个问题才晋级下一轮的概率为________.  【解析】依题意可知,该选手第3个问题的回答是错误的,第4,5个问题均回答正确,第1,2个问题回答均错误或有且只有1个错误,则所求概率P=0.23×0.82+2×0.2×0.8×0.2×0.82=0.005 12+0.040 96=0.046 08. 答案:0.046 08 返回 解题技法 利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和. (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件,转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件. (3)代入概率的积、和公式求解. 返回 【训练1】　甲、乙、丙三人进行网球比赛,约定赛制如下:累计负两场被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两个人,另一个人当裁判,没有平局;每场比赛结束时,负的一方在下一场当裁判;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获得冠军,比赛结束.已知在每场比赛中,双方获胜的概率都为,各局比赛的结果相互独立,经抽签,第一场比赛甲当裁判. (1)求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率; (2)求只需四场比赛就决出冠军的概率. 返回 【解析】(1)记事件A为甲胜乙,则P(A)=, 则P()=1-=,事件B为甲胜丙,则P(B)=, 则P()=1-=,事件C为乙胜丙,则P(C)=,则P()=1-=, 前三场比赛结束后,丙被淘汰可用事件CC∪CAB来表示,所以前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率为P1=P(CC)+P(CAB)=××+××=. 返回 (2)若最终的冠军为甲,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CABA∪BAB来表示, P(CABA∪BAB)=P(CABA)+P(BAB)=P(C)P(A)·P(B)P(A)+P()P(B)·P(A)P(B) =×××+×××=. 若最终的冠军为乙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件CC来表示, P(CC)=P(C)P()P(C)P()=×××=. 若最终的冠军为丙,则只需四场比赛就决出冠军可用事件来表示, P()=P()P()P()P()=×××=. 综上,只需四场比赛就决出冠军的概率为P2=++=. 返回 考点二条件概率及其应用 【例2】(1)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为(　　) A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 【解析】选A.令事件A,B分别表示该学生爱好滑冰、该学生爱好滑雪,事件C表示该学生爱好滑雪的条件下也爱好滑冰,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以P(C)=P(A|B)===0.8. 返回 (2)(一题多法)(多选题)某地开展党史知识竞赛活动,以党支部为单位参加比赛,某党支部在5道党史题中(包含3道选择题和2道填空题),不放回地依次随机抽取2道题作答,设事件A为“第1次抽到选择题”,事件B为“第2次抽到选择题”,则下列结论中正确的是 (　　) A.P(A)= B.P(AB)= C.P(B|A)= D.P(B|)= 返回 【解析】选ABC.法一(公式法):对于A,P(A)==,故A正确;对于B,P(AB)==,故B正确;对 于C,由选项A,B及条件概率公式可得P(B|A)===,故C正确;对于D,P()==, P(B)==,所以P(B|)===,故D错误. 法二(古典概型法):对于A,由题意可知不放回地依次随机抽取2道题作答,样本空间有 5×4=20(个)等可能的样本点,n(A)=3×4=12,所以P(A)==,故A正确;对于B,n(AB)=3×2=6,所以 P(AB)==,故B正确;对于C,P(B|A)===,故C正确;对于D,n()=2×4=8,n(B)=2×3=6, P(B|)===,故D错误. 返回 【训练2】　(1)(2025·长春模拟)依次抛掷两枚质地均匀的骰子,并记录正面向上 的点数,记事件A为“第一次的点数大于第二次的点数”,记事件B为“两次点数之和 为偶数”,则P(B|A)的值为________.  【解析】依据题意事件A包含的样本点:(6,5),(6,4),(6,3),(6,2),(6,1),(5,4),(5,3), (5,2),(5,1),(4,3),(4,2),(4,1),(3,2),(3,1),(2,1),共有15个,事件AB包含样本 点:(6,4),(6,2),(5,3),(5,1),(4,2),(3,1),共有6个,则P(B|A)===. 答案: 返回 (2)(2025·广州模拟)某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为,,,而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为,,,结果这一天他迟到了,在此条件下,他自驾去上班的概率是________.  【解析】设小明迟到为事件A,小明自驾为事件B, 则P(A)=×+×+×=,P(AB)=×=. 则在小明迟到的条件下,他自驾去上班的概率为P(B|A)===. 答案: 返回 考点三全概率公式的应用 【例3】(1)一份高考数学试卷中有8道单选题,小胡对其中5道题有思路,3道题没 有思路.有思路的题做对的概率是0.9,没有思路的题只能猜一个答案,猜对答案的 概率为0.25,则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.设事件A表示“小胡做对”,事件B表示“小胡选到有思路的题”,则小 胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|) =×0.9+×0.25=. 返回 (2)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为 (　　) A.0.48 B.0.49 C.0.52 D.0.51 【解析】选D.设事件A=“发送的信号为0”,事件B=“接收的信号为1”,则P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|)=0.95, 因此P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.5×(0.07+0.95)=0.51. 返回 解题技法 全概率公式的适用范围及步骤 1.适用范围:所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能,在这多种可能中均有所研究的事件发生,这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. 2.运用全概率公式的一般步骤: 第一步:求出样本空间Ω的一个划分A1,A2,…,An; 第二步:求P(Ai)(i=1,2,…,n); 第三步:求P(B|Ai)(i=1,2,…,n); 第四步:求目标事件的概率P(B). 返回 【训练3】　(一题多法)(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球,其总数之比为5∶4∶6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为________;将三个盒子中的球混合后任取一个球,是白球的概率为________.  【解析】法一:设A=“从甲盒子中取一个球是黑球”,B=“从乙盒子中取一个球是黑球”,C=“从丙盒子中取一个球是黑球”,由题意可知P(A)=40%=,P(B)=25%=,P(C)=50%=. 现从三个盒子中各取一个球,取到的三个球都是黑球的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=; 返回 设D1=“取到的球是甲盒子中的”,D2=“取到的球是乙盒子中的”,D3=“取到的球是 丙盒子中的”,E=“取到的球是白球”,由题意可知 P(D1)==,P(D2)==, P(D3)==,P(E|D1)=1-=, P(E|D2)=1-=,P(E|D3)=1-=, 所以P(E)=P(D1E+D2E+D3E)=P(D1E)+P(D2E)+P(D3E)=P(D1)P(E|D1) +P(D2)·P(E|D2)+P(D3)P(E|D3)=×+×+×=. 返回 法二:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5,4,6,其中甲盒子中黑球的个数为2,白球的个数为3;乙盒子中黑球的个数为1,白球的个数为3;丙盒子中黑球的个数为3,白球的个数为3. 则从三个盒子中各取一个球,共有5×4×6种结果,其中取到的三个球都是黑球有2×1×3种结果,所以取到的三个球都是黑球的概率为=; 将三个盒子中的球混合在一起共有5+4+6=15(个)球,其中白球共有3+3+3=9(个), 所以混合后任取一个球,共有15种结果,其中取到白球有9种结果,所以混合后任取一个球,是白球的概率为=. 答案:　 返回 $