第10章 第60讲 二项式定理(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦二项式定理核心考点，涵盖定理证明、通项应用、系数性质、系数和及综合应用，对接高考评价体系，分析近5年真题考点权重，归纳求特定项系数、最值、系数和等常考题型，夯实基础与技能突破并重。 课件亮点在于真题驱动与技法提炼，如2024全国甲卷系数最大值题用待定系数法，三项式展开结合组合知识解析，培养数学思维与模型表达能力，助力学生掌握赋值法等解题技巧，教师可依此精准教学，提升备考效率。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第60讲　二项式定理 复习目标 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　二项式定理 (1)二项式定理:(a+b)n=(n∈N*). (2)二项展开式的通项:Tk+1=,它表示通项为展开式的第_____项. (3)二项式系数:(k=0,1,…,n). [注意点]二项式系数是指,,…,,这只与各项的系数有关,而与a,b的值无关;项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且与a,b值的有关. an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn an-kbk k+1 返回 知识点2　二项式系数的性质 (1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. (2)最大值:当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项 与相等,且同时取得最大值. (3)各二项式系数的和: ①+++…+=___, ②+++…=+++…. 2n 返回 [注意点]二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 返回 常用结论 赋值法的应用 (1)在二项式定理中,令a=1,b=x,得(1+x)n=+x+x2+…+xk+…+xn. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则 ①a0+a1+a2+…+an=f(1). ②奇数项系数之和a0+a2+a4+…=. ③偶数项系数之和a1+a3+a5+…=. 返回 基础自测 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)an-kbk是(a+b)n的展开式中的第k项. (　 　) (2)(a+b)n的展开式中每一项的二项式系数与a,b无关. (　 　) (3)通项Tk+1=an-kbk中的a和b不能互换. (　 　) (4)二项式的展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 × √ √ × 返回 2.(选择性必修第三册P31T4变式)(x-y)n的二项展开式中,第m项的系数是(　　) A. B. C. D.(-1)m-1 【解析】选D.(x-y)n的展开式中,第m项为Tm=xn-m+1·(-y)m-1=(-1)m-1·xn-m+1·ym-1, 所以第m项的系数为(-1)m-1. 返回 3.(选择性必修第三册P31T1变式)的值为 (　　) A.1 B.2 C.2 025 D.2 025×2 026 【解析】选A.原式===1. 返回 4.在二项式(x2-)n的展开式中二项式系数之和是32,则展开式中各项系数的和为 ________.  【解析】因为二项式系数之和为2n=32,所以n=5.令x=1,可得各项系数的和为 (1-2)5=-1. 答案:-1 返回 考点突破 强技能 返回 考点一通项的应用 角度1　形如(a+b)n(n∈N*)的展开式 1. (x+)5的展开式中x的系数为 (　　) A.10 B.40 C.30 D.20 【解析】选B. (x+)5展开式的通项为Tk+1=x5-k()k=2kx5-2k,k=0,1,…,5,令5-2k=1,得k=2,则x的系数为22=40. 返回 2.(2025·杭州模拟)(2x-y)5的展开式中,x2y3的系数为 (　　) A.-10 B.10 C.-40 D.40 【解析】选C.(2x-y)5展开式的通项为Tk+1=·(2x)5-k·(-y)k,0≤k≤5,k∈N,所以x2y3的系数为×22×(-1)3=-40. 返回 3.已知(x-)5的展开式中x5的系数为A,x2的系数为B,若A+B=11,则a=________.  【解析】(x-)5的展开式的通项为Tk+1=x5-k(-)k=(-a)k.由5-k=5,得k=0,由5-k=2,得k=2,所以A=×(-a)0=1,B=×(-a)2=10a2,则由1+10a2=11,解得a=±1. 答案:±1 返回 解题技法 求形如(a+b)n(n∈N*)的展开式中与 特定项相关的量的步骤 第一步,写出二项展开式的通项Tk+1=an-kbk,常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错); 第二步,根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零,有理项要求指数为整数)先列出相应方程(组)或不等式(组),解出k; 第三步,把k代入通项中,即可求出Tk+1,有时还需要先求n,再求k,才能求出Tk+1或者其他量. 返回 角度2　形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式 【例1】(1)(2022·新高考Ⅰ卷) (1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).  【解析】(x+y)8展开式的通项为Tk+1=x8-kyk,k=0,1,…,7,8. 令k=6,得T6+1=x2y6,令k=5,得T5+1=x3y5,所以(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28. 答案:-28 返回 (2)若(x2+a) (x+)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为________.  【解析】因为(x2+a) (x+)8=x2(x+)8+a·(x+)8, 且(x+)8展开式的通项为Tk+1=x8-k()k=x8-2k, 当8-2k=6时,k=1,此时x6的系数为. 当8-2k=8时,k=0,此时x8的系数为. 所以展开式中x8的系数为+a=8+a=9,解得a=1. 答案:1 返回 解题技法 求解形如(a+b)m(c+d)n(m,n∈N*)的展开式中与特定项相关的量的步骤 第一步,根据二项式定理把(a+b)m与(c+d)n分别展开,并写出其通项; 第二步,根据特定项的次数,分析特定项可由(a+b)m与(c+d)n的展开式中的哪些项相乘得到; 第三步,把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量. 返回 【训练1】　(1) (+2)(x2-)6的展开式中的常数项为 (　　) A.-20 B.20 C.-10 D.10 【解析】选D.因为(+2)(x2-)6=(x2-)6+2(x2-)6, (x2-)6的展开式的通项为 Tk+1=(x2)6-k(-) )k=(-1)kx12-3k,令12-3k=0,得k=4,令12-3k=3,得k=3,即(+2)(x2-)6 的展开式中的常数项为×(-1)3×x3+(-1)4×x0×2=-20+30=10. 返回 (2)(2025·攀枝花模拟)(1-ax2)(1+x)4的展开式中x3的系数为12,则a=________.  【解析】由(1+x)4的展开式的通项为=xk, 所以含x3的项为x3+(-ax2)x=(-a)x3, 故-a=4-4a=12,可得a=-2. 答案:-2 返回 微拓展 形如(a+b+c)n(n∈N*)的展开式 求三项展开式中某些指定的项的方法 (1)两项看成一项,利用二项式定理展开. (2)因式分解,转化为两个二项式再求解. (3)看作多个因式的乘积,用组合的知识解答. 返回 [典例1](2025·衡水模拟) (x3+-1)5的展开式中x3的系数为 (　　) A.5　　B.-5　　C.15　　D.-15 【解析】选C. (x3+-1)5可看作5个(x3+-1)相乘,展开式中x3可由2种情况获得:从5个式子中取2个式子提供x3,余下3个式子提供,则可得到(x3)2()3=10x3;从5个式子中取1个式子提供x3,余下4个式子提供-1,则可得到(x3)1(-1)4=5x3,所以(x3+-1)5的展开式中x3的系数为10+5=15. 返回 [典例2](1+2x-3x2)5的展开式中含x5的项的系数为________. 【解析】将(1+2x-3x2)5看作5个因式(1+2x-3x2)的乘积,这5个因式乘积的展开式中形成x5的来源有: ①5个因式各出一个2x,这样的方式有种,对应的项为(2x)5; ②有3个因式各出一个2x,有1个因式出一个-3x2,剩余1个因式出一个1,这样的方式有种,对应的项为(2x)3(-3x2); ③有1个因式出一个2x,2个因式各出一个-3x2,剩余2个因式各出一个1,这样的方式有种,对应的项为·2x··(-3x2)2; 所以含x5的项的系数为·25+·23··(-3)+·2··(-3)2=92. 答案:92 返回 考点二二项式系数及最值问题  【例2】(1)(多选题)(2025·广东梅州模拟)关于(a-b)11的说法,正确的是 (　　) A.展开式中的二项式系数之和为2 048 B.展开式中只有第6项的二项式系数最大 C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D.展开式中第6项的系数最小 返回 【解析】选ACD.由二项式系数的性质知,(a-b)11的二项式系数之和为211=2 048,故选项A正确;因为(a-b)11的展开式共有12项,中间两项的二项式系数最大,即第6项和第7项的二项式系数最大,故选项B错误,选项C正确;因为展开式中第6项的系数是负数,且绝对值最大,所以展开式中第6项的系数最小,故选项D正确. 返回 (2)(2024·全国甲卷) (+x)10的展开式中,各项系数中的最大值为________.  【解析】(+x)10的展开式的通项为Tr+1=()10-rxr,则各项的系数分别为()10, ()9,()8,()7,()6,()5,()4,()3,()2,()1,()0,观察发现二项式系数先增大后减小,且前后对称,指数式递增,分别计算()5,()4,()3,()2,()1,()0,比较可得,()2=5最大. 答案:5 返回 解题技法 1.二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时,展开式中第(+1)项的二项式系数最大,最大值为;当n为奇数时, 展开式中第项和第项的二项式系数最大,最大值为 或 . 2.求展开式系数最大项的方法 如求(a+bx)n(a,b∈R)的展开式系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各 项系数分别为A1,A2,…,,且第k项系数最大,应用从而解出k来即 可. 返回 【训练2】　已知(2x+)n的二项展开式中二项式系数之和为64,则下列结论正确的是 (　　) A.二项展开式中各项系数之和为37 B.二项展开式中二项式系数最大的项为90 C.二项展开式中无常数项 D.二项展开式中系数最大的项为240x3 返回 【解析】选D.因为(2x+)n的二项展开式中二项式系数之和为64, 所以2n=64,则n=6, 所以二项式为(2x+)6, 则二项展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k()k=26-k, 令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为36,故A错误; 第4项的二项式系数最大,此时k=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160,故B错误; 令6-k=0,则k=4, 返回 所以二项展开式中的常数项为26-4=60,故C错误; 令第k+1项的系数最大, 则 解得≤k≤, 因为k∈N,所以k=2. 所以二项展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3. 返回 考点三展开式中各项系数和 【例3】已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7. 求:(1)a1+a2+…+a7; (2)a1+a3+a5+a7; (3)a0+a2+a4+a6; (4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|. 返回 【解析】令x=1, 则a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.① 令x=-1, 则a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.② (1)因为a0==1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2. (2)(①-②)÷2, 得a1+a3+a5+a7==-1 094. (3)(①+②)÷2, 得a0+a2+a4+a6==1 093. 返回 (4)因为(1-2x)7的展开式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零, 所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7| =(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7). 所以由(2)(3)即可得其值为2 187. 返回 解题技法 本题采用的是“赋值法”,它普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,在解有关问题 时,经常要用到这种方法. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子求其展开式的各项系数 之和,常用赋值法,只需令x=1即可. (2)对(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x=y=1即可. (3)一般地,若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1),奇 数项系数之和为a0+a2+a4+…=,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 返回 【训练3】　(1)(多选题)已知(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则 (　　) A.a1+a2+a3+a4=17 B.a1+a3=-120 C.a1+2a2+3a3+4a4=96 D.|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=256 【解析】选BC.A选项,令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=24=16①, 令x=0,则a0=1, 因此a1+a2+a3+a4=15,故A错误; B选项,令x=-1,则a0-a1+a2-a3+a4=256②, ①-②,得2a1+2a3=-240, 返回 所以a1+a3=-120,故B正确; C选项,对式子(3x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4两边求导, 得出12(3x-1)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3, 令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4=12×(3×1-1)3=96,故C正确; D选项,由展开式知a0,a2,a4为正,a1,a3为负, 由①+②得2(a0+a2+a4)=272,即a0+a2+a4=136, 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4=(a0+a2+a4)-(a1+a3)-a0=136+120-1=255,故D错误. 返回 (2)(2024·南昌调研)若(1+x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,则a2+a6+a8=________; a1+2a2+3a3+…+10a10=________.  【解析】由已知得(1+x)10展开式的通项为=xk,所以展开式中每一项的系数即为其二项式系数. 故a2+a6+a8=++=300. 对原式两边求导得,10(1+x)9=a1+2a2x+3a3x2+…+10a10x9.令x=1,得a1+2a2+3a3+…+10a10=10×29=5 120. 答案:300　5 120 返回 【加练备选】 (多选题)已知(1-x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025,则 (　　) A.展开式的各二项式系数的和为0 B.a1+a2+…+a2 025=-1 C.22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025=1 D.++…+=-1 返回 【解析】选BCD. A选项,展开式中各二项式系数的和为22 025,故A错误; B选项,令x=0,得a0=1, 令x=1,得a0+a1+a2+…+a2 025=0, 所以a1+a2+…+a2 025=-1,故B正确; C选项,22 025a0+22 024a1+22 023a2+…+a2 025 =22 025(a0+2-1a1+2-2a2+…+2-2 025a2 025)=22 025·(1-2-1)2 025=22 025·()2 025=1,故C正确; 返回 D选项,因为+=+=·(-1)k +·(-1)2 025-k=[(-1)k+(-1)2 025-k] ()=0, 所以++…+=(+)+(+)+…+=0+=-=-1,故D正确. 返回 考点四二项式定理的综合应用 【例4】(1)设a∈Z,且0≤a≤13,若512 025+a能被13整除,则a等于 (　　) A.0 B.1 C.11 D.12 【解析】选B.因为a∈Z,且0≤a≤13, 所以512 025+a=(52-1)2 025+a =·522 025-·522 024+·522 023-…+·52-+a, 因为512 025+a能被13整除,所以-+a=-1+a能被13整除,又0≤a≤13,所以a=1. 返回 (2)利用二项式定理计算1.056,则其结果精确到0.01的近似值是 (　　) A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.34 【解析】选D.1.056=(1+0.05)6=+×0.05+×0.052+×0.053+…+×0.056= 1+0.3+0.037 5+0.002 5+…+0.056≈1.34. 返回 解题技法 二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形,使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式. (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算. 返回 【训练4】　(1)设n为奇数,那么11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余 数是 (　　) A.-3 B.2 C.10 D.11 【解析】选C.11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1=·11n+·11n-1+·11n-2 +…+·11+-2=(11+1)n-2 =12n-2=(13-1)n-2 =·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13+(-1)n·-2, 因为n为奇数,则上式=·13n-·13n-1+…+(-1)n-1··13-3=[·13n-·13n-1 +…+(-1)n-1··13-13]+10, 所以11n+·11n-1+·11n-2+…+·11-1除以13的余数是10. 返回 (2)利用二项式定理计算0.996,则其结果精确到0.001的近似值是 (　　) A.0.940 B.0.941 C.0.942 D.0.943 【解析】选B.0.996=(1-0.01)6=×1-×0.01+×0.012-×0.013+…+×0.016 =1-0.06+0.001 5-0.000 02+…+0.016 ≈0.941. 返回 $