阶段滚动检测(5)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

阶段滚动检测(五) 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数z满足1+iz=z-2i,则|z|=(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由1+iz=z-2i可得z===,所以|z|==. 2.已知集合A=,B={-3,-2,-1,0,1,2,3},则A∩B包含的元素个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】选B.由,解得0<x≤2或-3≤x<-1,所以A=或, 故A∩B=. 3.“m=-2”是“直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选A.若直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直, 则2-m-m2=0,即m2+m-2=0, 解得m=-2或1, 因为{-2}⫋{-2,1}, 所以“m=-2”是“直线(2-m)x+my+3=0与直线x-my-3=0垂直”的充分不必要条件. 4.已知抛物线的方程为y=2px2且过点(1,4),则抛物线的焦点坐标为(　　) A.(1,0) B.(,0) C. (0,) D.(0,1) 【解析】选C.抛物线的方程为y=2px2,且经过点(1,4),可得p=2,抛物线的标准方程为:x2=y,则焦点坐标为(0,). 5.若sin(+α)=,则cos(2α-)=(　　) A.- B.- C. D. 【解析】选C.cos(2α-)=-cos(2α-+π)=-cos(2α+)=- =-1+2×=. 6.过点(-2,0)与圆x2+y2=1相切的两条直线的夹角为α,则cos α=(　　) A. B. C. D.- 【解析】选A.设点A(-2,0),过点A与圆x2+y2=1相切的两条线为AB,AC,切点分别为B,C,则α=∠BAC,在Rt△AOB中,AO=2,OB=1,所以∠BAO=,即∠BAC=,cos∠BAC=. 7.长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC1与平面ABCD所成的角为α,AC1与AB1所成的角为β,则下列关系一定成立的是(　　) A.α>β B.a+β=90° C.α+β>90° D.α+β<90° 【解析】选D.由于CC1⊥平面ABCD,故∠C1AC=α,∠C1AB1=β, 故sin α=,cos β=,sin β=, 由于CC1,B1C1的大小不确定,所以无法确定 sin α,sin β的大小,故α,β的大小不确定,A错误, 由于sin α=,cos β==>,故sin α<cos β=sin(90°-β), 由于α,β均为锐角,所以90°-β也是锐角,故α<90°-β,即α+β<90°. 8.若F(c,0)是双曲线-=1(a>b>0)的右焦点,过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率e=(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,设两条渐近线的夹角为θ, 则tan θ=tan∠AOB==, 设FB⊥OB,则F到渐近线y=x的距离为d==b,即有|OB|==a, 则△OAB的面积可以表示为·a·atan θ==,解得=, 则e====. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知无穷数列{an}和{bn}的各项均为整数,{an}和{bn}是非常数数列,且{an}和{bn}中存在大小相等的项,则下列说法一定正确的是(　　) A.若{an}和{bn}是各项均为正数的等差数列,如果所有相等的项不止一项,则这些项构成等差数列 B.若{an}和{bn}是各项均为正数的等比数列,如果所有相等的项不止一项,则这些项构成等比数列 C.若{an}为等差数列,{bn}为等比数列,则所有相等的项不止一项 D.若{an}为递增数列,{bn}为递减数列,则所有相等的项可能只有一项 【解析】选ABD.对于A,由于{an},{bn}是各项均为正数的等差数列, 若{an},{bn}公共项的最小的一项记为a,且{an},{bn}的公差分别为d1,d2, 若d1,d2的最小公倍数为d,则a+dk,k=0,1,2,3,…,均为{an},{bn}的公共项,且构成等差数列,故A正确. 对于B,由于{an},{bn}是各项均为正数的等比数列,若{an},{bn}公共项的最小的一项记为a,且{an},{bn}的公比分别为q1,q2, 则a(q1q2)k,k=0,1,2,3,…,均为{an},{bn}的公共项,且构成等比数列,故B正确. 对于C,若an=2n-1,bn=2n-1,则{an},{bn}只有一项是公共项,故C错误. 对于D,若an=2n-1,bn=-n+2,由于an=2n-1≥1,bn=-n+2≤1, 则{an},{bn}公共项只有a1=b1=1,故D正确. 10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)>0,f(2)=4,则(　　) A.f(5)=10 B.f(x)为奇函数 C.f(x)在R上单调递减 D.当x<-1时,f(x)-2>f(2x) 【解析】选ABD.A选项,f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=1,得f(2)=f(1)+f(1), 又f(2)=4,故f(1)=2, f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=2,得 f(4)=f(2)+f(2)=8, 令x=4,y=1,得f(4+1)=f(4)+f(1)=8+2=10,即f(5)=10,A正确; B选项,f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=y=0得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0, f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0,故f(x)为奇函数,B正确; C选项,f(x+y)=f(x)+f(y)中,令x=x1,y=x2-x1,且x2>x1, 故f(x1+x2-x1)-f(x1)=f(x2-x1),即 f(x2)-f(x1)=f(x2-x1), 当x>0时,f(x)>0,故f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)>0,即f(x2)>f(x1),故f(x)在R上单调递增,C错误; D选项,f(1)=2,f(x)-2=f(x)-f(1)=f(x-1), 因为x<-1,所以x-1>2x, 又f(x)在R上单调递增,所以f(x)-2>f(2x),D正确. 11.到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设F1(-c,0)和F2(c,0)且c>0,动点M满足|MF1|·|MF2|=a2(a>0),动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线,记该卡西尼卵形线为曲线C,则下列描述正确的是(　　) A.曲线C的方程是(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4 B.曲线C关于坐标轴对称 C.曲线C与x轴没有交点 D.△MF1F2的面积不大于a2 【解析】选ABD. 设M(x,y),由|MF1|·|MF2|=a2(a>0)得·=a2, ⇒(x2+2cx+c2+y2)(x2-2cx+c2+y2)=a4⇒(x2+y2+c2)2-(2cx)2=(x2+y2)2+2c2(x2+y2)+c4-4c2x2=a4.即得(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4,故A正确; 该方程中把x改为-x或把y改为-y方程均不变,故B正确; 在方程(x2+y2)2-2c2(x2-y2)=a4-c4中,令y=0得x2=c2±a2, 当c=a时,x=0或x=±c, 当c<a时,x=±, 当c>a时,x=±,故C不正确; =|MF1||MF2|sin∠F1MF2≤|MF1||MF2|=a2,故D正确. 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知向量a,b的夹角为30°,且|a|=2,|b|=1,则|a+b|=.  【解析】|a+b|===. 13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若=.则+的最小值为2.  【解析】因为C=+,A=-,所以sin C-sin A=sin(+)-sin(-) =2cossin, 于是===, 所以由=,得=, 由正弦定理得:=,于是c2=a2+b2+ab, =(a2+b2+ab)=·=(++2) (++1), 因为+≥2,所以≥4×3=12,+≥2, 当且仅当a=b时,“=”成立. 14.已知抛物线y2=2x,从抛物线内一点A(2,)出发平行于x轴的光线经过抛物线上点B反射后交抛物线于点C,直线BC与x轴交点横坐标为;△ABC的面积S为.  【解析】因为A(2,),所以B(,), 设切线与x轴交于点D,由抛物线的光学性质可知,BC过焦点F,即BC与x轴交点横坐标为; F(,0),直线BF的斜率为, 所以直线BC的倾斜角为60°,且∠ABC=120°, 即|BC|===, (也可由直线BC:y=(x-)与抛物线y2=2x联立求得C(,-),再由两点间距离公式求得|BC|) 因为|AB|=,所以S△ABC=|AB|·|BC|sin∠ABF=×××=. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+3,求这个数列的通项公式; 【解析】(1)因为Sn=n2+n+3, 当n≥2时,Sn-1=(n-1)2+(n-1)+3, 所以an=Sn-Sn-1=n+, 又n=1时,a1=S1=不满足上式, 故数列{an}的通项公式为 an= (2)已知数列{an}的通项公式为an=前n项和为Sn.求Sn取得最小值时n的值. 【解析】(2)当an≤0⇔(n-2)(2n-15)≤0,n∈N*, 解得n∈{2,3,4,5,6,7},当n=1和n≥8时,an>0,所以Sn取得最小值时,n=7. 16.(15分)如图,在平面四边形ABCD中,AB=5,AD=4,cos∠BAD=,∠BCD=90°. (1)求BD的长; 【解析】(1)△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD=36,所以BD=6. (2)若AC与BD交于点O,且BD⊥AC,求BO的长; 【解析】(2)因为cos∠BAD=,∠BAD∈(0,π), 所以sin∠BAD=. 由BD⊥AC可知, AO===, 所以BO==. (3)求四边形ABCD周长的最大值. 【解析】(3)因为∠BCD=90°, 所以BC2+CD2=BD2=36, (BC+CD)2-36=2BC·CD≤,故BC+CD≤6,当且仅当BC=CD时等号成立,故周长的最大值为9+6. 17.(15分)已知抛物线Γ:x2=2py(p>0),焦点为F,点P在抛物线Γ上,且P到F的距离比P到直线y=-2的距离小1. (1)求抛物线Γ的方程; 【解析】(1)抛物线的准线为y=-,则P到准线的距离等于P到F的距离, 因为P到F的距离比P到直线y=-2的距离小1, 所以-=-1,即p=2, 所以抛物线方程为x2=4y. (2)若点N为直线l:y=-5上的任意一点,过点N作抛物线Γ的切线NA与NB,切点分别为A,B.求证:直线AB恒过某一定点. 【解析】(2)抛物线方程化为f(x)=,f'(x)=, 设N(a,-5),A(x0,),则f'(x0)==,解得x0=a±, 所以A(a-,), B(a+,), 所以直线AB的方程是=,整理得y=x+5, 所以直线AB恒过点(0,5). 18.(17分)如图,直角梯形ACDE中,∠A=45°,ED=CD=AC=2,B,M分别为AC,ED边的中点,将△ABE沿BE边折起到△A'BE的位置,N为边A'C的中点. (1)证明:MN∥平面A'BE; 【解析】(1)取A'B的中点H,BC的中点O,由题意知,CD=ED=BC=BE=2, 直角梯形ACDE中BC∥ED,BC⊥CD,所以四边形BEDC为正方形, 因为N为A'C的中点, 所以NH∥BO∥EM,NH=BO=EM, 所以四边形EMNH为平行四边形, 所以EH∥NM, 因为EH⊂平面A'BE,NM不在平面A'BE内, 所以MN∥平面A'BE. (2)当三棱锥A'-BEN的体积为,且二面角A'-BE-C为锐二面角时,求平面NBM与平面BEDC夹角的正切值. 【解析】(2)连接A'O,则A'O⊥BC,以OC为x轴,OM为y轴,OA'为z轴建立空间直角坐标系, 因为BE⊥A'B,BE⊥BC,A'B,BC⊂平面A'BN, 所以BE⊥平面A'BN, VA'-BEN=VE-A'BN==×BE×S△A'BN,所以S△A'BN=, 因为BA'=BC,所以S△A'BC=×BC×A'B× sin∠A'BC=2S△A'BN=, 所以sin∠A'BC=,所以△A'BC为等边三角形, 则B(-1,0,0),C(1,0,0),A'(0,0,), N(,0,),M(0,2,0),D(1,2,0), 设n1=(x1,y1,z1)为平面NBM的法向量,n2=(x2,y2,z2)为平面BCD的法向量, ⇒,令x1=2,所以n1=(2,-1,-2), ⇒,令z2=1,所以n2=(0,0,1), 设平面NBM与平面BEDC的夹角为θ,由题可知为θ锐角, cos θ===,tan θ=,所以平面NBM与平面BEDC的夹角的正切值为. 19.(17分)(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0). (1)求C的方程; 【解析】(1)由题意知⇒, 所以C的方程为+=1. (2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点; 【解析】(2)设F1M0的中点为P,所以P(0,2),=2, 所以F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2. ⇒3x2+4(x2-2x+4)=12, 所以x2-2x+1=0,Δ=4-4=0, 所以F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点. (3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程. 【解析】(3)设M(x0,y0). 情形一:当y0=0时,F1M的垂直平分线为x=,此时=±2,x0=5或-3, 情形二:当y0≠0时,F1M的垂直平分线为:y=-(x-)+=-x+. 联立,得 ⇒3x2+4[-x+x2]=12. 所以[3+]x2-x+-12=0. 因为F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点, 所以Δ=-4[3+] [-12]=0 ⇒-36-=0 ⇒+(2-14)+-18-32x0-15=0 ⇒+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0 ⇒(++2x0+1)(+-2x0-15)=0. 因为++2x0+1=+>0, 所以+-2x0-15=0, (5,0),(-3,0)也满足上式,所以M的轨迹为圆,方程为(x-1)2+y2=16. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $