第10章 第59讲 排列与组合(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦排列与组合核心考点，覆盖概念、公式、性质及实际应用考查要求。依据高考评价体系梳理近5年真题考点分布，明确排列数组合数计算、有限制条件排列、组合及综合分配问题等高频考点，归纳6类常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于高考真题驱动与应试技法融合，如以2023全国乙卷“两人选读课外读物”题为例，通过“数学思维”拆解分类分步逻辑，“数学语言”规范列式表达。系统讲解捆绑法、插空法等8大解题技法，帮助学生高效突破考点，为教师提供精准复习指导，助力高考冲刺。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第59讲　排列与组合 复习目标 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能利用排列、组合解决简单的实际问题. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　排列、组合的概念 (1)排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照_________________ ____,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)组合:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________,叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合. 一定的顺序排成一 列 作为一组 返回 知识点2　排列数、组合数公式 (1)排列数公式 =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=,其中m,n∈N*,且m≤n.规定0!=___. (2)组合数公式 ==, 其中m,n∈N*,且m≤n.规定=___. 1 1 返回 知识点3　排列数与组合数的性质 (1)=. (2)=. (3)=+. (4)=n. (5)=(n-m+1). (6)(n+1)!-n!=n·n!. (7)++…++=. 返回 基础自测 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (　 　) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. (　 　) (3)k=n. (　 　) (4)若组合式=,则x=m成立. (　 　) 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2,3 1,4 √ × √ × 返回 2.(选择性必修第三册P27T13变式)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动,则男、女生都有的选法种数是 (　　) A.18 B.24 C.30 D.36 【解析】选C.选出的3人中有2名男同学、1名女同学的方法有=18(种),选出的3人中有1名男同学、2名女同学的方法有=12(种),故3名同学中男、女生都有的选法有18+12=30(种). 返回 3.(选择性必修第三册P37T1(3)改编)安排6名歌手演出顺序时,要求某歌手不是第一个出场,也不是最后一个出场,则不同排法的种数是 (　　) A.120 B.240 C.480 D.720 【解析】选C.先考虑该歌手的位置不是第一个出场,也不是最后一个出场,则该歌手有4个位置可以选,共有=4种结果,剩下5人在5个不同位置,共有=120种结果,所以不同排法有4×120=480(种). 返回 4.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区宣传活动,如果要求至少有1名女生参加,那么不同的选派方案种数为________.  【解析】4人中至少有1名女生包括两种情况:1女3男,2女2男,故有+=14(种). 答案:14 返回 考点突破 强技能 返回 考点一排列数、组合数公式…………题组练通 1.若a∈N*,且a<27,则(27-a)(28-a)…(34-a)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.因为从27-a到34-a共有34-a-(27-a)+1=8个数, 所以(27-a)(28-a)…(34-a)=. 返回 2.若=12,则n= (　　) A.8 B.4 C.3或4 D.5或6 【解析】选A.由题意,根据排列数、组合数公式,可得=n(n-1)(n-2), 12=12×=6n(n-1),则n(n-1)(n-2)=6n(n-1),且n∈N*,n≥3,解得n=8. 返回 3.计算:=________.  【解析】===15. 答案:15 返回 4.若=,则正整数x的值是________.  【解析】因为=,所以2x-1=x或2x-1+x=11,解得x=1或x=4.经检验,x=1或x=4均满足题意. 答案:1或4 5.若=+(n∈N*),则n=________.  【解析】由=+,所以=, 又因为=,所以n-2=3,即n=5. 答案:5 返回 解题技法 (1)熟练掌握排列数公式、组合数公式,注意公式之间的联系,不要混淆. (2)掌握排列数公式与组合数公式的性质,在解题中灵活运用. 返回 考点二排列问题 【例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数. (1)选5人排成一排; (2)排成前后两排,前排3人,后排4人; (3)全体排成一排,甲不站排头也不站排尾; (4)全体排成一排,女生必须站在一起; (5)全体排成一排,男生互不相邻; (6)男生顺序已定,女生顺序不定. 返回 【解析】(1)从7人中选5人排列,排法有=7×6×5×4×3=2 520(种). (2)分两步完成,先选3人站前排,有种排法,余下4人站后排,有种排法, 故排法共有=5 040(种). (3)法一(特殊元素优先法): 先排甲,有5种方法,其余6人有种排列方法,故排法共有5×=3 600(种). 法二(特殊位置优先法): 首尾位置可安排另6人中的两人,有种排法,其他有种排法,故排法共有=3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有种排法,再将女生全排列,有种排法,故排法共有=576(种). 返回 (5)(插空法)先排女生,有种排法,再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生,有种排法,故排法共有=1 440(种). (6)(定序问题)7名学生站成一排,有种排法,其中3名男生的排法有种,由于男生顺序已定,女生顺序不定,故排法共有=840(种). 返回 解题技法 求解排列问题的6种主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列,同时注意捆绑元 素的内部排列 插空法 对不相邻问题,先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素 插在前面元素排列的空位中 定序问题 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以定序元素的全 排列 间接法 正难则反、等价转化的方法 返回 【训练1】　(1)(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　) A.12种 B.24种 C.36种 D.48种 【解析】选B.先将丙和丁捆在一起有种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有种排列方式,最后将甲插入中间两空,有种排列方式,所以不同的排列方式共有=24(种). 返回 (2)某停车场有两排空车位,每排4个,现有甲、乙、丙、丁4辆车需要停放,若每排都有车辆停放,且甲、乙两车停放在同一排,则不同的停车方案有________种(填数字).  【解析】若甲、乙两车停放在同一排,丙、丁两车停放在同一排,则有2种方案; 若丙、丁选一辆与甲、乙停放在同一排,另一辆单独一排,则有2种方案. 所以共有2+2=672(种)停车方案. 答案:672 返回 考点三组合问题 【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查,已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内,不同的取法有多少种? (2)其中某一种假货不能在内,不同的取法有多少种? (3)恰有2种假货在内,不同的取法有多少种? (4)至少有2种假货在内,不同的取法有多少种? (5)至多有2种假货在内,不同的取法有多少种? 返回 【解析】(1)从余下的34种商品中,选取2种有 =561(种), 所以某一种假货必须在内的不同取法有561种. (2)从34种可选商品中,选取3种,有种或者 -==5 984(种). 所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种. (3)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件有=2 100(种). 所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种. 返回 (4)选取2种假货有种,选取3种假货有种,共有取法 +=2 100+455=2 555(种). 所以至少有2种假货在内的不同取法有2 555种. (5)选取3种的总数为,选取3种假货有种,因此共有取法 -=6 545-455=6 090(种). 所以至多有2种假货在内的不同取法有6 090种. 返回 解题技法 两类组合问题的解题方法 返回 【训练2】　(1)(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　) A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 【解析】选C.甲、乙二人先选1种相同的课外读物,有=6(种)情况,再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物,有=20(种)情况.由分步乘法计数原理可得共有6×20=120(种)选法. 返回 (2)(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种(用数字作答).  【解析】法一:由题意,可分三类: 第一类,体育类选修课和艺术类选修课各选修1门,有种方案; 第二类,在体育类选修课中选修1门,在艺术类选修课中选修2门,有种方案; 第三类,在体育类选修课中选修2门,在艺术类选修课中选修1门,有种方案. 综上,不同的选课方案共有 ++=64(种). 返回 法二:若学生从这8门课中选修2门课, 则有--=16(种)选课方案; 若学生从这8门课中选修3门课, 则有--=48(种)选课方案. 综上,不同的选课方案共有16+48=64(种). 答案:64 返回 考点四排列与组合的综合问题 【例3】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方法? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本; (5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本; (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本. 返回 【解析】(1)无序不均匀分组问题.先选1本有种选法;再从余下的5本中选2本有种选法;最后余下3本全选有种选法. 故共有=60种选法. (2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在第(1)问基础上,还应考虑再分配,共有=360种选法. (3)无序均匀分组问题.共有=15种选法. (4)在第(3)问的基础上,还应考虑再分配,共有15=90种选法. (5)部分均匀分组问题.由题意得,共有=15种选法. (6)在第(5)问的基础上,还应考虑再分配,共有15=90种选法. 返回 解题技法 对于分堆与分配问题应注意三点 (1)处理分配问题要注意先分堆再分配; (2)被分配的元素是不同的; (3)分堆时要注意是否均匀. 返回 【训练3】　(1)(2025·石家庄模拟)为推进体育教学改革和发展,提升体育教学质量,丰富学校体育教学内容,某市根据各学校工作实际情况,在4所学校设立兼职教练岗位.现聘请甲、乙等6名教练去这4所中学指导体育教学,要求每名教练只能去一所中学,每所中学至少有一名教练,则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为 (　　) A.96 B.120 C.144 D.240 返回 【解析】选D.由题意可知,将甲、乙捆绑在一起,当成一个元素,则是5个不同的教练分配到4所不同的中学指导体育教学, 由于每名教练只能去一所中学,每所中学至少有一名教练, 则分4组有种方法,再将4组人分配到4所中学有种方法, 则甲、乙分在同一所中学的不同的安排方法种数为=10×24=240. 返回 (2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验,其中每个舱安排2人.若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验,则不同的安排方案共有 (　　) A.20种 B.36种 C.72种 D.84种 【解析】选C.将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为,其中甲、乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为··,所以满足条件的不同的安排方案有-··=90-18=72(种). 返回 微拓展 排列、组合中的分组分配问题 对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组后应除以m!. 类型一　不等分问题 [典例1](2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有 (　　) A.120种 B.90种 C.60种 D.30种 【解析】选C.先从6名同学中选1名安排到甲场馆,有种选法,再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆,有种选法,最后将剩下的3名同学安排到丙场馆,有种选法,由分步乘法计数原理知,共有=60(种)不同的安排方法. 返回 类型二　整体均分问题 [典例2]甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项,则不同的承包方案有________种.  【解析】甲、乙、丙3家公司承包了6项工程,每家公司承包2项, 则不同的承包方案种数为×=90. 答案:90 返回 类型三　部分均分问题 [典例3](2025·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养,开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程,要求每位学生从大一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完,且每学年最多选修两门,若同一学年内选修的课程不分前后顺序,则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答).  返回 【解析】因为三年内将四门选修课程全部修完,且每学年最多选修两门, 则四门选修课程可按2,1,1和2,2,0两种情况分成三组, 若按2,1,1分成三组,有=6(种)分组方法, 若按2,2,0分成三组,有=3(种)分组方法, 所以每位学生共有(6+3)=54(种)不同的选修方式. 答案:54 返回 $