教考衔接11 概率中的递推问题(马尔科夫链)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

圆学子梦想 铸金字品牌 教考衔接11 概率中的递推问题(马尔科夫链) 题在书外根植书内典题演变直通高考 高考考情 马尔科夫链在高考题中经常以概率与数列结合的形式出现,主要考查学生观察问题、分析问题以及归纳问题等能力,其根本思想是全概率问题.通过概率的求解,建立递推关系,转化为数列模型问题,利用递推数列求解. 教材类题·慧聚 题号 源自教材 题源(1) 人教A版选择性必修第三册P81·第3题 题源(2) 人教A版选择性必修第三册P91·第10题 　题源(1)如图,一个质点在随机外力的作用下,从原点0出发,每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位,共移动6次.求下列事件的概率. ①质点回到原点; ②质点位于4的位置. 【解析】设质点向右移动的次数为X,又质点每隔1 s等可能地向左或向右移动一个单位长度,共移动6次,且每次移动相互独立, 则X~B(6,). ①质点回到原点, 则X=3, P(X=3)=)3·()3=, 所以质点回到原点的概率是. ②当质点位于4的位置时, 则X=5, P(X=5)=)5·()=, 所以质点位于4的位置的概率是. 创新拓宽·变式 [变式]甲,乙,丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若骰子点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,投掷n次骰子后(n∈N*),记球在甲手中的概率为pn,则p3=________;pn=________.  【解析】由题意,当投掷3次骰子后,球在甲手中,共有4种情况: ①甲→甲→甲→甲,其概率为××=, ②甲→甲→乙→甲,其概率为××=, ③甲→乙→甲→甲,其概率为××=, ④甲→乙→丙→甲,其概率为××=, 所以投掷3次后,球在甲手中的概率为p3=+++=. 设投掷n次后,球在乙手中的概率为qn, 所以当n≥2时,pn=pn-1+qn-1+(1-pn-1-qn-1)=-qn-1+,qn=pn-1+(1-pn-1-qn-1)=-qn-1+,所以qn-=-(qn-1-),q1-=-=,所以数列是以为首项,-为公比的等比数列,所以qn-=·(-)n-1,qn=·(-)n-1+, 所以pn=-·(-)n+(n≥2),p1=符合该式,所以pn=-·(-)n+. 答案:　-·(-)n+ 高考真题·链接 　(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5. (1)求第2次投篮的人是乙的概率; (2)求第i次投篮的人是甲的概率; (3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E(Xi)=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y). 【解析】(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件A,“第1次投篮的人是甲”为事件B,则A=BA+A, 所以P(A)=P(BA+A)=P(BA)+P(A)=P(B)P(A|B)+P()P(A|)=0.5×(1-0.6)+0.5×0.8=0.6. (2)设第i次投篮的人是甲的概率为pi,由题意可知,p1=,pi+1=pi×0.6+(1-pi)×(1-0.8), 即pi+1=0.4pi+0.2=pi+, 所以pi+1-=(pi-), 又p1-=-=,所以数列{pi-是以为首项,为公比的等比数列, 所以pi-=×()i-1, 所以pi=+×()i-1. 题源(2)甲、乙、丙三人相互做传球训练,第1次由甲将球传出,每次传球时,传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求n次传球后球在甲手中的概率. 【解析】记第n次传球后球在甲手中的概率为pn,则第n-1次传球后球在甲手中的概率为pn-1. 开始时球在甲手中,则p1=0. 若第n次传球后球在甲手中,则第n-1次传球后,球不在甲手中,则第n-1次传球后球在乙或丙手中,所以第n-1次传球后球不在甲手中的概率为1-pn-1,又乙或丙将球传到甲手中的概率均为,故pn=(1-pn-1), 即pn=-pn-1+, 则pn-=-(pn-1-),n≥2,n∈N*, 所以数列{pn-}是首项为p1-=-, 公比为-的等比数列, 所以Pn-=-×(-)n-1, 即Pn=-×(-)n-1+(n∈N*). [选题说明]教材中的两道题可以看出,以马尔科夫链为背景的全概率公式问题可以通过简单事件表示复杂事件来解决.解决这类题的步骤如下: (1)厘清初始事件的概率p1(或p0); (2)利用事件关系寻求第n步的概率pn与第n+1步的概率pn+1之间的关系,即递推关系pn+1=f(pn); (3)利用数列的相关知识,由已知p1与pn+1=f(pn)求出通项公式pn. (3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi,则Xi的可能取值为0或1,当Xi=0时,表示第i次投篮的人是乙,当Xi=1时,表示第i次投篮的人是甲,所以P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi, 所以E(Xi)=pi. Y=X1+X2+X3+…+Xn, 则E(Y)=E(X1+X2+X3+…+Xn)=p1+p2+p3+…+pn, 由(2)知,pi=+×()i-1,所以p1+p2+p3+…+pn =+×[1++()2+…+()n-1] =+×=+×[1-()n]. - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $