核心素养测评(第10章 第63讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

圆学子梦想 铸金字品牌 核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 七十三　离散型随机变量及其分布列、均值与方差 基础保分练 一、单选题 1.(5分)甲、乙两人下象棋,胜者得1分,平局得0分,负者得-1分,共下5局.用ξ表示甲的得分,则ξ=3表示 (　　) A.甲胜3局负2局 B.甲胜4局负1局 C.甲胜3局平2局或甲胜3局负2局 D.甲胜4局负1局或甲胜3局平2局 【解析】选D.因为甲、乙两人下象棋,胜者得1分,平局得0分,负者得-1分,故ξ=3表示两种情况,甲胜4局负1局或甲胜3局平2局. 2.(5分)(2024·陕西部分名校模拟)已知随机变量X的分布列为 X 0 2 3 P m 2m 则E(X)= (　　) A.2 B. C. D.1 【解析】选C.由+3m=1,解得m=, 则E(X)=0×+2×+3×=. 3.(5分)已知某生物技术公司研制出一种新药,并进行了临床试验,该临床试验的成功概率是失败概率的2倍.若记一次试验中成功的次数为X,则随机变量X的数学期望为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.设试验成功概率为p,则p+=1,解得p=.X的可能取值为0,1,P(X=0)=,P(X=1)=,随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×=. 4.(5分)(2024·温州模拟)随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=,则D(3X-2)= (　　) X -1 0 1 P a b A. B. C.5 D.7 【解析】选C.由题意得, 解得所以D(X)=×+×+×=, 所以D(3X-2)=9D(X)=9×=5. 5.(5分)签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签,从中任意取3支,设X为这3支签的号码之中最大的一个,则X的数学期望为 (　　) A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6 【解析】选B.由题意可知,X的可能取值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==.由数学期望的定义可求得E(X)=3×+4×+5×+6×=5.25. 6.(5分)设随机变量ξ的分布列如表: ξ 1 2 3 4 5 P a1 a2 a3 a4 a5 则下列说法中不正确的是 (　　) A.P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3) B.当an=(n=1,2,3,4)时,a5= C.若{an}为等差数列,则a3= D.{an}的通项公式可能为an= 【解析】选D.选项A,由已知得a1+a2+a3+a4+a5=1,其中P(ξ≤2)=P(ξ=1)+P(ξ=2)=a1+a2,P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5)=a3+a4+a5,则P(ξ≤2)=1-P(ξ≥3),所以选项A正确,不符合题意; 选项B,当an=(n=1,2,3,4)时,a1=,a2=,a3=,a4=, 则a5=1-(a1+a2+a3+a4)==,所以选项B正确,不符合题意; 选项C,a1+a2+a3+a4+a5=(a1+a5)+(a2+a4)+a3=2a3+2a3+a3=1,解得a3=,所以选项C正确,不符合题意; 选项D,设数列{an}的前n项和为Sn,an==-,则S5=a1+a2+a3+a4+a5=1-+-+-+-+-=≠1,即{an}的通项公式不可能为an=,所以选项D不正确,符合题意. 二、多选题 7.(5分)(2024·哈尔滨质检)若随机变量X服从两点分布,其中P(X=0)=,E(X),D(X)分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是 (　　) A.P(X=1)=E(X) B.E(3X+2)=4 C.D(3X+2)=4 D.D(X)= 【解析】选AB.随机变量X服从两点分布, 由P(X=0)=,得P(X=1)=, E(X)=0×+1×=, D(X)= (0-)2×+(1-)2×=. 在A选项中,P(X=1)=E(X),故A选项正确; 在B选项中,E(3X+2)=3E(X)+2=3×+2=4,故B选项正确; 在C选项中,D(3X+2)=9D(X)=9×=2,故C选项错误; 在D选项中,D(X)=,故D选项错误. 8.(5分)已知某围棋比赛的个人冠军决赛将在甲、乙两人之间展开,且在每一局比赛中甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,赛程将采用“三局两胜制”或“五局三胜制”.记“甲获得冠军”为事件A,“乙获得冠军”为事件B,随机变量X表示决出冠军需进行的比赛局数,则下列结论正确的为 (　　) A.P(X=2)= B.若采用“五局三胜制”,则P(A)+P(B)>P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) C.采用“五局三胜制”比采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利 D.若采用“五局三胜制”,则P(X≤4)= 【解析】选AD.对于A:X=2表示决出冠军需进行2局比赛,即甲连赢2局或乙连赢2局, 则P(X=2)=×+×=,故A正确; 对于B:若采用“五局三胜制”,则P(A)表示甲获得冠军,此时可进行3或4或5场比赛, P(B)表示乙获得冠军,此时可进行3或4或5场比赛, X=3表示比赛3局决出冠军,X=4表示比赛4局决出冠军,X=5表示比赛5局决出冠军, 所以P(A)+P(B)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5),故B错误; 对于C:若采用“五局三胜制”,则P(B)=+××+××=, 若采用“三局两胜制”,则P(B)=+×××=>,所以采用“三局两胜制”对乙获得冠军更有利,故C错误; 对于D:若采用“五局三胜制”,则P(X=3)=+=, P(X=4)=××+××=,所以P(X≤4)=P(X=3)+P(X=4)=+=,故D正确. 三、填空题 9.(5分)(2025·吉安模拟)已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,那么a=.  【解析】由题意可知P(X=0)+P(X=1)=2a+a=1,解得a=. 10.(5分)离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y(x,y∈N)代替,分布列如表: X=i 1 2 3 4 5 6 P(X=i) 0.21 0.20 0.x5 0.10 0.1y 0.10 则P(<X<)=0.45.  【解析】由题意得,1+0+5+0+y+0=10,解得y=4,2+2+x+1+1+1=9,解得x=2, 故P(<X<)=0.20+0.25=0.45. 四、解答题 11.(10分)甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛(假设无平局),计分规则如下:在一轮比赛中,如果甲赢而乙输,则甲得1分;如果甲输而乙赢,则甲得-1分;如果甲和乙同时赢或同时输,则甲得0分.设甲赢机器人的概率为0.7,乙赢机器人的概率为0.6.求: (1)在一轮比赛中,甲的得分ξ的分布列; (2)在两轮比赛中,甲的得分η的期望和方差. 【解析】(1)由题意可知,ξ的可能取值为-1,0,1,P(ξ=-1)=0.3×0.6=0.18,P(ξ=0)=0.7×0.6+0.3×0.4=0.54,P(ξ=1)=0.7×0.4=0.28, 所以ξ的分布列为 ξ -1 0 1 P 0.18 0.54 0.28 (2)由题意可知,η的可能取值为-2,-1,0,1,2,P(η=-2)=0.18×0.18=0.032 4,P(η=-1)=2×0.18×0.54=0.194 4,P(η=0)=2×0.18×0.28+0.54×0.54=0.392 4,P(η=1)=2×0.54×0.28=0.302 4,P(η=2)=0.28×0.28=0.078 4, 所以η的分布列为 η -2 -1 0 1 2 P 0.032 4 0.194 4 0.392 4 0.302 4 0.078 4 所以E(η)=(-2)×0.032 4+(-1)×0.194 4+1×0.302 4+2×0.078 4=0.2, D(η)=(-2-0.2)2×0.032 4+(-1-0.2)2×0.194 4+(0-0.2)2×0.392 4+(1-0.2)2×0.302 4 +(2-0.2)2×0.078 4=0.9. 12.(10分)(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中1次,则该队进入第二阶段,由该队的另一名队员投篮3次,每次投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立. (1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率. (2)假设0<p<q. (i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛? (ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛? 【解析】(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分,则甲在第一阶段至少投中1次,乙在第二阶段也至少投中1次,所以比赛成绩不少于5分的概率P=(1-0.63)(1-0.53)=0.686. (2)(i)若甲先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲=[1-(1-p)3]q3,若乙先参加第一阶段比赛,则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙=[1-(1-q)3]p3, 所以P甲-P乙=q3-(q-pq)3-p3+(p-pq)3 =(q-p)(q2+pq+p2)+(p-q)[(p-pq)2+(q-pq)2+(p-pq)(q-pq)]=(p-q)(3p2q2-3p2q-3pq2)=3pq(p-q)(pq-p-q)=3pq(p-q)[(1-p)(1-q)-1]>0,所以P甲>P乙,所以应该由甲参加第一阶段比赛. (ii)若甲先参加第一阶段比赛,比赛成绩X的所有可能取值为0,5,10,15, P(X=0)=(1-p)3+[1-(1-p)3](1-q)3, P(X=5)=[1-(1-p)3]q(1-q)2, P(X=10)=[1-(1-p)3]q2(1-q), P(X=15)=[1-(1-p)3]q3, 所以E(X)=15[1-(1-p)3]q=15(p3-3p2+3p)q; 记乙先参加第一阶段比赛,比赛成绩Y的所有可能取值为0,5,10,15, 同理E(Y)=15(q3-3q2+3q)p, 所以E(X)-E(Y)=15[pq(p+q)(p-q)-3pq(p-q)]=15(p-q)pq(p+q-3)>0, 所以应该由甲参加第一阶段比赛. 创新提分练 13.(5分)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的油漆面数为X,则X的均值E(X)= (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意知X=0,1,2,3,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 14.(5分)某老师从课本上抄录的一个随机变量X的分布列如表: X 1 2 3 P ? ! ? 尽管“!”与“?”处无法完全看清,但能肯定两个“?”处的数值相同,据此,E(X)= 2.  【解析】设P(X=1)=P(X=3)=a,P(X=2)=b,则2a+b=1. 于是E(X)=a+2b+3a=2(2a+b)=2. - 5 - 学科网（北京）股份有限公司 $