第9章 第55讲 用样本估计总体(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“用样本估计总体”专题，覆盖百分位数、集中趋势参数（平均数、中位数、众数）、离散程度参数（方差、标准差）及频率分布直方图估计等高考核心考点。依据高考评价体系，通过教材梳理与考点突破，明确各知识点在真题中的考查权重，归纳出百分位数计算、方差性质应用等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+技法总结+素养提升”，融入2023新高考Ⅰ卷、2024新高考Ⅱ卷等真题，如分层随机抽样方差计算、频率分布直方图中位数估计等典型题解析。通过“排序—定位—计算”三步法突破百分位数考点，用数学思维分析数据规律，培养数据观念与运算能力。助力学生掌握答题技巧，教师可依托系统框架实现高效复习教学。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第55讲　用样本估计总体 复习目标 1.能用样本估计总体的集中趋势参数(平均数、中位数、众数),理解集中趋势参数的统计含义. 2.能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差),理解离散程度参数的统计含义. 3.能用样本估计总体的取值规律. 4.能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　百分位数 一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有_____ 的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据____________这个值. 知识点2　平均数、中位数和众数 (1)平均数:=(x1+x2+…+xn). (2)中位数:将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列,处在最______的一个 数据(当数据个数是奇数时)或最中间两个数据的________(当数据个数是偶数 时). (3)众数:一组数据中出现次数______的数据(即频数最大值所对应的样本数据). p% 大于或等于 中间 平均数 最多 返回 知识点3　方差和标准差 (1)方差:s2=(xi-)2或-. (2)标准差:s=. 返回 知识点4　总体方差和总体标准差 (1)一般式:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2=(Yi-)2为总体方差. (2)加权式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=fi(Yi-)2. 返回 常用结论 1.若x1,x2,…,xn的平均数为,那么mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均数为m+a. 2.数据x1,x2,…,xn与数据x1'=x1+a,x2'=x2+a,…,xn'=xn+a的方差相等,即数据经过平移后方差不变. 3.若x1,x2,…,xn的方差为s2,那么ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为a2s2. 4.众数、中位数(百分位数)、平均数与频率分布直方图的关系: (1)众数:最高的小矩形底边中点的横坐标. (2)中位数:从左侧开始满足小矩形面积和为0.5的横坐标的值. (3)平均数:每个小矩形底边中点的横坐标与对应频率的积的和. (4)对于数据组[a,b),a以下的数据比例为m%,b以下的数据比例为n%,若m≤p<n,则第p百分位数为a+(b-a)·. 返回 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,4 1 3 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对一组数据来说,平均数和中位数总是非常接近.(　 　) (2)方差与标准差具有相同的单位.(　 　) (3)如果一组数中每个数减去同一个非零常数,则这组数的平均数改变,方差不变. (　 　) (4)在频率分布直方图中,最高的小矩形底边中点的横坐标是众数的估计值.(　 　) × × √ √ 返回 2.(必修第二册P206·探究变式)平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关,在如图两种分布形态中,a,b,c,d分别对应平均数和中位数之一,则可能的对应关系是(　　) A.a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数 B.a为平均数,b为中位数,c为平均数,d为中位数 C.a为中位数,b为平均数,c为中位数,d为平均数 D.a为平均数,b为中位数,c为中位数,d为平均数 返回 【解析】选A.在频率分布直方图中,中位数两侧小矩形的面积和相等,平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标乘以小矩形的面积之和近似代替,结合两个频率分布直方图得: a为中位数,b为平均数,c为平均数,d为中位数. 返回 3.若数据x1,x2,…,x9的方差为2,则数据2x1,2x2,…,2x9的方差为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 【解析】选D.根据方差的性质可知,数据x1,x2,…,x9的方差为s2=2,则数据2x1,2x2,…,2x9的方差为22s2=8. 返回 4.(必修第二册P204·T2变式)某车间12名工人一天生产某产品的质量(单位:kg)分别为13.8,13,13.5,15.7,13.6,14.8,14,14.6,15,15.2,15.8,15.4,则所给数据的第25,50,75百分位数分别是________________.  【解析】将12个数据按从小到大排序:13,13.5,13.6,13.8,14,14.6,14.8,15,15.2, 15.4,15.7,15.8. 由i=12×25%=3,得所给数据的第25百分位数是第3个数据与第4个数据的平均数,即=13.7; 返回 由i=12×50%=6,得所给数据的第50百分位数是第6个数据与第7个数据的平均数,即=14.7; 由i=12×75%=9,得所给数据的第75百分位数是第9个数据与第10个数据的平均数,即=15.3. 答案:13.7,14.7,15.3 返回 考点突破 强技能 返回 考点一总体百分位数的估计 题组练通 角度1　计算一组数据的第p百分位数 1.某中学高一年级8名学生某次考试的数学成绩(满分150分)分别为85,90,93,99,101,103,116,130,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为(　　) A.102 B.103 C.109.5 D.116 【解析】选C.这组数据已经按照由小到大的顺序排列,8×75%=6,则这8名学生数学成绩的第75百分位数为第6个数与第7个数的平均数,即为=109.5. 返回 2.一个容量为20的样本,其数据按从小到大的顺序排列为1,2,2,3,5,6,6,7,8,8,9,10, 13,13,14,15,17,17,18,18,则该组数据的第75百分位数为________,第86百分位数为________.  【解析】因为75%×20=15,所以第75百分位数为=14.5.因为86%×20=17.2,所以第86百分位数为第18个数据17. 答案:14.5　17 返回 3.若数据3.2,3.4,3.8,4.2,4.3,4.5,x,6.6的第65百分位数是4.5,则实数x的取值范围是________.  【解析】因为8×65%=5.2,所以这组数据的第65百分位数是第6个数据为4.5, 所以有5个数据小于4.5,则x≥4.5. 答案:[4.5,+∞) 返回 4.如图所示是由某市3月1日至3月10日的最低气温(单位:℃)绘制的折线统计图,由图可知这10天最低气温的第80百分位数是________.  返回 【解析】由题中折线图可知,这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为-3, -2,-1,-1,0,0,1,2,2,2,因为共有10个数据,所以10×80%=8是整数,则这10天最低气温的第80百分位数是=2. 答案:2 返回 角度2　频率分布直方图中第p百分位数 【例1】(2025·温州模拟)为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间,研究人员随机调查了该地区1 000名学生每天进行体育活动的时间,按照活动时间(单位:分钟)分成6组:第一组[30,40),第二组[40,50),第三组[50,60),第四组[60,70),第五组[70,80),第六组[80,90],经整理得到如图的频率分布直方图,则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于区间(　　) A.[50,60) B.[60,70) C.[70,80) D.[80,90] 返回 【解析】选B.由(0.01+0.02+0.03+2a+0.01)×10=1,则a=0.015,又(0.01+0.02+0.03)×10=0.6<0.7<(0.01+0.02+0.03+0.015)×10=0.75,所以第70百分位数位于区间[60,70). 返回 题|组|进|阶 1.如图是根据某班学生在一次体能素质测试中的成绩画出的频率分布直方图,则由直方图得到的第80百分位数为(　　) A.75 B.77.5 C.78 D.78.5 返回 【解析】选D.因为(0.016+0.03)×10=0.46<0.8,(0.016+0.03+0.04)×10=0.86>0.8,所以第80百分位数位于[70,80)内.设第80百分位数为x,则0.46+(x-70)×0.04=0.8,解得x=78.5,所以第80百分位数为78.5. 返回 2.某校举办歌唱比赛,将200名参赛选手的成绩整理后画出频率分布直方图如图,根据频率分布直方图,第40百分位数估计为(　　) A.64 B.65 C.66 D.67 返回 【解析】选C.由题图可知(a+0.015+0.025+0.035+a+0.005)×10=1,所以a=0.010,0.010+0.015+0.025=0.05,即第40百分位数位于区间[60,70),设第40百分位数为x,则=,解得x=66. 返回 3.将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图,则此班的模拟考试成绩的第80百分位数是________.(结果保留两位小数)  返回 【解析】由频率分布直方图可知,分数在120分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03)×10×100%=70%,分数在130分以下的学生所占的比例为(0.01+0.015+0.015+0.03+0.022 5)×10×100%=92.5%, 因此,第80百分位数一定位于[120,130)内. 因为120+×10≈124.44, 所以此班的模拟考试成绩的第80百分位数约为124.44. 答案:124.44 返回 考点二总体集中趋势的估计 【例2】(1)(多选题)(2023·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则(　　) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差 返回 【解析】选BD.取x1=1,x2=x3=x4=x5=2,x6=9,则x2,x3,x4,x5的平均数等于2,标准差为0,x1,x2,…,x6的平均数等于3,标准差为,故A,C均不正确;根据中位数的定义,将x1,x2,x3,x4,x5,x6按从小到大的顺序进行排列,中位数是中间两个数的平均数,由于x1是最小值,x6是最大值,故x2,x3,x4,x5的中位数是x2,x3,x4,x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的平均数,与x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数相等,故B正确;根据极差的定义,知x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,x3,x4,x5,x6的极差,故D正确. 返回 (2)(2024·新高考Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并部分整理如下表所示: 亩产量z [900,950) [950,1 000) [1 000,1 050) 生产数 6 12 18 亩产量 [1 050,1 100) [1 100,1 150) [1 150,1 200] 生产数 30 24 10 根据表中数据,下列结论中正确的是(　　) A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间 返回 【解析】选C.对于A,因为前3组的频率之和为0.06+0.12+0.18=0.36<0.5,前4组的频率之和为0.36+0.30=0.66>0.5,所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100),故A不正确; 对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%=66%,故B不正确; 对于C,因为1 200-900=300,1 150-950=200,所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间,故C正确; 对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6+975×12+1 025×18+1 075×30+ 1 125×24+1 175×10)=1 067(kg),故D不正确. 返回 解题技法 频率分布直方图中的数字特征 1.众数:最高小长方形的底边中点的横坐标. 2.中位数:中位数左边和右边的小长方形的面积和应该相等. 3.平均数:平均数在频率分布直方图中等于各组区间的中点值与对应频率之积的和. 返回 【训练1】　为了普及环保知识,增强环保意识,某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛,得分(10分制)的频数分布表如表: 得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数 2 3 10 6 3 2 2 2 设得分的中位数为me,众数为m0,平均数为,则(　　) A.me=m0= B.me=m0< C.me<m0< D.m0<me< 返回 【解析】选D.由题中频数分布表知,众数m0=5,中位数是从小到大排列的第15个数与第16个数的平均数,由题表知第15个数是5,第16个数是6,所以中位数me==5.5,平均数=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)=,所以m0<me<. 返回 考点三总体离散程度的估计 角度1　分层随机抽样的方差与标准差 【例3】(1)已知一组数x1,x2,…,xn的方差是4,则2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的标准差是________.  【解析】因为数据x1,x2,…,xn的方差为4,所以数据2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的方差为22×4=16,所以数据2x1-1,2x2-1,…,2xn-1的标准差为=4. 答案:4 返回 (2)某学校有男生400人,女生600人.为了调查该校全体学生每天的睡眠时间,采用分层随机抽样的方法抽取样本,计算得男生每天睡眠时间的均值为7.5小时,方差为1,女生每天睡眠时间均值为7小时,方差为0.5.若男、女样本量按比例分配,则可估计总体方差为________.  【解析】由题意得,总体的均值为×7.5+×7=7.2,根据分层随机抽样的性质,则总体的方差为×[1+(7.5-7.2)2]+×[0.5+(7-7.2)2]=0.436+0.324=0.76. 答案:0.76 返回 解题技法 计算分层随机抽样的方差的步骤 第一步:确定,,,; 第二步:确定; 第三步:应用公式s2=·[+(-)2]+·[+(-)2],计算s2. 返回 【训练2】　某校有高中生2 000人,为了获得该校全体高中生的身高信息,抽取了男、女生样本量均为25的样本,计算得到男生样本的均值为170,方差为16,女生样本的均值为160,方差为20,则总样本的方差为________.  【解析】因为男生样本的均值为170,女生样本的均值为160,所以总样本的均值为×170+×160=165,所以总样本的方差s2=×[16+(170-165)2]+×[20+(160-165)2]=43. 答案:43 返回 角度2　方差与标准差 【例4】(2023·全国乙卷)某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率.甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. 返回 (1)求,s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高(如果≥2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高). 返回 【解析】(1)由题意可知,zi=xi-yi(i=1,2,…,10)的值分别为:9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12, 所以=×(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11, s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+0+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=61. (2)由(1)知:=11,2=2=,故有≥2 , 所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 返回 解题技法 利用样本的方差、标准差解决优化决策问题的依据 1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大,越不稳定;标准差、方差越小,数据的离散程度越小,越稳定. 2.用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征. 返回 【训练3】　为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛,A,B两位同学在学校实习基地现场进行加工直径为20 mm的零件的测试,他俩各加工的10个零件的相关数据依次如图和下表所示(单位:mm). 项目 平均数 方差 完全符合要求的个数 A 20 0.026 2 B 20 5 返回 根据测试得到的有关数据,试解答下列问题: (1)考虑平均数与完全符合要求的个数,你认为谁的成绩好些? (2)计算出的大小,考虑平均数与方差,说明谁的成绩好些? (3)考虑图中折线走势及竞赛中加工零件个数远远超过10个的实际情况,你认为派谁去参赛较合适?请说明你的理由. 返回 【解析】 (1)因为A,B两位同学成绩的平均数相同,且B同学完全符合要求的个数比A同学完全符合要求的个数多,由此认为B同学的成绩好些. (2)因为=×[5×(20-20)2+3×(19.9-20)2+(20.1-20)2+(20.2-20)2]=0.008, 且=0.026,所以>.故在平均数相同的情况下,B同学的成绩波动性小,所以B同学的成绩好些. (3)从题图中折线走势可知,尽管A同学的成绩前面起伏较大,但后来逐渐稳定,误差小,预测A同学的潜力大,可选派A同学去参赛. 返回 $