核心素养测评(第10章 第61讲 随机事件的概率、古典概型)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

圆学子梦想 铸金字品牌 核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 七十一　随机事件的概率、古典概型 基础保分练 一、单选题 1.(5分)把语文书、数学书、英语书三本书随机分给甲、乙、丙三位同学,每人一本,记事件A=“甲分得语文书”,事件B=“乙分得数学书”,事件C=“丙分得英语书”,则下列说法正确的是 (　　) A.A与B是不可能事件 B.A∪B∪C是必然事件 C.A与B不是互斥事件 D.B与C既是互斥事件也是对立事件 【解析】选C.事件A,事件B,事件C都是随机事件,可能发生,也可能不发生,故A,B错误;事件A,事件B可能同时发生,故事件A与事件B不互斥,C正确;事件B与事件C既不互斥,也不对立,D错误. 2.(5分)从1~9这9个数中随机选择一个数,则这个数平方的个位数字大于5的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意知从1~9这9个数中随机选择一个数,共有9种选法,其中这个数平方的个位数字大于5的数字是3,4,6,7,故这个数平方的个位数字大于5的概率为. 3.(5分)在手工课上,老师将5个环(颜色分别为蓝、黑、红、黄、绿)分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得一个,则事件“甲分得红环”与“乙分得红环” (　　) A.是对立事件 B.是不可能事件 C.是互斥但不是对立事件 D.不是互斥事件 【解析】选C.甲、乙不可能同时得到红环,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红环,即事件“甲或乙分得红环”不是必然事件,故这两个事件不是对立事件. 4.(5分)奥林匹克标志由5个奥林匹克环套接组成,五环象征五大洲的团结以及全世界的运动员以公正、坦率的比赛和友好的精神在奥林匹克运动会上相见.5个奥林匹克环共有8个交点,从中任取3个点,则这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.从8个点中任取3个点,共有=56种情况,这3个点恰好位于同1个奥林匹克环上有3×=12种情况,故所求的概率P==. 5.(5分)(2024·深圳模拟)从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,若这三个数之积为偶数,则它们之和大于8的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选D.从1,2,3,4,5中随机选取三个不同的数,这三个数之积为偶数的样本点有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共9个, 它们之和大于8的样本点有(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共5个, 故所求概率为. 6.(5分)(2025·张家口质检)已知a是1,3,3,5,7,8,10,11的第75百分位数,在1,3,3,5,7,8,10,11中随机取两个数,这两个数都小于a的概率为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.因为8×75%=6,所以a==9,8个数中有6个数小于9, 所以随机取两个数,这两个数都小于a的概率为=. 二、多选题 7.(5分)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有 (　　) A.2张卡片不全为红色 B.2张卡片中恰有一张为红色 C.2张卡片中至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色 【解析】选BD.C中“2张卡片中至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥; A中“2张卡片不全为红色”与“2张卡片都为红色”是对立事件.B,D正确. 8.(5分)某饮料厂商开发了一种新的饮料,为了促销,每箱装的6瓶饮料中有2瓶瓶盖上分别印有“一等奖”“二等奖”,其余4瓶印有“谢谢惠顾”.甲从新开的一箱中任选2瓶购买,设事件A表示“甲没有中奖”,事件B表示“甲获得一等奖”,事件C表示“甲中奖”,则 (　　) A.事件A和事件B是对立事件 B.事件A和事件C是对立事件 C.P(B∪C)=P(C) D.P(BC)=P(C) 【解析】选BC.因为A∪B表示“甲没有中奖或甲获得一等奖”,但甲可能获得二等奖,即事件A和事件B不是对立事件,故A错误;事件A表示“甲没有中奖”,事件C表示“甲中奖”,则事件A和事件C是互斥事件且和事件为必然事件,则事件A和事件C是对立事件,故B正确;又因为B⊆C,所以P(B∪C)=P(C),故C正确;P(BC)=P(B),故D错误. 三、填空题 9.(5分)甲、乙两人要在一排六个空座上就坐,则甲、乙中间有空位的概率为.  【解析】甲、乙两人要在一排六个空座上就坐,则有=30种坐法,而甲、乙相邻的坐法有5=10种坐法,则甲、乙中间有空位的概率P==. 10.(5分)(2024·海南联考)从不包含大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,设事件A=“抽到红心”,事件B=“抽到方片”,且P(A)=P(B)=,记事件C=“抽到黑花色”,则P(C)=.  【解析】记事件D=“抽到红花色”.因为D=A∪B,且A,B不会同时发生,所以A,B是互斥事件,则P(D)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=.又因为C,D互斥,且C∪D是必然事件,所以C,D互为对立事件,所以P(C)=1-P(D)=. 四、解答题 11.(10分)某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如表: 上年度出 险次数 0 1 2 3 4 ≥5 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表: 出险次数 0 1 2 3 4 ≥5 频数 60 50 30 30 20 10 (1)记事件A为“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记事件B为“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值. 【解析】(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3. (3)由所给数据得 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率 0.30 0.25 0.15 0.15 0.10 0.05 调查的200名续保人本年度的平均保费为 0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a. 12.(10分)(2025·荆州模拟)在试验E:“连续抛掷一枚质地均匀的正方体骰子2次,观察每次掷出的点数”中,事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”,事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”. (1)试用样本点表示事件A∩B与A∪B; (2)试判断事件A与事件B,事件A与事件C,事件B与事件C是不是互斥事件; (3)试用事件Aj表示随机事件A. 【解析】由题意可知试验E的样本空间为{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}. (1)因为事件A表示随机事件“第一次掷出的点数为1”,所以满足条件的样本点有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6). 因为事件B表示随机事件“两次掷出的点数之和为6”,所以满足条件的样本点有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1). 所以A∩B={(1,5)},A∪B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. (2)因为事件C表示随机事件“第二次掷出的点数比第一次的大3”,所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}. 因为A∩B={(1,5)}≠⌀,A∩C={(1,4)}≠⌀,B∩C=⌀,所以事件A与事件B,事件A与事件C不是互斥事件,事件B与事件C是互斥事件. (3)因为事件Aj(j=1,2,3,4,5,6)表示随机事件“第一次掷出的点数为1,第二次掷出的点数为j”, 所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A3={(1,3)},A4={(1,4)},A5={(1,5)},A6={(1,6)}, 所以A=A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6. 创新提分练 13.(5分)(2024·郑州质检)如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么 (　　) A.A∪B是必然事件 B.∪是必然事件 C.与一定互斥 D.与一定不互斥 【解析】选B.如图①所示,A∪B不是必然事件,∪是必然事件,与不互斥; 如图②所示,A∪B是必然事件,∪是必然事件,与互斥. 14.(5分)(2024·聊城模拟)若互不相等的实数m,n,s,t满足mn=st,则称m,n,s,t具有“准等比”性质.现从2,4,8,16,32,64,128这7个数中随机选取4个不同的数,则这4个数具有“准等比”性质的概率为.  【解析】从7个数中随机选取4个不同的数共有=35种不同的选法. 因为2=21,4=22,8=23,16=24,32=25,64=26,128=27, 所以具有“准等比”性质的4个数有{2,16,4,8},{2,32,4,16},{2,64,8,16},{2,64,4,32},{2,128,4,64},{2,128,8,32},{8,16,4,32},{4,64,8,32},{4,128,16,32},{4,128,8,64},{16,32,8,64},{16,64,8,128},{32,64,16,128},共13种. 所以这4个数具有“准等比”性质的概率为. - 7 - 学科网（北京）股份有限公司 $