核心素养测评(第10章 第60讲 二项式定理) (配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

圆学子梦想 铸金字品牌 核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 七十　二项式定理 基础保分练 一、单选题 1.(5分)二项式的展开式中常数项等于 (　　) A.60 B.-60 C.15 D.-15 【解析】选A.Tr+1==(-2)r.当3-r=0,即r=2时,故常数项为T3=(-2)2=60. 2.(5分)已知二项式(x+)5的展开式中的系数是10,则实数a等于 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 【解析】选B.二项式(x+)5的展开式为·x5-k·(ax-1)k=ak··x5-2k, 令5-2k=-1,解得k=3, 所以a3·=10a3=10,a=1. 3.(5分)若(1+3x)2+(1+2x)3+(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a0+a1+a2+a3+a4等于 (　　) A.49 B.56 C.59 D.64 【解析】选C.令x=1,则a0+a1+a2+a3+a4=(1+3)2+(1+2)3+(1+1)4=59. 4.(5分)(x+1)24的展开式中,系数最大的项是 (　　) A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 【解析】选C.因为(x+1)24的展开式的通项为Tr+1=x24-r,r≤24,r∈N, 又当r=12时,取最大值, 则其系数最大的项是第13项. 5.(5分)(2024·张家口模拟)(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为 (　　) A.-5 B.5 C.-10 D.10 【解析】选A.(1+x)5的展开式通项为Tr+1=xr, 则(1-x2)(1+x)5的展开式中x4项为x4-x2·x2=(-)x4=-5x4, 所以(1-x2)(1+x)5的展开式中x4的系数为-5. 6.(5分)(x-y+3)5的展开式中,x3y的系数为 (　　) A.80 B.60 C.-80 D.-60 【解析】选D.(x-y+3)5=[x+(3-y)]5,则其展开式通项为Tk+1=x5-k(3-y)k,0≤k≤5,k∈N,令k=2,则(x-y+3)5的展开式中含x3的项为x3(3-y)2=10x3(9-6y+y2)=90x3-60x3y+10x3y2,所以x3y的系数为-60. 二、多选题 7.(5分)关于二项式(x2-)8的展开式,下列结论正确的是 (　　) A.展开式所有项的系数和为-1 B.展开式二项式系数和为256 C.展开式中第5项为1 120x4 D.展开式中不含常数项 【解析】选BCD.A中:令x=1,有(-1)8=1,A错; B中:28=256,B对; C中:Tk+1=(x2)8-k(-2x-1)k =(-2)kx16-3k(k=0,1,2,…,8), 则k=4时,(-2)4x4=1 120x4,C对; D中:由C选项解析可得16-3k≠0恒成立,D对. 【加练备选】 (多选题)若x5=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a5(1-x)5,其中ai(i=0,1,2,…,5)为实数,则(　　) A.a0=0 B.a3=-10 C.a1+a3+a5=-16 D.a1+a2+…+a5=1 【解析】选BC.A.令1-x=0,则x=1,则a0=1,故A错误; B.因为x5=[1-(1-x)]5,所以展开式中含(1-x)3的系数为·(-1)3=-10,故B正确; C.令1-x=1,则x=0,则a0+a1+a2+…+a5=0, 令1-x=-1,则x=2,则a0-a1+…-a5=25=32,所以a1+a3+a5==-16,故C正确; D.a1+a2+…+a5=0-a0=-1,故D错误. 8.(5分)已知二项式(3x-1)n的展开式中各项系数的和为128,则下列结论中正确的有 (　　) A.展开式共有7项 B.展开式中各二项式系数的和为128 C.展开式中只有第4项的二项式系数最大 D.展开式中的常数项为-1 【解析】选BD.由题意知,当x=1时,2n=128,所以n=7.二项式(3x-1)7的展开式共有8项,故A错误;展开式中各二项式系数的和为27=128,故B正确;展开式中第4项和第5项的二项式系数最大,故C错误;展开式中的常数项为(-1)7=-1,故D正确. 三、填空题 9.(5分)若的展开式中第5项为常数项,则该常数项为60.(用数字表示)  【解析】的展开式的第r+1项为 Tr+1==2n-rx2n-2r(-1)rx-r=2n-r(-1)rx2n-3r, 因为第5项为常数项, 所以r=4,所以2n-12=0,n=6, T5=22(-1)4=15×4=60. 10.(5分)(2025·南平模拟)在(2+x)的展开式中,x3的系数为240.  【解析】(2+x)=2+x, 二项式的通项为··(-2x)r=·(-2)r·x2r-6, 其中的展开式中不含x3的项, 含x2的项为·(-2)4x2=240x2, 所以(2+x)的展开式中含x3的项为240x3,故x3的系数为240. 四、解答题 11.(10分)在(2x+)n(n≥3,n∈N*)的展开式中,第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列. (1)证明展开式中不存在常数项; (2)求展开式中所有的有理项. 【解析】(1)因为第2,3,4项的二项式系数依次成等差数列, 所以2=+, 整理得n2-9n+14=0(n≥3),解得n=7, 所以通项Tk+1=(2x)7-k()k =27-k,k=0,1,2,…,7, 令7-k=0,解得k=∉Z,因此展开式中没有常数项. (2)令7-k∈Z,则k=0,2,4,6. k=0,T1=27x7=128x7, k=2,T3=25x4=672x4, k=4,T5=23x=280x, k=6,T7=2x-2=14x-2 则展开式中所有的有理项为T1=128x7,T3=672x4,T5=280x,T7=14x-2. 【加练备选】 在的展开式中,第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为2∶1. (1)求n的值; (2)求展开式中含x4的项的二项式系数;(用数字作答) (3)求值:+3+…+(2k-1)+…+(2n-1). 【解析】(1)由题意可得=2,即=,即n-2=6,故n=8. (2)由(1)知=, 其展开式的通项Tr+1=(2x)8-r=·28-r·3r·,r=0,1,2,…,8, 令8-r=4,解得r=3, 故展开式中含x4项的二项式系数为=56. (3)+3+…+(2k-1)+…+(2n-1) =2+4+…+14+16-(++…++) =2(+2+…+7+8)-(28-1), 由k=k· = =n· =n, 故+2+…+7+8=8(++…++)=8×27=210, 故原式=2×210-(28-1)=2 048-256+1=1 793. 12.(10分)在①只有第5项的二项式系数最大;②第4项与第6项的二项式系数相等;③奇数项的二项式系数的和为128,这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并解答问题. 已知(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),______________.  (1)求++…+的值; (2)求a1+2a2+3a3+…+nan的值. 【解析】(1)若选①: 因为只有第5项的二项式系数最大, 所以展开式中共有9项,即n+1=9,得n=8. 若选②: 因为第4项与第6项的二项式系数相等, 所以=⇒n=8. 若选③: 因为奇数项的二项式系数的和为128, 所以2n-1=128,解得n=8. 所以(2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 令x=, 则有(2×-1)8=a0+++…+, 即有a0+++…+=0, 令x=0,得a0=1, 所以++…+=-a0=-1. 综上所述,++…+=-1. (2)由(1)可知,n=8, (2x-1)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8, 两边求导得16(2x-1)7=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7, 令x=1, 则有16=a1+2a2+3a3+…+8a8, 所以a1+2a2+3a3+…+8a8=16. 创新提分练 13.(5分)(多选题)已知(+x)n=a0+a1(x-1)+…+an(x-1)n,n≥3,n∈N*,若a3≥ai(i=0,1,2,…,n),则n的可能值为 (　　) A.6 B.8 C.11 D.13 【解析】选BC.依题意, (+x)n =[1+(x-1)]n, 所以ai(x-1)i=·[(x-1) ]i =()i··(x-1)i, 依题意,其中y=1,2,3,…,n-1, 化简得继续化简得 即 依题意,a3≥ai,所以解得8≤n≤11. 14.(5分)(多选题)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出著名的杨辉三角,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.如图所示,由杨辉三角的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为1,1,2,3,5,8,13,….以下关于杨辉三角的猜想中正确的是 (　　) A.由“与首末两端等距离的两个二项式系数相等”猜想= B.由“在相邻两行中,除1以外的每个数都等于它肩上的两个数之和”猜想=+ C.第9条斜线上各数之和为55 D.在第n(n≥5)条斜线上,各数从左往右先增大后减小 【解析】选ABD.根据二项式系数的性质,结合杨辉三角即可得=,=+成立,故A,B正确; 第1条斜线上的数为,第2条斜线上的数为,第3条斜线上的数为,,第4条斜线上的数为,,第5条斜线上的数为,,,第6条斜线上的数为,,,第7条斜线上的数为,,,,…, 由此,归纳得到,第2n(n∈N*)条斜线上的数依次为,,,…,, 第(2n+1)(n∈N)条斜线上的数依次为,,,…,. 所以第9条斜线上各数为,,,,,其和为++++=1+7+15+10+1=34,故C错误; 在第n(n≥5)条斜线上,各数从左往右先增大后减小,故D正确. - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $