第9章 第57讲 列联表与独立性检验(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦列联表与独立性检验专题，涵盖分类变量、2×2列联表结构、χ²统计量计算及应用等核心考点，按“教材梳理夯基础—考点突破强技能—真题变式练能力”逻辑架构，通过知识点辨析、题组训练、解题技法总结等环节，帮助学生系统掌握独立性检验的完整流程。 教案突出真题导向与分层设计，精选八省联考、青岛模拟等典型例题，引导学生在列联表数据补全、χ²值精确计算中培养数据意识和推理能力。设置基础自测（易错辨析）、考点精练（题组递进）、综合应用（跨知识交会）三级训练，助力学生高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第57讲　列联表与独立性检验 复习目标 1.通过实例,理解2×2列联表的统计意义. 2.通过实例,了解2×2列联表独立性检验及其应用. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　分类变量 为了表述方便,我们经常会使用一种特殊的随机变量,以区别不同的现象或性质,这类随机变量称为分类变量.分类变量的取值可以用实数表示. 知识点2　列联表与独立性检验 (1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表: X Y 合计 Y=0 Y=1 X=0 a b a+b X=1 c d c+d 合计 a+c b+d n=a+b+c+d (2)计算随机变量χ2=,利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验. 如表为5个常用的小概率值和相应的临界值. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 [注意点]独立性检验是对两个分类变量有关系的可信程度的判断,而不是对其是否有关系的判断,χ2越大,认为两个分类变量有关系的把握越大. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2 1 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)2×2列联表中的数据是两个分类变量的频数.(　√　) (2)事件A和B的独立性检验无关,即两个事件互不影响.(　×　) (3)χ2的大小是判断事件A和B是否相关的统计量.(　√　) (4)在2×2列联表中,若|ad-bc|越小,则说明两个分类变量之间关系越强.(　×　) 2.(选择性必修三P132·例3变式)某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况,具体数据如表所示: 性别 主修专业 合计 非统计专业 统计专业 男 13 10 23 女 7 20 27 合计 20 30 50 为了判断主修专业是否与性别有关系,根据表中的数据,得到χ2=≈4.844,因为χ2>3.841,所以判定主修专业与性别有关系,那么这种判断出错的可能性________0.05(填“大于”或“小于”).  附: α 0.1 0.05 0.01 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】因为χ2>3.841=x0.05,所以依据小概率值α=0.05的独立性检验,认为主修专业与性别有关,这种判断出错的可能性小于0.05. 答案:小于 考点突破强技能 考点一列联表与χ2的计算 题组练通 1.为了解某大学的学生是否喜欢体育锻炼,用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生,得到如下2×2列联表: 项目 男 女 合计 喜欢 a b 73 不喜欢 c 25 合计 74 则a-b-c等于(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】选C.根据题意,可得c=120-73-25=22,a=74-22=52,b=73-52=21, 补充完整2×2列联表为: 项目 男 女 合计 喜欢 52 21 73 不喜欢 22 25 47 合计 74 46 120 所以a-b-c=52-21-22=9. 2.为加强素质教育,使学生各方面全面发展,某学校对学生文化课与体育课的成绩进行了调查统计,结果如表: 项目 体育课不及格 体育课及格 合计 文化课及格 57 221 278 文化课不及格 16 43 59 合计 73 264 337 在对体育课成绩与文化课成绩进行独立性检验时,根据以上数据可得到χ2的值约为(　　) A.1.255 B.38.214 C.0.003 7 D.2.058 【解析】选A.χ2==≈1.255. 3.某次国际会议为了搞好对外宣传工作,会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作,在如表 “性别与是否会外语”的2×2列联表中,a+b+d=________.  项目 会外语 不会外语 合计 男 a b 20 女 6 d 合计 18 50 【解析】由题意得a+b+d+6=50,所以a+b+d=50-6=44. 答案:44 解题技法 2×2列联表是4行4列,计算时要准确无误,关键是对涉及的变量分清类别. 考点二独立性检验 【例1】(2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表: 药物 疾病 合计 未患病 患病 未服用 100 80 s 服用 150 70 220 合计 250 t 400 (1)求s,t; (2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值; (3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效? 附:χ2=. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【解析】(1)s=100+80=180,t=80+70=150. (2)p==. (3)零假设H0:药物A对预防疾病B无效. 根据题中列联表中的数据可求得 χ2==≈6.73>6.635, 根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验,可充分推断H0不成立, 所以在犯错误概率不超过0.01的情况下可认为药物A对预防疾病B有效. 解题技法 独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据列出2×2列联表. (2)利用公式χ2=计算χ2. (3)如果χ2>xα,则“X与Y有关系”这种推断犯错误的概率不超过α;否则,就认为在犯错误的概率不超过α的前提下不能推断“X与Y有关系”,或者在样本数据中没有发现足够的证据支持结论“X与Y有关系”. 【训练1】　 (2025·曲靖模拟)为增强学生体质,促进学生身心全面发展,某调研小组调查某中学男女生晨跑的情况,现随机对80名学生进行调研,得到的统计数据如表所示: 项目 参加晨跑 不参加晨跑 合计 男生 32 8 40 女生 10 30 40 合计 42 38 80 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (1)分别求男生和女生中参加晨跑的概率; (2)依据小概率值α=0.005的独立性检验,能否认为学生是否参加晨跑与性别有关. 【解析】(1)由题意可得, 女生中参加晨跑的概率为P==, 男生中参加晨跑的概率为P==. (2)零假设为H0:学生是否参加晨跑与性别无关. χ2==≈24.261>7.879, 依据小概率值α=0.005的独立性检验,推断H0不成立,故可认为学生是否参加晨跑与性别有关. 考点三独立性检验的综合应用 【例2】(2024·青岛模拟)某超市正在销售一种饮品,销售人员发现日销量与当日的气温有关,随着气温的升高,销售量也有明显的增加,如表是该商场连续五天的日销售情况: 温度/℃ [19,20) [20,21) [21,22) [22,23) [23,24] 温度变量xi 1 2 3 4 5 销售量yi/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中i=1,2,3,…,温度变量xi对应的销售量为yi. (1)建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型,并估计温度在[24,25)(xi=6)区间时的该饮品的日销售量. 附:=,=-. (2)为了了解消费群体中男、女对该饮品的喜欢程度,销售人员随机采访了220名消费者,将他们的意见进行统计,得到了2×2列联表为: 项目 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为对饮品的喜欢程度与性别有关联? 附:χ2=,n=a+b+c+d. α 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 (3)超市销售该饮品一个阶段后,统计了100天的日销售量,将100个样本数据分成[10,30),[30,50),[50,70),[70,90),[90,110)(单位:百份)五组,并绘制了如图所示的频率分布直方图. 根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量. 【解析】(1)=×(1+2+3+4+5)=3,=×(0.3+0.3+0.5+0.9+1)=0.6, xiyi-5 =1×0.3+2×0.3+3×0.5+4×0.9+5×1-5×3×0.6=2, -5=(1+4+9+16+25)-5×9=10, 所以==0.2,=0.6-0.2×3=0, 销售量关于温度变量的线性回归方程为=0.2x, 当x=6,y=1.2,所以温度在[24,25)区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. (2)提出零假设H0:对饮品的喜欢程度与性别无关. χ2= =≈9.17>6.635=x0.01.所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为对饮品的喜欢程度与性别有关. (3)设100天的日均销售量为, 则=(20×0.005+40×0.01+60×0.015+80×0.012 5+100×0.007 5)×20=63, 所以这100天的日均销售量约为6 300份. 解题技法 独立性检验解题策略 (1)分清分类变量是什么; (2)计算χ2时注意运算顺序、运算技巧的应用; (3)注意与其他统计知识的交会运用. 【训练2】　(2024·武汉部分学校调研)某校为了解学生对紧急避险知识的掌握情况,从全校学生中随机选取200名学生进行紧急避险知识测试,其中男生110名,女生90名.所有学生的测试成绩(单位:分)都在区间[50,100]内,将成绩按[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分组后,可作出如图所示的频率分布直方图. (1)若从频率分布直方图中估计出样本的平均数与中位数相等,求图中m的值; (2)规定测试成绩不低于80分为优秀,已知共有45名男生成绩优秀,完成列联表,根据小概率值α=0.05的独立性检验,能否推断测试成绩是否优秀与性别有关联? 性别 测试成绩 合计 优秀 不优秀 男 45 女 合计 参考公式与数据: χ2=. α 0.1 0.05 0.01 xα 2.706 3.841 6.635 【解析】(1)依题意知,频率分布直方图中左起第一个小矩形的高为-m-0.04-0.025-0.01=0.025-m, 样本平均数的估计值为10×[(0.025-m)×55+m×65+0.04×75+0.025×85+0.01×95] =74.5+100m. 显然样本数据落在区间[80,100]内的频率为0.25+0.1=0.35,落在[70,100]内的频率为0.4+0.35=0.75,因此样本中位数在区间[70,80)内,其估计值为70+=76.25,则74.5+100m=76.25,解得m=0.017 5. (2)成绩优秀的总人数为200×10×(0.025+0.01)=70, 则可得到完整的列联表如表: 性别 测试成绩 合计 优秀 不优秀 男 45 65 110 女 25 65 90 合计 70 130 200 零假设为H0:测试成绩是否优秀与性别无关联.根据表中数据可得χ2==≈3.752<3.841=,所以根据小概率值α=0.05的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为测试成绩是否优秀与性别无关联. - 11 - 学科网（北京）股份有限公司 $