第9章 第54讲 随机抽样、统计图表(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦随机抽样和统计图表核心考点，按概念-方法-应用逻辑梳理总体样本、简单随机抽样、分层随机抽样及统计图表等知识，通过教材梳理、基础自测、考点突破环节，帮助学生构建统计知识体系，突破抽样计算和图表分析难点。 资料采用分层教学和真题驱动策略，如分层随机抽样中结合样本均值方差公式推导培养数学思维，频率分布直方图通过“频率=面积”训练数据处理能力，设置基础巩固与能力提升题组，助力学生高效掌握统计应用，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

第九章统计与成对数据的统计分析 第54讲　随机抽样、统计图表 复习目标 1.知道获取数据的基本途径.了解总体、样本、样本量的概念. 2.掌握两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法. 3.了解分层随机抽样的特点和适用范围,掌握各层样本量比例分配的方法. 4.在简单的实际情境中,能根据实际问题的特点,设计恰当的抽样方法解决问题. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　总体、个体、样本 调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为个体,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为样本,样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量. 知识点2　简单随机抽样 抽签法和随机数法是比较常用的两种简单随机抽样的方法. 知识点3　分层随机抽样 (1)分层随机抽样的相关概念 一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行简单随机抽样,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配. (2) 分层随机抽样的样本均值与样本方差 ①在分层随机抽样中,以层数是2层为例,如果第1层和第2层包含的个体数分别是M,N,抽取的样本量分别为m,n,第1层和第2层的样本平均数分别为,,样本平均数为,则= +=+ . ②在分层随机抽样中,以层数是2层为例,如果抽取的样本量为n,样本平均数为,第1层和第2层的样本量分别为n1,n2,样本平均数分别为,,方差分别为,,则样本方差s2= __.  知识点4　统计图表 (1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等. (2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义. 常用结论 1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的. 2.分层随机抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比. 3.在频率分布直方图中小长方形的高=;小长方形的面积=组距×=频率;各小长方形的面积的总和等于1. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)在简单随机抽样中,每个个体被抽到的机会与先后顺序有关.(　×　) (2)抽签法和随机数法都是简单随机抽样.(　√　) (3)在比例分配的分层随机抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　×　) (4)不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体“被抽入样本”的概率是相同的.(　√　) 2.(必修第二册P189·习题T6变式)已知数据x1,x2,x3,…,xn的平均数为5,则数据2x1+1,2x2+1,2x3+1,…,2xn+1的平均数为(　　) A.3 B.5 C.10 D.11 【解析】选D.每个数据都变成原数据的2倍再加1的形式,所以平均数也变成原来平均数的2倍再加1,即11. 3.(必修第二册P189·习题T5变式)某单位有200名职工,其中女职工有60名,男职工有140名,现要从中抽取30名进行调研座谈,如果用比例分配的分层随机抽样的方法进行抽样,则应抽女职工________名.   【解析】设应抽女职工x名,则=, 解得x=9. 答案:9 4.已知某一段公路限速70千米/时,现抽取400辆通过这一段公路的汽车的速度,其频率分布直方图如图所示,则这400辆汽车中在该路段超速的有________辆.  【解析】速度在(70,80]内的频率为 1-(0.01+0.03+0.04)×10=0.2, 所以在(70,80]内的频数为0.2×400=80. 故这400辆汽车中在该路段超速的有80辆. 答案:80 考点突破强技能 考点一简单随机抽样 题组练通 1.(多选题)下列抽取样本的方式,是简单随机抽样的是(　　) A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本 B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验 C.从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验 D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛 【解析】选BC.A不是简单随机抽样,因为被抽取样本的总体的个体数是无限的,而不是有限的;B是简单随机抽样;C是简单随机抽样,因为“一次性”抽取与“逐个”抽取是等价的;D不是简单随机抽样,因为指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不具有随机性,不是等可能的抽样. 2.总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　) 第1行　78　16　62　32　08　02　62　42 62　52　53　69　97　28　01　98 第2行　32　04　92　34　49　35　82　00 36　23　48　69　69　38　74　81 A.19 B.25 C.26 D.27 【解析】选B.由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25, 因此,选出的第5个个体的编号为25. 3.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是(　　) A., B., C., D., 【解析】选A.第一次被抽到,显然为;第二次被抽到,首先第一次不能被抽到,第二次才被抽到,可能性为×=. 4.某市在创建文明城市期间,对某小区的居民按分层随机抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行问卷调查.在这n个个体的样本中,任取1人,抽取到未成年人的概率为0.2,成年人共80人,则n=____________(用数字作答).   【解析】由题可得,n·(1-0.2)=80,n=100. 答案:100 解题技法 1.简单随机抽样满足的条件 (1)被抽取的样本总体的个体数有限;(2)逐个抽取;(3)是不放回抽取;(4)是等可能抽取.(一次性抽取和逐个不放回抽取是等价的) 2.简单随机抽样常有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)、随机数法(适用于个体数较多的情况). 考点二分层随机抽样 【例1】(1)(2023·新高考Ⅱ卷改编)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法进行抽样调查,拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生,已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生,则在初中部和高中部抽取的人数分别为______________.  【解析】由题意得,初中部和高中部学生人数之比为=,所以抽取的60名学生中初中部应有60×=40(人),高中部应有60×=20(人). 答案:40,20 (2)为了解学生的课外阅读情况.某校采用比例分配的分层随机抽样的方法对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位:时)的调查,所得样本数据如表: 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级的总样本平均数为4.1,总样本方差为3.14,则高二年级学生的样本平均数=________,高三年级学生的样本方差=________.  【解析】由高中三个年级学生的总样本平均数为4.1, 可得=4.1,解得=4. 因为总样本方差为3.14, 所以×[3.5+(5-4.1)2]+×[2+(4-4.1)2]+×[+(3-4.1)2]=3.14, 解得=1.5. 答案:4　1.5 解题技法 分层随机抽样中有关计算的方法 (1)抽样比==. (2)在分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为,方差为;第二层的样本量为n,平均值为,方差为, 则样本的平均值为μ==+;方差为s2=[+(μ-)2]+[+(μ-)2]. 【训练1】　(1)某社区为迎接中秋节,组织了隆重的庆祝活动.为全面了解社区居民的文娱喜好,已知参加活动的老年人、中年人、青年人的人数比为10∶13∶12,如果采用比例分配的分层随机抽样方法从所有人中抽取一个70人的样本进行调查,则应抽取的青年人的人数为(　　) A.20 B.22 C.24 D.26 【解析】选C.由比例分配的分层随机抽样的比例关系,可得×70=24(人). (2)某工厂新、旧两条生产线的产量比为7∶3,为了解该工厂生产的一批产品的质量情况,采用比例分配的分层随机抽样的方法从两条生产线抽取样本并计算得:新生产线生产的产品的质量指标的均值为10,方差为1;旧生产线生产的产品的质量指标的均值为9,方差为2,据此估计该批产品的质量指标的均值为________,方差为________.  【解析】根据两条生产线的产量比为7∶3,且新生产线质量指标的均值为10,方差为1,旧生产线质量指标的均值为9,方差为2, 计算该批产品的质量指标的均值为=×(10×7+9×3)=9.7, 则所求的方差为s2=×[2+(9-9.7)2]+×[1+(10-9.7)2]=1.51. 答案:9.7　1.51 考点三统计图表 角度1　扇形图、条形图 【例2】(多选题)(2025·长沙模拟)某统计机构对1 000名拥有汽车的人进行了调查,对得到的数据进行整理并制作了如图所示的统计图,下列关于样本的说法错误的是(　　) A.30岁以上人群拥有汽车的人数为720 B.40~45岁的人群拥有汽车的人数最多 C.55岁以上人群每年购买车险的总费用最少 D.40~55岁的人群每年购买车险的总费用,比18~30岁和55岁以上人群每年购买车险的总费用之和还要多 【解析】选ABC.由1 000×(1-18%)=820,知30岁以上人群拥有汽车的人数为820,故A错误;题图中并没有40~45岁的数据信息,所以由题图得不出40~45岁的人群拥有汽车的人数最多,故B错误;55岁以上人群每年购买车险的总费用约为 1 000×17%×3 100=527 000(元),18~30岁的人群每年购买车险的总费用约为 1 000×18%×2 800=504 000(元),故C错误;40~55岁的人群每年购买车险的总费用约为1 000×40%×3 900=1 560 000(元),1 560 000>527 000+504 000,故D正确. 解题技法 扇形图、条形图的特征 (1)扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系. (2)由条形图可知总体中样本的种类及对应各类样本的数量. 【训练2】　(多选题)某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计,得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2).则下列命题正确的是(　　) A.成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多10 B.成绩排在第1~50名的50人中,高一人数比高二的多 C.成绩排在第51~150名的100人中,高三人数占比可能超过 D.成绩排在第51~100名的50人中,高二人数肯定多于23 【解析】选AC.对于A,成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多200×(30%-25%)=10,故A正确; 对于B,成绩排在第1~50名的50人中,高一人数为200×45%×20%=18,高二和高三的总人数为50-18=32,高二的具体人数不知道,故B错误; 对于C,成绩排在第51~150名的100人中,高一人数为90×(0.3+0.4)=63,高二和高三的总人数为100-63=37,所以高三人数占比有可能超过,故C正确; 对于D,成绩排在第51~100名的50人中,高一学生人数为90×0.3=27,高二人数最多有50-27=23,故D错误. 角度2　折线图 【例3】(多选题)(2025·海南模拟)为了研究某城市甲、乙两个5G智能手机专卖店的销售状况,统计了2024年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元),得到如下的折线图,则下列说法正确的是(　　) A.根据甲店的营业额折线图可知,该店月营业额的平均值在[31,33]内 B.根据乙店的营业额折线图可知,该店月营业额总体呈上升趋势 C.根据甲、乙两店的营业额折线图可知,乙店的月营业额极差比甲店小 D.根据甲、乙两店的营业额折线图可知,7,8,9月份的总营业额甲店比乙店少 【解析】选ABD.甲店月营业额的平均值为×(14+21+26+30+52+47)≈31.7,31.7∈[31,33],所以A正确;根据题中折线图可知乙店的营业额逐月增加,所以总体呈上升趋势,所以B正确;根据题中营业额折线图可知甲店的月营业额极差为52-14=38,乙店的月营业额极差为53-7=46,乙店的月营业额极差比甲店的大,所以C错误;由题中营业额折线图可知,甲店7,8,9月份的总营业额为30+52+47=129(万元),乙店7,8,9月份的总营业额为33+44+53=130(万元),129<130,所以D正确. 解题技法 折线图的特征 折线图可以显示随时间变化(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势. 【训练3】　走路是“最简单、最优良的锻炼方式”,它不仅可以帮助减肥,还可以增强心肺功能、血管弹性、肌肉力量等.如图为甲、乙两名同学在同一星期内日步数的折线统计图,则下列结论中不正确的是(　　) A.这一星期内甲的日步数的中位数为11 600 B.这一星期内甲的日步数的均值大于乙 C.这一星期内甲的日步数的方差大于乙 D.这一星期内乙的日步数的30%分位数是7 030 【解析】选D.对于A,这一星期内甲的日步数从小到大为2 435,7 965,9 500, 11 600,12 700,16 000,16 800,所以中位数为11 600,选项A正确; 对于B,计算甲的平均数为=×(2 435+7 965+9 500+11 600+12 700+16 000+ 16 800)=11 000, 乙的平均数为=×(14 200+12 300+7 030+12 970+5 340+11 600+10 060)=10 500,所以甲的日步数的均值大于乙,选项B正确; 对于C,甲有极端值,对方差的影响大,所以甲的日步数的方差大于乙,选项C正确; 对于D,因为7×30%=2.1,所以乙的日步数的30%分位数是从小到大的第3个数,为10 060,选项D错误. 考点四频率分布直方图 【例4】某校为了解学生学习的效果,进行了一次摸底考试,从中选取60名学生的成绩,分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]六组后,得到不完整的频率分布直方图如图所示,观察直方图,回答下列问题: (1)求分数在区间[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)根据评奖规则,排名在前10%的学生可以获奖,请你估计获奖的学生至少需要得多少分? 【解析】(1)设分数在区间[70,80)内的频率为x, 根据频率分布直方图,可得(0.01+0.015+0.02+0.025+0.005)×10+x=1, 解得x=0.25,所以分数在区间[70,80)内的频率为0.25, 补全这个频率分布直方图,如图所示. (2)因为分数在区间[80,90)内的频率为0.25,在区间[90,100]内的频率为0.05, 而0.05<10%<0.25+0.05,所以设排名前10%的分界点为90-a,则0.025a+0.005×10=10%,解得a=2,即90-2=88(分), 所以排名前10%的分界点为88分,即获奖的学生至少需要得88分. 解题技法 绘制频率分布直方图时应注意的几点 (1)列表后,可以利用各组频率之和是不是1来检验该表的正确性. (2)频率分布直方图中的纵轴为,而不是频率. (3)频率分布直方图中各小长方形高之比就是相应频率之比. 【训练4】　某市某月30天对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物): 61 76 70 56 81 91 92 91 75 81 88 67 101 103 95 91 77 86 81 83 82 82 64 79 86 85 75 71 49 45 (1)完成频率分布表; 分组 频数 频率 [41,51) [51,61) [61,71) [71,81) [81,91) [91,101) [101,111] (2)作出频率分布直方图; (3)根据国家标准,污染指数在0~50内时,空气质量为优;在51~100内时,空气质量为良;在101~150内时,空气质量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准,对该市的空气质量给出一个简短评价. 【解析】(1)频率分布表如表所示. 分组 频数 频率 [41,51) 2 [51,61) 1 [61,71) 4 [71,81) 6 [81,91) 10 [91,101) 5 [101,111] 2 (2)作出频率分布直方图,如图所示. (3)答对下述两条中的一条即可. ①该市一个月中空气污染指数有2天处于空气质量为优的水平,占当月天数的,有26天处于良的水平,占当月天数的,处于优或良的天数共有28天,占当月天数的,说明该市空气质量基本良好. ②轻度污染有2天,占当月天数的,污染指数在80以上的天数有15天,加上处于轻度污染的天数,共有17天,占当月天数的,超过50%,说明该市空气质量有待进一步改善. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $