强基培优14 圆锥曲线中的新定义创新题(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦圆锥曲线新定义创新题，覆盖新定义图形（黄金椭圆、阿基米德三角形）和新定义曲线（四叶草、双纽线等）核心考点，按“定义理解-知识联系-模型构建-推理验证”逻辑架构，通过考情分析、方法指导、真题讲解（2024新高考Ⅰ/Ⅱ卷）等环节，帮助学生突破难点，体现复习系统性和针对性。 教案特色在于创新“实例-抽象-应用”教学法，如分析四叶草曲线时，引导学生用数学眼光观察对称性，用数学思维推导最值，设计分层练习（选填基础+解答综合），配合解题反思强化新定义转化能力，高效提升学生应考技能，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

强基培优14 圆锥曲线中的新定义创新题 高考考情 圆锥曲线背景下的新定义问题,关键在于理解新定义的本质,并将其与常规圆锥曲线知识相结合.解题方法和流程: (1)明确新定义:阅读题目,明确新定义的内容、符号及其含义. (2)联系常规知识:将新定义与圆锥曲线的定义或标准方程等常规知识联系起来,找出它们的相似之处或转换关系. (3)建立数学模型:根据新定义,建立相应的数学模型或方程,利用解析几何或代数方法进行求解. (4)验证与推理:在求解过程中,注意验证每一步推理的正确性,确保最终答案符合题目要求. 题型一　圆锥曲线新定义问题——选填题 类型一新定义图形 【例1】(1)椭圆+=1(a>b>0)中,点F2为椭圆的右焦点,点A为椭圆的左顶点,点B为椭圆的短轴上的顶点,若⊥,此椭圆称为“黄金椭圆”,“黄金椭圆”的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.设c为椭圆的半焦距,由题意可得A(-a,0),F2(c,0),由对称性可设B(0,b), 则=(-c,b),=(a,b), 因为⊥, 所以·=-ac+b2=0, 所以a2-c2-ac=0,即e2+e-1=0, 解得e=或e=(舍). (2)抛物线的弦与过弦的端点的两切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.若抛物线上任意两点A,B处的切线交于点P,则△PAB为“阿基米德三角形”,且当线段AB经过抛物线的焦点F时,△PAB具有以下特征:(1)P点必在抛物线的准线上;(2)PA⊥PB;(3)PF⊥AB.若经过抛物线y2=8x的焦点的一条弦为AB,“阿基米德三角形”为△PAB,且点P在直线x-y+6=0上,则直线AB的方程为(　　) A.x-y-2=0 B.x-2y-2=0 C.x+y-2=0 D.x+2y-2=0 【解析】选A.根据题意,可知P点在抛物线的准线x=-2上,又点P在直线x-y+6=0上, 所以P(-2,4),又F(2,0), 所以kPF==-1, 因为PF⊥AB,所以kAB=1, 所以直线AB的方程为y-0=x-2, 即x-y-2=0. 类型二新定义曲线 【例2】(1)(四叶草)(多选题)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,例如:四叶草曲线就是其中一种,其方程为(x2+y2)3=x2y2,则(　　) A.曲线C有两条对称轴 B.曲线C上的点到原点的最大距离为 C.曲线C第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的图形面积最大值为 D.四叶草面积小于 【解析】选BCD.对于A:当x变为-x时,(x2+y2)3=x2y2不变,所以四叶草图象关于y轴对称; 当y变为-y时,(x2+y2)3=x2y2不变,所以四叶草图象关于x轴对称; 当y变为x时,(x2+y2)3=x2y2不变,所以四叶草图象关于y=x轴对称; 当y变为-x时,(x2+y2)3=x2y2不变,所以四叶草图象关于y=-x轴对称; 综上可知:有四条对称轴,错误; 对于B:因为(x2+y2)3=x2y2,所以(x2+y2)3=x2y2≤()2,所以x2+y2≤, 所以≤, 当且仅当x2=y2=时取等号,所以最大距离为,正确; 对于C:设任意一点P(x,y)(x>0,y>0),所以围成的矩形面积为xy, 因为(x2+y2)3=x2y2,所以x2y2=(x2+y2)3≥(2xy)3,所以xy≤, 当且仅当x=y=时,取等号,所以围成的矩形面积的最大值为,正确; 对于D:由B可知x2+y2≤,所以四叶草包含在圆x2+y2=的内部, 因为圆的面积为S=π·=,所以四叶草的面积小于,正确. (2)(双纽线)(多选题)中国结是一种手工编织工艺品,因为其外观对称精致,可以代表汉族悠久的历史,符合中国传统装饰的习俗和审美观念,故命名为中国结.中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面,也是数学奥秘的游戏呈现.它有着复杂曼妙的曲线,却可以还原成最单纯的二维线条.其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.曲线C:(x2+y2)2=9(x2-y2)是双纽线,则下列结论正确的是(　　) A.曲线C的图象关于原点对称 B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点) C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点,则实数k的取值范围为(-∞,-1]∪[1,+∞) 【解析】选ACD.把(-x,-y)代入(x2+y2)2=9(x2-y2)得(x2+y2)2=9(x2-y2),所以曲线C的图象关于原点对称,故A正确; 令y=0解得x=0或x=±3,即曲线经过(0,0),(3,0),(-3,0),结合图象,-3≤x≤3, 令x=±1,得y2=<1,令x=±2,得1<y2=<2, 因此结合图象曲线C只能经过3个整点,(0,0),(3,0),(-3,0),故B错误; (x2+y2)2=9(x2-y2)可得x2+y2=≤9, 所以曲线C上任意一点到坐标原点O的距离d=≤3,即都不超过3,故C正确; 直线y=kx与曲线(x2+y2)2=9(x2-y2)一定有公共点(0,0), 若直线y=kx与曲线C只有一个交点, 所以, 整理得x4(1+k2)2=9x2(1-k2)无解, 即1-k2≤0,解得k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),故D正确. (3)(心形线)(多选题)“心形线”体现了数学之美,某研究小组用函数图象:C1:y=4+,C2:y=4+和抛物线C3:x2=2py的部分图象围成了一个封闭的“心形线”,过C3焦点F的直线l交C3(包含边界点)于A,B两点,P是C1或C2上的动点,下列说法正确的是(　　) A.抛物线C3的方程为C3:x2=4y B.|PB|+|FB|的最小值为5 C.S△PAB的最大值为7 D.若P在C1上,则·的最小值为-4 【解析】选ABD.C1:y=4+可变形为(x-2)2+(y-4)2=4(y≥4),表示以C1(2,4)为圆心,2为半径的圆的上半部分;C2:y=4+可变形为(x+2)2+(y-4)2=4(y≥4),表示以C2(-2,4)为圆心,2为半径的圆的上半部分.对于A选项,抛物线C3:x2=2py过点(4,4),解得p=2,C3:x2=4y,故A选项正确; 对于B选项,抛物线C3:x2=4y的准线为l':y=-1,过点B作BB1⊥l',垂足为B1, 则|BF|=|BB1|,则|PB|+|FB|=|PB|+|BB1|≥dP-l'≥4+1=5,故B选项正确; 对于C选项,不妨设l:y=kx+1(k≥0),显然离l最远的点在C2上,且dP-l≤+r=+2,联立,消去y整理得x2-4kx-4=0,-=≤k≤=, 则xA+xB=4k,xA·xB=-4, 则|AB|==4(k2+1), 由对称性只考虑k≥0情况,B在E点时,kmax=,所以k∈[0,], 所以S△PAB=|AB|×dP-l≤×4(k2+1) (+2)=2(2k+3)+4(k2+1), 设h(k)=2(2k+3)+4(k2+1),易得h(k)在[0,]上单调递增, 所以S△PAB的最大值为h()=,故C选项错误; 对于D选项,设AB的中点为M,联立,消去y整理得x2-4kx-4=0, 则xA+xB=4k,xA·xB=-4,xM==2k,yM=2k2+1,-=≤k≤=, 所以xM≤,·=(+)(+)=-,|PM|= ,|PM|最小,即cos ∠PC1M最大,也即∠PC1M最小,又AB的中点M位于圆心C1的左侧, 故当P在(0,4)位置时,∠PC1M最小,|PM|最小,所以-≥(2k-0)2+(2k2+1-4)2-(4k2+4)2=4k2+4k4-12k2+9-4(1+k2)2=-16k2+5≥-16×+5=-4,故D选项正确. (4)(卡西尼卵形线)(多选题)(2024·新高考Ⅰ卷)造型可以看作图中的曲线C的一部分,已知C过坐标原点O,且C上的点满足横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则(　　) A.a=-2 B.点(2,0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0,y0)在C上时,y0≤ 【解析】选ABD.对于A: 设O点到定直线x=a的距离为d,由题知图象经过O点, |OF|=2, 由题意知|OF|·d=4,则d=2=0-a, a=-2, 故A正确; 对于 B:由A知曲线方程:(x+2)=4,将点(2,0)代入得(2+2)·(2-2)=4,故B正确; 因为y2=()2-(x-2)2=f(x),所以f'(x)=--2(x-2),f(2)=1,f'(2)=-,所以在x=2的左侧一定存在f(x0)>1,所以最大值大于1,故C错误; 对于D:=-≤, 即 y0≤, 故D正确. 题型二　圆锥曲线新定义问题(规范答题) 【例3】(2024·新高考Ⅱ卷)(17分)已知双曲线C:x2-y2=m(m>0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0<k<1,按照如下公式依次构造点Pn(n=2,3,…):过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn). (1)若k=,求x2,y2; (2)证明:数列{xn-yn}是公比为的等比数列; (3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意正整数n,Sn=Sn+1. 解题分析 信息读取 信息联想 1 点P1(5,4)在C上 联想双曲线的标准方程 2 过Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点 将文字语言转化为图形语言,作出C的图形 3 求证数列{xn-yn}是公比为的等比数列 建立Pn-1和Pn两点坐标之间的关系 4 求证对任意正整数n,Sn=Sn+1 联想到△PnPn+1Pn+2的面积为定值 标准答案 (1)因为点P1(5,4)在C上,代入方程得 25-16=m,所以m=9. 过点P1(5,4)且斜率为的直线方程为y-4=(x-5),即x-2y+3=0. ……[2分] 由解得或 所以Q1(-3,0),P2(3,0),即x2=3,y2=0. ……[4分] (2)如图, [①基础思维]作出图形:将文字语言和符号语言翻译成图形语言,数形结合. 当n≥2且n∈N*时,点Pn(xn,yn)关于y轴的对称点是Qn-1(-xn,yn),且Pn-1(xn-1,yn-1). 因为Pn-1,Qn-1在同一条斜率为k(0<k<1)的直线上, 所以xn-1≠-xn,所以=k,0<k<1, 所以yn-yn-1=-k(xn+xn-1)　①. ……[6分] 又Pn-1,Qn-1都在双曲线上, 所以 两式相减得(xn-xn-1)(xn+xn-1) =(yn-yn-1)(yn+yn-1), 所以xn-xn-1=-k(yn+yn-1)　②, …… [8分] [②高阶思维]引入参数:设参时要考虑待证目标的几何特征. ②-①得xn-yn-(xn-1-yn-1) =k(xn-yn)+k(xn-1-yn-1), 即(1-k)(xn-yn)=(1+k)(xn-1-yn-1), 即=. 又x1-y1≠0, 故数列{xn-yn}是公比为的等比数列. ……[10分] (3)设=q,0<k<1,则q>1. 由(2)可知xn-yn=(x1-y1) ()n-1=qn-1. 又因为-=9,所以xn+yn=. [③高阶思维]表示坐标:利用引入的参数,表示出点Pn的坐标. 所以xn=(+qn-1),yn=(-qn-1), 所以Pn(,),Pn+1(,),Pn+2(,). ……[13分] [④高阶思维]计算定值:求出点Pn+2到直线PnPn+1的距离d及|PnPn+1|,利用三角形面积公式求解. 所以直线PnPn+1的方程为x-xn=(y-yn),即(9+q2n-1)x-(9-q2n-1)y-9qn-1(1+q)=0. 易知点Pn+2到直线PnPn+1的距离d==. 又|PnPn+1| ==,…… [16分] 则Sn=·|PnPn+1|·d==,即Sn为定值, 所以Sn=Sn+1. …… [17分] 多想少算 路径 面积相等问题转化为平行线问题 对于第(3)问,直接计算面积较为复杂.于是,想到能否根据Sn,Sn+1的两个三角形共边特点,转化为证明两条直线平行,然后再利用斜率公式判断平行关系成立.如图, 解题路径:要证Sn=Sn+1,即证 △PnPn+1Pn+2与△Pn+1Pn+2Pn+3的面积相等,这两个三角形有共同的底边Pn+1Pn+2,这样只需证明PnPn+3∥Pn+1Pn+2. 【解析】要证Sn=Sn+1,只需证PnPn+3∥Pn+1Pn+2, 设=q,0<k<1,则q>1. 由(2)可知,xn-yn=(x1-y1) ()n-1=qn-1. 又因为-=9,所以xn+yn=. 所以xn=(+qn-1),yn=(-qn-1), 所以==, 同理==,即PnPn+3∥Pn+1Pn+2. 所以对任意正整数n,Sn=Sn+1. 解题反思 1.解决圆锥曲线有关定量问题的关键点 引入合适的参数将几何条件和目标代数化,然后运用设而不求、整体代换的方法消参. 2.解决本题的关键得分点 (1)解决本题的关键是选择合适的面积公式,以及合理的将面积相等问题进行转化,解题时要防止因复杂的运算而失分. (2)解题时要深刻认识到几何性质对问题解决的重要性,在解题过程中,要注意观察、分析问题的几何特征. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $