第8章 第53讲 第1课时 圆锥曲线中的定点、定值问题(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线综合问题中的定点、定值核心考点，依据高考评价体系明确考查要求。通过2023年全国乙卷真题实例，系统梳理考点权重，归纳方程联立、韦达定理应用等常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+技法总结”的实战模式，如例1通过参数方程构建代数关系求定点，培养学生数学思维与运算能力。解题技法部分提炼“参变量系数为零”等通法，帮助学生掌握得分技巧，为教师提供系统复习指导，助力高考冲刺。

考点突破 强技能 第53讲　圆锥曲线的综合问题 第1课时　圆锥曲线中的定点、定值问题 复习目标 1.通过圆锥曲线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想. 2.根据解析几何问题和图形的特点,用代数语言把几何问题转化为代数问题. 3.根据对解析几何问题(图形)的分析,探索解决问题的思路,运用代数方法得到结论,给出代数结论合理的几何解释,从而达到解决解析几何问题. 返回 考点突破 强技能 返回 考点一定点问题 【例1】(2023·全国乙卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率是,点A(-2,0)在C上. (1)求C的方程; (2)过点(-2,3)的直线交C于P,Q两点,直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N,证明:线段MN的中点为定点. 返回 【解析】 (1)由题意可得解得 所以椭圆方程为+=1. (2)由题意可知,直线PQ的斜率存在,设PQ:y=k(x+2)+3,P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立方程组消去y得:(4k2+9)x2+8k(2k+3)x+16(k2+3k)=0, 则Δ=64k2(2k+3)2-64(4k2+9)(k2+3k)=-1 728k>0,解得k<0, 返回 可得x1+x2=-, x1x2=, 因为A(-2,0),则直线AP:y=(x+2), 令x=0,解得y=,即M(0,), 同理可得N(0,), 返回 则=+ = == ==3, 所以线段MN的中点是定点(0,3). 返回 解题技法 求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)直线或曲线过定点问题,解法:引入参变量建立直线或曲线方程,再根据其对参变量恒成立,令其系数等于零,得出定点. (2)由直线方程确定其过定点时,若得到直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到直线的斜截式方程y=kx+m,则直线必过定点(0,m). 返回 【训练1】　已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(,1),且渐近线方程为y=±x. (1)求C的方程; (2)若抛物线x2=2py(p>0)与C的右支交于点A,B,证明:直线AB过定点. 【解析】(1)因为双曲线C:-=1(a>0,b>0)经过点(,1),且渐近线方程为y=±x, 所以-=1,=1, 解得a=b=, 所以C的方程为-=1. 返回 (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 则=2py1,=2py2, 由 可得y2-2py+2=0, Δ=4p2-8>0, 所以y1+y2=2p,y1y2=2, 所以x1x2=·=2p, 返回 因为kAB==, 所以直线AB的方程为y-y1=(x-x1), 即y=x-x1+y1=x-=x-, 所以直线AB过定点(0,-). 返回 考点二定值问题 【例2】已知P是圆C:(x+2)2+y2=12上的一个动点,定点M(2,0),线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T,记点T的轨迹为C'. (1)求证:点T的轨迹为双曲线. (2)求C'的方程. (3)若直线l与曲线C'恰有一个公共点,且l与直线l1:y=x,l2:y=-x分别交于A,B两点,试证明△OAB的面积是定值(O为坐标原点). 返回 【解析】(1)由C:(x+2)2+y2=12,可知C(-2,0),圆C的半径r=2, 连接TM(图略),因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T, 所以|TP|=|TM|, 所以|TM|=|TC|+2或|TC|=|TM|+2,所以||TM|-|TC||=2<|CM|=4, 所以由双曲线的定义可知,点T的轨迹是以(2,0),(-2,0)为焦点的双曲线. (2)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 易知2a=2,c=2, 所以a=,c=2,b==1, 所以C'的方程为-y2=1. 返回 (3)当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m, 因为直线l与直线l1:y=x,l2:y=-x分别交于A,B两点,所以k≠±. 由得关于x的方程(1-3k2)x2-6mkx-3m2-3=0, 因为k≠±, 所以1-3k2≠0, 返回 因为直线l与曲线C'恰有一个公共点, 所以Δ=36m2k2+4(1-3k2)(3m2+3)=0, 即3k2=m2+1. 由 得x=-, 即xA=-. 返回 同理可得xB=-, 则|AB|=·|xA-xB|=, 又原点O到直线l的距离d=,所以S△OAB=|AB|d=. 因为3k2=m2+1,所以S△OAB=. 当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=±,又渐近线方程为y=±x, 此时|AB|=2,S△OAB=××2=. 综上,△OAB的面积为定值. 返回 解题技法 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得. 返回 【训练2】　(1)(2025·南通模拟)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(,0)的距离与到直线l:x=的距离之比为,记动点P的轨迹为W. ①求W的方程; ②过W上两点A,B作斜率均为-的两条直线,与W的另两个交点分别为C,D.若直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值. 【解析】①设P(x,y),由题意可知,=⇒+y2=1, 所以W的方程为+y2=1. ②设A(x0,y0),C(x1,y1), 返回 所以AC的方程为y=-(x-x0)+y0,代入椭圆方程⇒x2+4[(x2-2x0x+)+-(x-x0)y0]=4, 所以2x2-(2x0+4y0)x++4+4x0y0-4=0, 所以x2-(x0+2y0)x+2x0y0=0, 所以x1x0=2x0y0, 所以x1=2y0,所以C(2y0,), 同理设B(x0',y0'),D(x2,y2), 所以D(2y0',), 所以k1k2=kAB·kCD=·=,为定值. 返回 (2)(2025·厦门模拟)已知A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,|AB|=,直线AB的斜率为-. ①求椭圆的方程; ②直线l∥AB,与x轴交于点M,与椭圆相交于点C,D,求证:|CM|2+|MD|2为定值. 返回 【解析】①A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,可得A(a,0),B(0,b), 因为|AB|=,所以|AB|==, 直线AB的斜率为-, 所以=-,解得a=2,b=1, 所以椭圆的方程为+y2=1. 返回 ②设直线l的方程为y=-x+m, 则M(2m,0), 与椭圆方程联立 可得x2-2mx+2m2-2=0, 由Δ=(2m)2-4(2m2-2)=8-4m2>0得-<m<, 返回 设C(x1,y1),D(x2,y2), 可得x1+x2=2m,x1x2=2m2-2, |CM|2+|MD|2=(x1-2m)2++(x2-2m)2+=-4mx1+4m2+(-x1+m)2+-4mx2+4m2+ (-x2+m)2=(x1+x2)2-x1x2-5m(x1+x2)+10m2=5m2-(2m2-2)-10m2+10m2=5, 所以|CM|2+|MD|2为定值. 返回 $