第8章 第52讲 直线与圆锥曲线的位置关系(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第52讲　直线与圆锥曲线的位置关系 复习目标 1.了解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法. 2.掌握直线与圆锥曲线的弦长公式. 3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　直线与圆锥曲线的位置判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,则 直线与圆锥曲线相交⇔Δ___0;直线与圆锥曲线相切⇔Δ___0;直线与圆锥曲线相 离⇔Δ___0. [注意点](1)与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交,有且只有一个交点.(2)与 抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交,有且只有一个交点. > = < 返回 知识点2　弦长公式 已知A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k(k≠0), 则|AB|==|x1-x2|=__________________________ 或|AB|=|y1-y2|=__________________________. 返回 常用结论 “点差法”的常见结论 设AB为圆锥曲线的弦,点P为弦AB的中点: (1)椭圆+=1(a>b>0)中的中点弦问题:kAB·kOP=-; (2)双曲线-=1(a>0,b>0)中的中点弦问题:kAB·kOP=; (3)抛物线y2=2px(p>0)中的中点弦问题:kAB=(y0为中点P的纵坐标). 返回 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)直线与圆锥曲线的三种位置关系:相离、相切、相交.(　 　) (2)“直线l与双曲线C相切”的充要条件是“直线l与双曲线C只有一个公共点”. (　 　) (3)过点(1,)的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　 　) (4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　 　) √ × √ √ 返回 2.(选择性必修第一册P114·例7变式)直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点,则k的值是(　　) A. B.- C.± D.± 【解析】选C.由 得(2+3k2)x2+12kx+6=0, 由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0, 解得k=±. 返回 3.(选择性必修第一册P136·T3变式)已知直线l:y=x-1与抛物线y2=4x交于A,B两点,则线段AB的长是(　　) A.2 B.4 C.8 D.16 【解析】选C.联立 消去y并整理得x2-6x+1=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=6,x1x2=1, 所以|AB|==×=8. 返回 4.过点P(0,1)作斜率为-1的直线l与椭圆+=1相交于A,B两点,则线段AB的中点坐标为_____.  【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), 由题意知直线l的方程为y=-x+1, 与+=1联立,可得7x2-8x-20=0, 所以x1+x2=,x1x2=-, 所以线段AB的中点的横坐标为=, 线段AB的中点的纵坐标为-+1=, 故线段AB的中点坐标为(,). 答案: (,) 返回 考点突破 强技能 返回 考点一直线与圆锥曲线位置关系的判断 【例1】已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试求当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个不同的公共点; (2)有且只有一个公共点. 返回 【解析】将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组 将①代入②,整理得9x2+8mx+2m2-4=0.③ 方程③中,Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点. (2)当Δ=0,即m=±3时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解.即直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 返回 解题技法 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 代数法 即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标 几何法 即画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数 返回 【训练1】　(1)(一题多法)直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选A.法一:联立直线3x-4y=0与双曲线-=1的方程,, 得-=1,方程组无解,说明直线与双曲线没有交点. 法二:由-=0,得3x±4y=0,所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0, 因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线,因此交点个数为0. 返回 (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为(　　) A.(1,)　 B.(1,] C.(,+∞)　 D.[,+∞) 【解析】选C.因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,则由题意得>2, 所以e==>=. 返回 (3)(2025·佛山模拟)已知抛物线的方程为y2=8x,若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　) A.[-1,1] B.[-1,0)∪(0,1] C.(-∞,-1]∪[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) 【解析】选A.由题意知,直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y=k(x+2),代入抛物线方程,消去y并整理, 得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.当k=0时,显然满足题意; 当k≠0时,Δ=(4k2-8)2-4k2·4k2=64(1-k2)≥0,解得-1≤k<0或0<k≤1.综上,-1≤k≤1. 返回 (4)(2022·全国甲卷)记双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值________.  【解析】C:-=1(a>0,b>0),所以C的渐近线方程为y=±x, 结合渐近线的特点,只需0<≤2,即≤4, 可满足条件“直线y=2x与C无公共点”, 所以e==≤=, 又因为e>1,所以1<e≤. 答案:2(答案不唯一,满足1<e≤皆可) 返回 考点二弦长问题 【例2】(1)(2025·南京调研)已知顶点在原点,关于y轴对称的抛物线与直线x-2y=1交于P,Q两点,若|PQ|=,则抛物线的方程为(　　) A.x2=-4y B.x2=12y C.x2=-4y或x2=12y D.以上都不是 返回 【解析】选C.设抛物线的方程为x2=2ay, 则抛物线与直线x-2y=1联立消去y,得 x2-ax+a=0, 所以x1+x2=a,x1x2=a, 则|x1-x2|==, 所以|PQ|=|x1-x2|=·=, 所以a2-4a-12=0,解得a=-2或a=6, 所以x2=-4y或x2=12y. 返回 (2)(2025·保定模拟)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为2,O为坐标原点. ①求E的方程; ②设过点P(0,-)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M,N,且|MN|=,求k的值. 【解析】①由离心率e==,得a=c, 直线AF的斜率为=2,解得c=1, 所以a=,所以b2=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1. 返回 ②设直线l:y=kx-,M(x1,y1),N(x2,y2), 由得(1+2k2)x2-4kx+4=0, 因为M,N是不同的两点, 所以Δ=(-4k)2-4×4×(1+2k2)>0, 得k2>1, 所以x1+x2=,x1x2=, 所以|MN|=|x1-x2|=·==, 整理得17k4-32k2-57=0, 解得k2=3或k2=-(舍去),所以k=±. 返回 解题技法 求解弦长的四种方法 (1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解. (2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解. (3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x(或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2,(y1-y2)2,代入两点间的距离公式. (4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长. 返回 【训练2】　(1)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍,过左焦点F作倾斜角为45°的直线交T于A,B两点,若|AB|=,则椭圆T的方程为__________.  【解析】因为a=2b,则c=b, 所以椭圆T:+=1,左焦点F(-b,0), 直线AB:y=x+b,设A(x1,y1),B(x2,y2), 返回 联立方程组 消去y得5x2+8bx+8b2=0, 所以x1+x2=-b,x1x2=, |AB|==, 可得b2=2,所以椭圆T:+=1. 答案:+=1 返回 (2)(一题多法)(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆+=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴,y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为______________.  【解析】法一:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n).设A(x1,y1),B(x2,y2).由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 所以即 返回 因为kAB=kMN,所以==-. 将A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆方程, 得 相减得+=0, 由题意知x1+x2≠0,x1≠x2, 所以·=-, 返回 即·(-)=-,整理得m2=2n2.① 又|MN|=2,所以由勾股定理, 得m2+n2=12,② 由①②并结合m>0,n>0,得 所以直线l的方程为+=1, 即x+y-2=0. 返回 法二:设直线l的方程为+=1(m>0,n>0),分别令y=0,x=0,得点M(m,0),N(0,n). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点, 设为Q,则Q(,), 则kAB==-,kOQ==. 由椭圆中点弦的性质知,kAB·kOQ=-=-,即(-)·=-,以下同法一. 答案:x+y-2=0 返回 【加练备选】 (2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),右焦点为F(,0),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 【解析】(1)由题意,椭圆半焦距c=, 且e==,所以a=, 又b2=a2-c2=1,所以椭圆方程为+y2=1. 返回 (2)由(1)得,曲线为x2+y2=1(x>0), 当直线MN的斜率不存在时,直线MN:x=1,不合题意; 当直线MN的斜率存在时, 设M(x1,y1),N(x2,y2), 必要性: 若M,N,F三点共线,可设直线MN: y=k(x-),即kx-y-k=0, 返回 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,解得k=±1, 联立 可得4x2-6x+3=0, 所以x1+x2=,x1·x2=, 所以|MN|=·=, 所以必要性成立; 充分性:设直线MN:y=kx+m(km<0), 返回 即kx-y+m=0, 由直线MN与曲线x2+y2=1(x>0)相切可得=1,所以m2=k2+1, 联立 可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0, 所以x1+x2=-,x1·x2=, 所以|MN|=·= =·=, 返回 化简得3(k2-1)2=0,所以k=±1, 所以或 所以直线MN:y=x-或y=-x+, 所以直线MN过点F(,0),M,N,F三点共线,充分性成立; 所以M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=. 返回 考点三中点弦问题 【例3】(1)已知双曲线方程为x2-=1,则以A(2,1)为中点的弦所在直线l的方程是 (　　) A.6x+y-11=0 B.6x-y-11=0 C.x-6y-11=0 D.x+6y+11=0 返回 【解析】选B.设直线l交双曲线x2-=1于点M(x1,y1),N(x2,y2),则由已知得两式作差得-=, 所以==6,即直线l的斜率为6,故直线l的方程为y-1=6(x-2), 即6x-y-11=0.经检验满足题意. 返回 (2)(2025·郑州模拟)已知椭圆C:+=1,左、右焦点分别为F1,F2,直线l与椭圆交于A,B两点,弦AB被点(,)平分. ①求直线l的方程; ②求△F1AB的面积. 返回 【解析】①因为弦AB被点(,)平分, 所以设交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2), x1+x2=2,y1+y2=, 则 两式相减得(x1+x2)(x1-x2)=-4(y1+y2)·(y1-y2),所以直线l的斜率k==-·=-,故直线l的方程为x+2y-2=0. 返回 ②由题知F1(-2,0),联立椭圆与直线方程 得2y2-2y-1=0,Δ>0, 所以y1+y2=,y1y2=-, 所以|y1-y2|=, 又因为直线过点F2(2,0), 所以=|F1F2||y1-y2|=×4×=2. 返回 解题技法 解决中点弦问题常用的求解方法 1.点差法:即设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式可求得斜率. 2.根与系数的关系:即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解. 返回 【训练3】　(2023·全国乙卷)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中,可为线段AB中点的是(　　) A.(1,1) B. (-1,2) C. (1,3) D. (-1,-4) 返回 【解析】选D.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB的中点M(,), 可得kAB=,k==, 因为A,B在双曲线上,则两式相减得(-)-=0, 所以kAB·k==9. 返回 对于选项A: 可得k=1,kAB=9, 则AB:y=9x-8, 联立方程组消去y得72x2-2×72x+73=0, 此时Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0, 所以直线AB与双曲线没有交点,故A错误; 返回 对于选项B:可得k=-2,kAB=-, 则AB:y=-x-, 联立方程组 消去y得45x2+2×45x+61=0, 此时Δ=(2×45)2-4×45×61=-2 880<0, 所以直线AB与双曲线没有交点,故B错误; 返回 对于选项C:可得k=3,kAB=3,则AB:y=3x, 由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线, 所以直线AB与双曲线没有交点,故C错误; 对于选项D:k=4,kAB=,则AB:y=x-, 联立方程组 消去y得63x2+126x-193=0, 此时Δ=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确. 返回 $