核心素养测评(第8章 第50讲 双曲线)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评(时间:45分钟　分值:80分) 五十八　双曲线 基础保分练 一、单选题 1.(5分)已知平面内两定点A(-5,0),B(5,0),动点M满足|MA|-|MB|=6,则点M的轨迹方程是(　　) A.-=1 B.-=1(x≥4) C.-=1 D.-=1(x≥3) 【解析】选D.由双曲线的定义知,点M的轨迹是双曲线的右支,故排除A,C. 又由题意可知c=5,a=3,所以b==4, 故点M的轨迹方程为-=1(x≥3). 2.(5分)双曲线-=λ(λ>0)的离心率为(　　) A.　 B. C.或　 D. 【解析】选B.因为λ>0,所以-=1, 所以双曲线焦点在x轴上,所以a2=2λ,b2=4λ,c2=a2+b2=6λ, 所以离心率为===. 3.(5分)双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是(　　) A.y=±x　 B.y=±2x C.y=±x　 D.y=±x 【解析】选C.依题意知,双曲线-x2=1的焦点在y轴上,实半轴长a=,虚半轴长b=1, 所以双曲线2y2-x2=1的渐近线方程是y=±x. 4.(5分)(2024·武汉模拟)已知双曲线-=1的离心率为2,则a=(　　) A.-1 B.1 C.-3 D.3 【解析】选A.由题意可知,双曲线-=1的焦点在x轴上,故该双曲线的离心率为e==2,得a=-1. 5.(5分)经过点M(2,2)且与双曲线-=1有相同渐近线的双曲线方程是(　　) A.-=1　 B.-=1 C.-=1　 D.-=1 【解析】选D.由题意,可设所求的双曲线方程为-=λ(λ≠0), 点M(2,2)在双曲线方程上, 所以-=λ,解得λ=-6, 故所求的双曲线方程是-=1. 6.(5分)已知圆C1:(x+3)2+y2=1,圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(　　) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1(x≤-1) D.x2-=1(x≥1) 【解析】选C.设动圆M的半径为r, 由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切, 得|MC1|=1+r,|MC2|=3+r, |MC2|-|MC1|=2<6, 所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(-3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支, 且2a=2,解得a=1, 又c=3,则b2=c2-a2=8, 故动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1). 二、多选题 7.(5分)(2025·唐山模拟)已知F1,F2为双曲线C:-x2=1的两个焦点,P为双曲线C上任意一点,则(　　) A.|PF1|-|PF2|=2 B.双曲线C的渐近线方程为y=±x C.双曲线C的离心率为 D.|+|≥2 【解析】选CD.双曲线C:-x2=1焦点在y轴上,a=,b=1,c==2. 对于A选项,||PF1|-|PF2||=2a=2,而P点在双曲线哪支上并不确定,故A错误; 对于B选项,焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y=±x,故B错误; 对于C选项,e===,故C正确; 对于D选项,设P(x,y),则|PO|===≥(当且仅当x=0时取等号),因为O为F1F2的中点,所以|+|=|2|=2||≥2,故D正确. 8.(5分)(2025·南京调研)已知双曲线C:mx2+ny2=1,其焦点(0,10)到渐近线的距离为6,则下列说法正确的是(　　) A.+=100 B.双曲线C的渐近线方程为y=±x C.双曲线C的离心率为 D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2 【解析】选BCD.由双曲线C的焦点(0,10)到渐近线的距离为6,可得双曲线C的焦点在y轴上, 设双曲线C的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则双曲线C的半焦距c=10,虚半轴长b=6, 所以a2=c2-b2=100-36=64, 得双曲线C的标准方程为-=1. 对于A,m=-,n=, 所以+=-36+64=28,A错误; 对于B,双曲线C的渐近线方程为y=±x=±x,B正确; 对于C,双曲线C的离心率e===,C正确; 对于D,双曲线C上的所有点中,上、下顶点到相应焦点的距离最小, 所以最小值为c-a=10-8=2,D正确. 三、填空题 9.(5分)已知双曲线的两个焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P与F1,F2的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为-=1.  【解析】设双曲线标准方程为 -=1(a>0,b>0), 由2c=10,2a=6,得c=5,a=3. 因此b2=c2-a2=16, 所以双曲线的标准方程为-=1. 10.(5分)(2024·石家庄模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,实轴长为4,过F2的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,若|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项,则△ABF1的周长为24.  【解析】由|AB|是|AF1|和|BF1|的等差中项得|F1A|+|F1B|=2|AB|, 根据双曲线的定义知|AF1|-|AF2|=2a,|BF1|-|BF2|=2a, 两式相加得|AF1|+|BF1|-|AB|=4a,即|AB|=4a,所以|AF1|+|BF1|=8a, 故△ABF1的周长为12a,因为2a=4,所以△ABF1的周长为24. 四、解答题 11.(10分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与双曲线-=1有相同的渐近线,且经过点M(,-). (1)求双曲线C的方程; 【解析】(1)在双曲线-=1中,a'=2,b'=, 则渐近线方程为y=±x=±x, 因为双曲线C:-=1与双曲线-=1有相同的渐近线,所以=, 所以方程可化为-=1, 又双曲线C经过点M(,-),代入方程得 -=1,解得a=1,故b=, 所以双曲线C的方程为x2-=1. (2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离. 【解析】(2)由(1)知双曲线C的方程为x2-=1, 因为a=1,b=,c=, 所以实轴长2a=2,离心率为e==, 设双曲线C的一个焦点为(-,0),一条渐近线方程为y=x, 所以焦点到渐近线的距离d==. 12.(10分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2. (1)若点M在双曲线上,且·=0,求M点到x轴的距离; 【解析】(1)不妨设M在双曲线的右支上,M点到x轴的距离为h, 因为·=0,所以MF1⊥MF2. 设|MF1|=m,|MF2|=n, 由双曲线的定义知m-n=2a=8.① 在Rt△F1MF2中, 由勾股定理得m2+n2=(2c)2=80,② 由①②得mn=8. 因为=mn=4=×2ch,所以h=. 即M点到x轴的距离为. (2)若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程. 【解析】(2)设双曲线C的方程为 -=1(-4<λ<16). 因为双曲线C过点(3,2), 所以-=1, 解得λ=4或λ=-14(舍去), 所以双曲线C的方程为-=1. 创新提分练 13.(5分)如图是一座等轴双曲线形拱桥,现拱顶离水面5 m,水面宽度AB=30 m.若水面下降5 m,则水面宽度约为(结果精确到0.1 m)(参考数值:≈2.24)(　　) A.43.8 m　 B.44.8 m　 C.52.3 m　 D.53.0 m 【解析】选B.如图建系,不妨设水面下降5 m时水面宽度为MN.因为拱桥为等轴双曲线形,所以设其方程为y2-x2=a2(a>0,y<0),则C(0,-a). 因为|AB|=30,|CD|=5, 所以B(15,-a-5).将B(15,-a-5)代入方程y2-x2=a2得(-a-5)2-152=a2,解得a=20. 所以双曲线方程为y2-x2=400(y<0). 当水面下降5 m时,yN=-a-5-5=-30, 代入方程y2-x2=400,得xN=10. 所以|MN|=2xN=20≈44.8. 故水面宽度约为44.8 m. 14.(5分)已知F1,F2分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且|F1F2|=,点P为双曲线右支上一点,I为△PF1F2内心,若=+λ,则λ的值为(　　) A. B. C. D. 【解题策略】作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,可得IA=IB=IC=r,可以将=+λ,转换为PF1=PF2+λF1F2,结合双曲线的定义以及|F1F2|=即可求解. 【解析】选C.如图所示:由题意知I为△PF1F2的内心, 作IA⊥F1F2,IB⊥PF2,IC⊥F1P,△PF1F2内切圆半径为r,所以IA=IB=IC=r,又因为=+λ,即r·PF1=r·PF2+λ·r·F1F2,化简得PF1=PF2+λF1F2, 由双曲线定义可知PF1-PF2=2a=λ·(2c), 因此有λ=;又因为|F1F2|=, 且|F1F2|=2c以及c2=a2+b2, 联立并化简得a2+ac-c2=0,即+-1=0, 解得λ==或λ=(舍去,因为λ=>0). - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $