核心素养测评(第8章 第47讲 圆的方程)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 五十四　圆的方程 基础保分练 一、单选题 1.(5分)点P(a,10)与圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是(　　) A.在圆外　 B.在圆上 C.在圆内　 D.与a的值有关 【解析】选A.圆C:(x-1)2+(y-1)2=2的圆心C(1,1),半径r=,因为==>,所以点P(a,10)在圆外. 2.(5分)圆心为(2,1)且和x轴相切的圆的方程是(　　) A.(x-2)2+(y-1)2=1　 B.(x+2)2+(y+1)2=1 C.(x-2)2+(y-1)2=5　 D.(x+2)2+(y+1)2=5 【解析】选A.圆心为(2,1)且和x轴相切的圆,它的半径为1,故它的方程是(x-2)2+(y-1)2=1. 3.(5分)已知圆C:x2+y2+Dx+Ey+=0的圆心坐标是(-,2),则半径为(　　) A.2　 B.3　 C.4　 D.5 【解析】选A.圆C:x2+y2+Dx+Ey+=0, 即(x+)2+(x+)2=, 所以其圆心为(-,-), 半径为. 又已知圆心坐标是(-,2), 所以D=1,E=-4,半径为=2. 4.(5分)已知点P(4,-2),点Q是圆x2+y2=4上任意一点,则线段PQ的中点M的轨迹方程是(　　) A.(x-2)2+(y+1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4 C.(x+2)2+(y-1)2=1 D.(x+4)2+(y-2)2=4 【解析】选A.设Q(x1,y1),M(x,y), 则可得 又点Q在圆x2+y2=4上,得(2x-4)2+(2y+2)2=4,化简得(x-2)2+(y+1)2=1. 5.(5分)下列各点中,在圆(x+1)2+(y-3)2=36的内部的是(　　) A.(0,2) B.(5,3) C.(-1,9) D.(6,10) 【解析】选A.由(0+1)2+(2-3)2<36知(0,2)在圆内; 由(5+1)2+(3-3)2=36知(5,3)在圆上; 由(-1+1)2+(9-3)2=36知(-1,9)在圆上, 由(6+1)2+(10-3)2>36知(6,10)在圆外. 6.(5分)已知圆C过点A(-2,0),B(2,4),当圆心C到原点O的距离最小时,圆C的标准方程为(　　) A.(x-1)2+y2=10 B.x2+(y+1)2=10 C.(x-1)2+(y-1)2=10 D.(x+1)2+(y+1)2=10 【解析】选C.由A(-2,0),B(2,4)可得线段AB中点坐标为(0,2),又kAB=1, 所以AB垂直平分线的方程为y=-x+2, 所以圆心C在线段AB垂直平分线上, 当圆心C到原点O的距离最小时,则OC∥AB, 所以直线OC的方程为y=x, 联立解得所以圆心C(1,1), 又半径r2=AC2=(-2-1)2+(0-1)2=10, 故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=10. 二、多选题 7.(5分)关于圆(x-2)2+y2=5,下列说法正确的是(　　) A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x-y+2=0对称 D.关于直线x+3y-2=0对称 【解析】选ABD.由题意知圆心的坐标为(2,0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形,所以A正确; 圆是关于直径对称的轴对称图形,直线y=0过圆心,所以B正确; 直线x-y+2=0不过圆心,所以C不正确; 直线x+3y-2=0过圆心,所以D正确. 8.(5分)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x-2y+4=0,则下列说法正确的是(　　) A.的最大值为 B.的最小值为0 C.x2+y2的最大值为+1 D.x+y的最大值为3+ 【解析】选ABD.将方程x2+y2-4x-2y+4=0化为标准方程可得(x-2)2+(y-1)2=1, 圆(x-2)2+(y-1)2=1的圆心为C(2,1),半径为r=1,对于A选项,设=k,可得y=kx, 则直线y=kx与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点, 所以,≤1,整理可得3k2-4k≤0,解得0≤k≤,AB都对; 对于C选项,代数式x2+y2的几何意义为圆(x-2)2+(y-1)2=1上的点P(x,y)到原点的距离的平方,如图所示: 由图可知,当点P为线段OC的延长线与圆C的交点时,|OP|取最大值, 即|OP|max=|OC|+r=+1=+1, 故x2+y2的最大值为=6+2,C错; 对于D选项,设x+y=t,则直线x+y-t=0与圆(x-2)2+(y-1)2=1有公共点, 所以,≤1,解得3-≤t≤3+, 所以,x+y的最大值为3+,D对. 三、填空题 9.(5分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是____________,半径是________.  【解析】依据圆的方程特征,得a2=a+2, 解得a=-1或2. 当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0, 整理得(x+2)2+(y+4)2=25, 则圆心坐标为(-2,-4),半径是5; 当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0, 即x2+y2+x+2y+=0,该方程不表示圆. 答案:(-2,-4)　5 10.(5分)已知点M(x,y)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3),则|MQ|的最大值是________.  【解析】圆C的方程可化为(x-2)2+(y-7)2=8, 所以C(2,7),半径r=2, 则|QC|==4>2,所以点Q在圆外. 如图所示,连接QC交圆C于A,B两点, 当点M与点B重合时,|MQ|取得最大值, 即4+2=6. 答案:6 四、解答题 11.(10分)(2025·盐城模拟)已知圆C的圆心在x轴上,并且过A(1,3),B(3,3)两点. (1)求圆C的方程; 【解析】(1)由题意可知,AB的中点为(2,3),kAB=0, 所以AB的垂直平分线方程为x=2, 它与x轴的交点为圆心C(2,0), 又半径r=|AC|=, 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. (2)若P为圆C上任意一点,定点M(8,0),点Q满足=3,求点Q的轨迹方程. 【解析】(2)设P(x0,y0),Q(x,y), 由=3, 得(8-x0,-y0)=3(8-x,-y), 所以 又点P在圆C上,故(x0-2)2+=10, 所以(3x-18)2+(3y)2=10, 化简得Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=. 【加练备选】 如图,等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2,高为3. (1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程; 【解析】(1)设圆心E(0,b),则C(,3),B(3,0). 由|EB|=|EC|,得=,解得b=1, 所以外接圆E的方程为x2+(y-1)2=10. (2)若线段MN的端点N的坐标为(5,2),端点M在圆E上运动,求线段MN的中点P的轨迹方程. 【解析】(2)设P(x,y),由于P是MN的中点, 由中点坐标公式,得M(2x-5,2y-2), 代入x2+(y-1)2=10, 化简得(x-)2+(y-)2=, 即线段MN的中点P的轨迹方程为(x-)2+(y-)2=. 12.(10分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; 【解析】(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4. 设M(x,y),则=(x,y-4), =(2-x,2-y). 由题设知·=0, 故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P在圆C的内部, 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2. (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积. 【解析】(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.由于|OP|=|OM|, 故O在线段PM的垂直平分线上, 易知P在圆N上,从而ON⊥PM. 因为ON的斜率为3,所以l的斜率为-, 故l的方程为x+3y-8=0. 又|OM|=|OP|=2,O到l的距离为, 所以|PM|=, S△POM=××=, 故△POM的面积为. 创新提分练 13.(5分)“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为(　　) A.-　 B.-　 C.-　 D.-1 【解析】选C.记A(2,0),连接AP(图略),则k=为直线AP的斜率,故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1(x>0)相切时,k最小,此时AP:y=k(x-2),故=1,解得k=-或k=0(舍去),即kmin=-. 14.(5分)已知A(-2,0),B(2,0),动点M满足|MA|=2|MB|,则点M的轨迹方程是__________;又若·=0,此时△MAB的面积为______________.  【解析】设M(x,y),由|MA|=2|MB|,得=2,整理得3x2+3y2-20x+12=0.以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4,联立 解得|y|=.即M点的纵坐标的绝对值为.此时△MAB的面积为S=×4×=. 答案:3x2+3y2-20x+12=0　 - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $