第8章 第53讲 第2课时 圆锥曲线中的最值、范围问题(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

第2课时　圆锥曲线中的最值、范围问题 考点突破强技能 考点一最值问题 【例1】(2023·全国甲卷)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且|AB|=4. (1)求p; (2)设C的焦点为F,M,N为C上两点,·=0,求△MNF面积的最小值. 【解析】(1)设A(xA,yA),B(xB,yB), 由可得,y2-4py+2p=0, 所以yA+yB=4p,yAyB=2p, 所以|AB|==|yA-yB|=×=4, 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得:p=2. (2)因为F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为零, 设直线MN为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得,y2-4my-4n=0, 所以y1+y2=4m,y1y2=-4n, Δ=16m2+16n>0⇒m2+n>0, 因为·=0, 所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0, 即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0, 亦即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0, 将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入得, 4m2=n2-6n+1,4(m2+n)=(n-1)2>0, 所以n≠1,且n2-6n+1≥0, 解得n≥3+2或n≤3-2. 设点F到直线MN的距离为d, 所以d=, |MN|= =|y1-y2|= = =2|n-1|, 所以△MNF的面积S=×|MN|×d =×2|n-1|×=(n-1)2, 而n≥3+2或n≤3-2, 所以当n=3-2时,△MNF的面积最小, Smin==12-8. 解题技法 圆锥曲线中求最值问题的方法 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决. (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等. 【训练1】　在平面直角坐标系xOy中,动点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍,设动点P的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)直线l:x=my-1与曲线C交于A,B两点,求△MAB面积的最大值. 【解析】(1)设P(x,y),因为点P到直线x=4的距离是它到点M(1,0)的距离的2倍, 所以|x-4|=2,则x2-8x+16=4x2-8x+4+4y2,整理得+=1, 故曲线C的方程为+=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组整理得(3m2+4)y2-6my-9=0, 则Δ=(-6m)2+36(3m2+4)=144(m2+1)>0,y1+y2=,y1y2=-. 易知l:x=my-1恒过点(-1,0), 所以S△MAB=×2×|y1-y2|===. 令t=,t≥1,f(t)=3t+, 则f'(t)=3->0在[1,+∞)上恒成立,f(t)在[1,+∞)上单调递增, 则当t=1时,f(t)min=f(1)=4,则S△MAB的最大值为3. 故△MAB面积的最大值为3. 考点二范围问题 【例2】已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,且过点(1,). (1)求椭圆C的方程. (2)过点M(2,0)的直线交椭圆C于A,B两点,P为椭圆C上一点,O为坐标原点,且满足+=t,其中t∈(,2), (i)设过点M(2,0)的直线的斜率为k,求证:<k2<; (ii)求|AB|的取值范围. 【解析】(1)依题意得 解得所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)(i)由题意可知,直线AB的斜率存在且过点M(2,0),设其方程为y=k(x-2). 由得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0,所以Δ=8(1-2k2)>0,解得k2<. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2-4)=-. 由+=t, 得P(,), 代入椭圆C的方程得t2=. 由<t<2,得<k2<. (ii)|AB|=·=2. 令u=,则u∈(,), 所以|AB|=2∈(0,), 所以|AB|的取值范围为(0,). 解题技法 圆锥曲线中取值范围问题的常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系. (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围. (4)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围. 【训练2】　(2025·张家口模拟)已知P(0,)和Q(,1)为椭圆C:+=1(a>b>0)上的两点. (1)求椭圆C的离心率; (2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点,求S△AOB的取值范围. 【解析】(1)将P(0,)和Q(,1)代入椭圆方程可得+=1且+=1, 解得,故该椭圆方程为+=1, 故离心率为=. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 将l:y=kx+1,代入椭圆方程, 整理得(2k2+1)x2+4kx-2=0, 所以 所以|AB|=|x1-x2| = =· =·, 因为点O到直线l的距离为d=, 所以S△OAB=|AB|d=××=, 设1+2k2=t,则t≥1, 所以S△OAB=×=×≤, 当t=1时上式取等号,S△AOB的最大值为, 故S△AOB∈(0,]. - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $