第8章 第50讲 双曲线(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦双曲线专题，覆盖定义、标准方程及几何性质等核心考点，按“定义内涵—方程推导—性质应用”逻辑架构知识，通过教材梳理夯实基础，考点突破分定义应用、方程求解、几何性质三个模块，配合解题技法总结与真题训练，帮助学生构建完整知识体系。 教案融入数学思维与数学语言核心素养，如在离心率求解中采用定义法、坐标法等一题多法，培养推理能力，在渐近线问题中通过模型建构（如共渐近线双曲线方程设为λ形式）提升应用意识。设置基础自测、真题训练及分层加练，结合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏、学生提升应考能力提供有力支持。

第50讲　双曲线 复习目标 1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质. 3.通过双曲线的学习,进一步体会数形结合的思想. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　双曲线的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a,0<2a<|F1F2|},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. (1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线; (2)当2a=|F1F2|时,P点的轨迹是两条射线; (3)当2a>|F1F2|时,P点不存在. 知识点2　双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤-a,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a,线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长 a,b,c 的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) [注意点]在双曲线的标准方程中,看x2项与y2项的系数的正负,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上,即“焦点位置看正负,焦点随着正的跑”. 常用结论 1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b. 2.若P是双曲线右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a. 3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦),其长为. 4.与双曲线-=1(a>0,b>0)有共同渐近线的双曲线方程可表示为-=t(t≠0). 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)平面内到点F1(0,3),F2(0,-3)距离之差的绝对值等于6的点的轨迹是双曲线.(　×　) (2)平面内到点F1(0,4),F2(0,-4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　×　) (3)方程+=1(mn<0)表示焦点在坐标轴上的双曲线.(　√　) (4)焦点在x轴上的双曲线的离心率越大,其渐近线斜率的绝对值就越大.(　√　) 2.(选择性必修第一册P127习题3.2T1变式)双曲线4x2-y2+64=0上一点P与它的一个焦点的距离等于26,那么点P与另一个焦点的距离等于____________.  【解析】4x2-y2+64=0可化为-=1, 所以a=8,b=4,c==4. 不妨设|PF1|=26,则||PF2|-|PF1||=2a=16,得|PF2|=10或42. 答案:10或42 3.(选择性必修第一册P127习题3.2T6改编)经过点A(3,-1),且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为______________.  【解析】设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0), 把点A(3,-1)代入,得9-1=λ,λ=8, 故所求双曲线方程为-=1. 答案:-=1 4.(一题多法)已知双曲线-=1的右焦点为F,点P为双曲线右支上任意一点,则线段PF的最小值为________.  【解析】法一:F点坐标为(5,0),设P点坐标为(a,b)(a≥3),则|PF|=,又点P在双曲线右支上,所以-=1,所以b2=,所以|PF|==≥=2.所以PF的最小值为2. 法二:因为在双曲线-=1中,a=3,b=4,c==5,所以由常用结论(7)可知|PF|≥c-a=2. 答案:2 考点突破强技能 考点一 双曲线的定义及其应用 【例1】(1)(2024·潍坊模拟)已知动圆M与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆M的圆心轨迹是(　　) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.抛物线 D.以上都不对 【解析】选B.题中两圆分别记为圆A:x2+y2=1以及圆B:x2+y2-6x+7=0,整理得(x-3)2+y2=2,设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则 于是|MB|-|MA|=-1<|AB|,即差为定值,因此动圆M的圆心轨迹是双曲线的一支. (2)已知F为双曲线C:-=1的左焦点,P为其右支上一点,点A(0,-6),则△APF周长的最小值为(　　) A.4+6 B.4+6 C.6+6 D.6+6 【解析】选B.设双曲线的右焦点为M, 由双曲线的方程可得:a2=4,b2=5,则a=2,b=,c=3, 所以F(-3,0),M(3,0),且|PF|-|PM|=2a=4,所以|PF|=|PM|+4, △APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PM|+4+|AF|=|PA|+|PM|+4+3≥|AM|+ 4+3=4+6, 当且仅当M,P,A三点共线时取等号, 则△APF周长的最小值为4+6. (3)(2024·南昌模拟)已知F1,F2分别为双曲线-=1的左、右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点A在双曲线的右支上,则|AP|+|AF2|的最小值为(　　) A.+4 B.-4 C.-2 D.+2 【解析】选C.因为|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2, 所以要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值. 如图,连接F1P交双曲线的右支于点A0.当点A位于点A0处时, |AP|+|AF1|最小,最小值为|PF1|==. 故|AP|+|AF2|的最小值为-2. 解题技法 双曲线定义的主要应用 (1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,结合||PF1|-|PF2||=2a解决问题. (3)如果题设条件涉及动点到两定点的距离,求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解. 【训练1】　(1)(2024·渭南模拟)如果双曲线-=1上一点P到它的右焦点的距离是8,那么点P到它的左焦点的距离是(　　) A.4 B.12 C.4或12 D.不确定 【解析】选C.设双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,则a=2,c==4,则|PF2|=8>6, 由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=2a=4, 即||PF1|-8|=4, 所以|PF1|=4或|PF1|=12, 由于c-a=2,故点P到它的左焦点的距离是4或12. (2)(2024·荆州模拟)已知双曲线C:-=1的左、右焦点分别是F1,F2,点P是C的右支上的一点(不是顶点),过F2作∠F1PF2的平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则|MO|=__________.  【解析】如图所示,延长F2M交PF1于Q, 由于PM是∠F1PF2的平分线,F2M⊥PM, 所以△QPF2是等腰三角形, 所以|PQ|=|PF2|,且M是QF2的中点. 根据双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a=8,即|QF1|=8, 由于O是F1F2的中点, 所以MO是△QF1F2的中位线, 所以|MO|=|QF1|=4. 答案:4 【加练备选】 1.(2020·全国Ⅰ卷)设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　) A. B.3 C. D.2 【解析】选B.由题意知a=1,b=,c=2.不妨设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则F1(-2,0),F2(2,0). 因为|OP|=2,所以点P在以O为圆心,F1F2为直径的圆上,故PF1⊥PF2,则|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16. 由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=2a=2,所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4, 所以|PF1|·|PF2|=6, 所以△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|=3. 2.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则|PA|+|PB|=____________.  【解析】不妨设点P在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,由双曲线的定义知|PA|-|PB|=2,① 又|PA|2+|PB|2=36,② 联立①②,化简得2|PA|·|PB|=16, 所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2. 答案:2 考点二 双曲线的标准方程……题组练通 【例2】根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)经过点P(3,2),Q(-6,7); (2)离心率e=,且过点(2,2); (3)经过点(1,),其渐近线方程为y=±2x. 【解析】(1)设双曲线方程为mx2-ny2=1(mn>0). 所以解得 所以该双曲线的标准方程为-=1. (2)由题意,知e===, 解得a=2b, 当焦点在x轴上时, 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 因为点(2,2)在该双曲线上,所以-=1, 即-=1,此方程无解; 当焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程为 -=1(a>0,b>0), 因为点(2,2)在该双曲线上,所以-=1, 即-=1,解得b=1,所以a=2, 所以该双曲线的标准方程为-x2=1. (3)法一:由题意可知,①若双曲线的焦点在x轴上,则可设-=1(a>0,b>0), 则-=1且=2, 联立解得a=,b=1, 则双曲线的方程为4x2-y2=1; ②若双曲线的焦点在y轴上, 则可设-=1(a>0,b>0), 则-=1,且=2,此时无解. 综上,双曲线的方程为4x2-y2=1. 法二:由题可设双曲线方程为4x2-y2=λ(λ≠0), 因为双曲线经过点(1,), 所以λ=4×12-()2=1, 所以双曲线方程为4x2-y2=1. 解题技法 求双曲线的标准方程的方法 (1)定义法:由题目条件判断出动点轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程. (2)待定系数法:先确定焦点在x轴上还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0),再根据条件求λ的值. 题|组|进|阶 1.与椭圆C:+=1共焦点且过点(1,)的双曲线的标准方程为(　　) A.x2-=1　 B.y2-2x2=1 C.-=1　 D.-x2=1 【解析】选C.椭圆C的焦点坐标为(0,±2), 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 由双曲线的定义可得 2a=|-|=(+)-(-)=2, 所以a=, 因为c=2,所以b==, 因此双曲线的方程为-=1. 2.(一题多法)已知双曲线过点(2,3),渐近线方程为y=±x,则该双曲线的标准方程是(　　) A.-=1　 B.-=1 C.x2-=1　 D.-=1 【解析】选C.法一:当双曲线的焦点在x轴上时, 设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0), 由题意得 解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1; 当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0), 由题意得无解. 故该双曲线的标准方程为x2-=1. 法二:把x=2代入渐近线方程y=x中, 得y=2>3, 又点(2,3)在第一象限,所以双曲线的焦点在x轴上, 设双曲线的标准方程是-=1(a>0,b>0), 由题意得 解得所以该双曲线的标准方程为x2-=1. 法三:因为双曲线的渐近线方程为y=±x,即=±x, 所以可设双曲线的方程是x2-=λ(λ≠0),将点(2,3)代入,得λ=1, 所以该双曲线的标准方程为x2-=1. 3.设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过左焦点F1作直线F1P与圆x2+y2=a2切于点E,与双曲线右支交于点P,且满足E为PF1中点,|OE|=,则双曲线的标准方程为__________.  【解析】依题意作图,如图所示, 因为E是PF1的中点,OE⊥PF1, 所以△OPF1是等腰三角形, |OP|=|OF1|=c, 又O是F1F2的中点, 所以OE∥PF2, 由|OE|=知a=,a2=2, 在Rt△OEF1中,|EF1|==, |PF1|=2|EF1|=2,|PF2|=2|OE|=2, 根据双曲线的定义有|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=4, 即2=4,c2=10, 所以b2=c2-a2=8, 所以双曲线的标准方程为-=1. 答案:-=1 4.已知双曲线E与双曲线-=1共渐近线且经过点P(2,3),则双曲线E的标准方程为__________,顶点坐标为__________.  【解析】根据题意,设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0), 又因为双曲线经过点P(2,3), 得-=λ,即λ=-4, 所以双曲线的方程为-=-4, 其标准方程为-=1, 顶点坐标为(0,6),(0,-6). 答案:-=1　(0,6),(0,-6) 考点三 双曲线的几何性质 角度1　双曲线的渐近线 【例3】(1)双曲线x2-=1两条渐近线的夹角为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.由双曲线x2-=1,得a=1,b=, 所以渐近线方程为y=±x, 所以两条渐近线倾斜角分别是,, 所以两条渐近线的夹角为. (2)(一题多法)(2022·北京卷)已知双曲线y2+=1的渐近线方程为y=±x,则m=________.  【解析】法一:依题意得m<0,双曲线的方程化为标准方程为y2-=1,此时双曲线的渐近线的斜率为±=±,解得m=-3. 法二:由y=±x得双曲线方程可设为y2-=λ(λ>0)与y2+=1相同,则得λ=1,m=-3. 答案:-3 (3)(2024·南京模拟)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|=|F1F2|,且cos∠PF1F2=,则双曲线的渐近线方程为(　　) A.3x±4y=0 B.4x±3y=0 C.3x±5y=0 D.5x±4y=0 【解析】选B.作F2Q⊥PF1于点Q,如图所示, 因为|F1F2|=|PF2|,所以Q为PF1的中点, 由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a, 所以|PF1|=2a+2c,故|F1Q|=a+c, 因为cos∠PF1F2=, 所以=cos∠PF1F2, 即=,得3c=5a, 所以3=5a,得=, 故双曲线的渐近线方程为y=±x, 即4x±3y=0. 解题技法 1.渐近线的求法 求双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线的方法是令-=0,即得两渐近线方程±=0(y=±x). 2.根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程 (1)渐近线为y=x的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0); (2)如果两条渐近线的方程为Ax±By=0,那么双曲线的方程可设为A2x2-B2y2=m(m≠0); (3)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程可设为-=λ(λ≠0). 【训练2】　(1)(2025·八省联考)双曲线x2-=1的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±2x C.y=±3x D.y=±4x 【解析】选C.因为a=1,b=3, 所以渐近线方程为y=±3x. (2)已知双曲线Γ:-y2=1(a>0),任取双曲线Γ右支上两个不相同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),都有x1x2-y1y2>0成立,则实数a的取值范围是______________.  【解析】设O是坐标原点,点P3与点P2关于x轴对称,如图,则P3(x2,-y2), ·=x1x2-y1y2>0, 所以∠P1OP3恒为锐角,所以∠MON≤90°, 所以双曲线Γ的其中一条渐近线y=x的斜率≤1,又a>0,所以a≥1, 即a的取值范围是[1,+∞). 答案:[1,+∞) 角度2　双曲线的离心率 【例4】(1)(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2.点A在C上,点B在y轴上,⊥,=-,则C的离心率为________.  【解析】法一:依题意,设|AF2|=2m, 则|BF2|=3m=|BF1|,|AF1|=2a+2m, 在Rt△ABF1中,9m2+(2a+2m)2=25m2,则(a+3m)(a-m)=0,故a=m或a=-3m(舍去), 所以|AF1|=4a,|AF2|=2a,|BF2|=|BF1|=3a,则|AB|=5a, 故cos∠F1AF2===, 所以在△AF1F2中, cos∠F1AF2==, 整理得5c2=9a2,故e==. 法二:依题意,得F1(-c,0),F2(c,0), 令A(x0,y0),B(0,t),因为=-, 所以(x0-c,y0)=-(-c,t),则x0=c,y0=-t, 又⊥,所以·=(c,-t)(c,t)=c2-t2=0,则t2=4c2, 又点A在C上,则-=1, 整理得-=1,则-=1, 所以25c2b2-16c2a2=9a2b2, 即25c2(c2-a2)-16a2c2=9a2(c2-a2), 整理得25c4-50c2a2+9a4=0, 则(5c2-9a2)(5c2-a2)=0, 解得5c2=9a2或5c2=a2, 又e>1,所以e=或e=(舍去),故e=. 答案: (2)(2024·新高考Ⅰ卷)设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点,若|F1A|=13,|AB|=10,则C的离心率为________.  【解析】由题意知:|AF2|=5,|F1F2|=2c=12,c=6,|AF1|-|AF2|=2a=8,a=4,e==. 答案: 解题技法 求双曲线离心率的方法 (1)若已知a,c,可直接利用e=求解; (2)若已知a,b,可直接利用e=得解; (3)若得到的是关于a,c的齐次方程pc2+qac+ra2=0(p,q,r为常数,且pqr≠0),则转化为关于e的方程pe2+qe+r=0求解. 【训练3】　(1)(2021·全国甲卷)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠F1PF2=60°,|PF1|=3|PF2|,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A. 记r1=,r2=,由r1=3r2及r1-r2=2a,得r1=3a,r2=a,又由余弦定理知,+-2r1r2cos∠F1PF2=4c2,得7a2=4c2,从而e==. (2)若双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),则实数m的取值范围为(　　) A.(0,4) B.(0,8) C.(1,9) D.(8,+∞) 【解析】选B.由已知条件,得m>0. 因为双曲线x2-=1的离心率e∈(1,3),e=,所以1<<3,解得0<m<8, 所以实数m的取值范围为(0,8). 【加练备选】 1.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,且∠OPF2=90°,=,若点Q也在双曲线C上,则双曲线C的离心率为__________.  【解析】依题意,OP⊥PF2,而O为线段F1F2的中点,且=,则QF1⊥QF2, 令|PF2|=m,则|PF1|=m+2a,|QF2|=2m,|QF1|=2m-2a, 在Rt△QF1F2和Rt△QF1P中,由勾股定理可得, 解得c=a, 则e==. 答案: 2.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,若过点F2的直线与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点,且AF1=BF1=2.又以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点,则双曲线的离心率为__________.  【解析】如图,因为AF1=BF1=2,AF2-AF1=2a=BF1-BF2, 所以AF2=2+2a,BF2=2-2a, 所以AB=AF2-BF2=4a. 因为以双曲线的顶点为圆心,半径为2的圆恰好经过双曲线虚轴的端点, 所以a2+b2=(2)2=c2, 所以c2=8,所以F1F2=4. 在△BF1F2中, cos∠F1BF2==, 在△AF1B中,cos∠ABF1==a. 因为∠F1BF2=π-∠ABF1, 所以cos∠F1BF2=-cos∠ABF1, 所以=-a, 解得a2=2, 所以e==2. 答案:2 - 18 - 学科网（北京）股份有限公司 $