第8章 第49讲 第2课时 椭圆的几何性质(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

第2课时　椭圆的几何性质 考点突破强技能 考点一 对椭圆几何性质的理解 【例1】(多选题)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论中正确的是(　　) A.m=2　 B.C的长轴长为 C.C的短轴长为　 D.C的离心率为 【解析】选AD.由已知可得焦点在y轴上,则m2-1>m,m>0, 且=1,解得m=2或m=-1(舍去), 即椭圆C的方程为+=1, 由此可知a2=3,b2=2,即a=,b=, 因此长轴长为2a=2,短轴长为2b=2, 离心率e===. 解题技法 利用椭圆几何性质解题的方法 根据椭圆标准方程研究椭圆的几何性质,主要是根据方程确定参数的几何意义,结合有关量的特征求解. 【训练1】　(多选题)已知椭圆C:+=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的3倍,则下列说法正确的是(　　) A.椭圆C的长轴长为6 B.椭圆C的短轴长为2 C.椭圆C的焦距为2 D.椭圆C的离心率为 【解析】选ABD.因为椭圆C:+=1的焦点在y轴上,所以a2=9,b2=m,且0<m<9, 又因为长轴长是短轴长的3倍,即2a=3×2b,a=3b,故a2=9b2,即9=9m,故m=1, 由a2=9得a=3,故椭圆C的长轴长为2a=6,故A正确; 由b2=m=1得b=1,故椭圆C的短轴长为2b=2,故B正确; 因为c2=a2-b2=9-1=8,所以c=2,故椭圆C的焦距为2c=4,故C错误; 椭圆C的离心率为=,故D正确. 考点二 求椭圆的离心率的值或范围 【例2】(1)(2023·新高考Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=e1,则a=(　　) A. B. C. D. 【命题意图】本题考查了椭圆的几何性质,考查了椭圆离心率的求解方法,考查学生的运算能力. 【解析】选A.由e2=e1,得=3,即=3×,解得a=. (2)已知F1,F2为椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,在椭圆E上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|且F2到直线PF1的距离等于b,则椭圆E的离心率为(　　) A.　 B.　 C.　 D. 【解析】选B.因为在椭圆E上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|且F2到直线PF1的距离等于b,可得2c+2=2a,所以(a-c)2=4c2-b2,整理可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0,解得e=(负值已舍去). (3)在椭圆+=1(a>b>0)中,F1,F2分别是其左、右焦点,若椭圆上存在点P使得|PF1|-2|PF2|=a,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.(,1)　 B. (0,] C.[,1)　 D.[,1) 【解析】选D.依题意可知|PF1|+|PF2|=2a,结合|PF1|-2|PF2|=a可得|PF2|=,|PF1|=,由椭圆的几何性质可知a-c≤|PF1|≤a+c,所以a-c≤≤a+c,解得e≥,又因为e∈(0,1),则该椭圆的离心率e的取值范围是[,1). 解题技法 求椭圆离心率的一般策略 (1)直接利用公式e=求解; (2)通过构造关于a,c的“齐次方程”来解决,构造关于的方程求解; (3)确定a,b,c的一个关系求离心率,椭圆e===; (4)求椭圆离心率的取值范围,则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式后进一步求解. 【训练2】　(1)(一题多法)(2022·全国甲卷)椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为(　　) A. B. C. D. 【解析】选A.法一:由题意得A(-a,0), 设P(m,n),则Q(-m,n),kAP=, kAQ=, 所以kAP·kAQ=·==. 由+=1,得=,所以=,所以椭圆C的离心率e===. 法二:设椭圆C的右顶点为B,因为点P,Q均在C上,且关于y轴对称,所以直线BP,AQ关于y轴对称, 所以kAP·kAQ=-kAP·kBP=. 设P(x0,y0),由题得A(-a,0),B(a,0), 则kAP·kBP=·==-=e2-1=-,所以e2=,即e=. (2)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆C上存在一点P,使得△PF1F2的内切圆的半径为,则椭圆C的离心率的取值范围是__________.  【解题指南】利用△PF1F2面积相等,得到|yP|=,由此得到|yP|≤b,消去b,整理化简求出离心率的取值范围. 【解析】△PF1F2的面积为|F1F2|·|yP|, 因为△PF1F2的内切圆半径为, 所以△PF1F2面积可表示为(2a+2c)×, 所以×2c×|yP|=(2a+2c)×, 解得|yP|=,因为|yP|≤b,所以≤b, 两边平方得()2≤b2, 又因为b2=a2-c2,整理得5c2+2ac-3a2≤0, 因为e=,所以不等式两边同时除以a2, 得5e2+2e-3≤0,解得0<e≤. 答案: (0,] 考点三 与椭圆相关的最值(取值范围)问题 【例3】(1)(多选题)已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F,E,直线x=m(-1<m<1)与椭圆相交于点A,B,则(　　) A.椭圆C的离心率为 B.存在m,使△FAB为直角三角形 C.存在m,使△FAB的周长最大 D.当m=0时,四边形FBEA的面积最大 【解析】选BD.如图, 对于A,由椭圆方程可得,a=2,b=,则c=1,椭圆C的离心率为e=,故错误; 对于B,当m=0时,可以得出∠AFE=, 当m=1时,得tan ∠AFE=<1=tan , 根据椭圆的对称性可知存在m,使△FAB为直角三角形,故正确; 对于C,由椭圆的定义得,△FAB的周长为|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|, 因为|AE|+|BE|≥|AB|, 所以|AB|-|AE|-|BE|≤0, 当AB过点E时取等号, 所以|AB|+|AF|+|BF|=4a+|AB|-|AE|-|BE|≤4a, 即直线x=m过椭圆的右焦点E时,△FAB的周长最大,此时直线AB的方程为x=m=1, 但是-1<m<1,故不存在m,使△FAB的周长最大,故错误; 对于D,|FE|为定值2,根据椭圆的对称性可知,当m=0时,|AB|最大, 则四边形FBEA的面积最大,故正确. (2)已知点A(4,0),B(0,4),直线l:x=,动点P到点A的距离和它到直线l的距离之比为4∶5,则|PB|的最大值是(　　) A. B.7 C.5 D.2 【解析】选C.设点P(x,y),由题意可得=,整理可得+=1, 则x2=25-y2,其中-3≤y≤3,所以,|PB|== =,所以当y=-时,|PB|取最大值,即|PB|max=5. (3)已知椭圆C:+=1,F1,F2分别为C的左、右焦点,M是椭圆上的动点,则△F1MF2的内切圆半径的最大值为________.  【解析】因为椭圆的标准方程为+=1, 所以a=5,b=4,c==3; 当△MF1F2的面积最大时,点M为椭圆C的一个短轴顶点,不妨设点M为椭圆C的上顶点,点O为坐标原点,△MF1F2内切圆半径为r, 则|MF1|=|MF2|=a=5,|F1F2|=2c=6,|OM|=b=4, =(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r =|F1F2|·|OM|,所以r=. 答案: 解题技法 与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义,尤其是椭圆的性质; (2)利用函数,尤其是二次函数; (3)利用不等式,尤其是基本不等式; (4)利用一元二次方程的判别式. 【训练3】　(1)(2021·全国乙卷)设B是椭圆C:+y2=1的上顶点,点P在C上,则|PB|的最大值为(　　) A. B. C. D.2 【命题意图】本题以椭圆为载体,考查最值问题的求法,运用数形结合思想求解圆锥曲线问题的能力. 【解析】选A.由P在C上,设P(x0,y0),则+=1,又因为B(0,1),因此|PB|2=+(y0-1)2,由+=1,=5-5,y0∈[-1,1],代入上式得|PB|2=5-5+(y0-1)2,化简得|PB|2=-4+,y0∈[-1,1].因此当且仅当y0=-时,|PB|取得最大值. (2)(2025·广州模拟)已知点A,B是椭圆+=1上不关于长轴对称的两点,且A,B两点到点M(m,0)的距离相等,则实数m的取值范围为(　　) A. (-,) B.(-1,1) C. (-,) D.(-2,2) 【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点为G(x0,y0),则 两式相减得+=0, 所以=-, 所以=-, 所以=-, 因为M(m,0),|MA|=|MB|,所以MG⊥AB, 所以=, 所以4x0-4m=3x0,所以x0=4m, 因为-4<x0<4, 所以-4<4m<4,所以-1<m<1, 即实数m的取值范围为(-1,1). - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $