第8章 第48讲 直线与圆、圆与圆的位置关系(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕直线与圆、圆与圆的位置关系核心考点，按“位置关系判断—弦长计算—切线方程—圆与圆位置关系”逻辑梳理知识点，通过教材梳理夯基础、考点突破强技能、真题演练提能力的教学流程，帮助学生掌握几何法与代数法，突破距离公式应用等难点。 教案采用分层教学与真题导向策略，如切线问题中对比几何法与代数法培养数学思维，结合2023新高考Ⅱ卷弦长真题训练提升运算能力。设置基础自测与能力提升题组，确保复习针对性，助力教师把控节奏，高效提升学生应考能力。

第48讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 复习目标 1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r) 项目 相离 相切 相交 图形 量 化 方程 观点 Δ<0 Δ=0 Δ>0 几何 观点 d>r d=r d<r 知识点2　圆与圆的位置关系(☉O1,☉O2的半径分别为r1,r2,d=|O1O2|) 项目 图形 量的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|<d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 常用结论 1.圆的切线方程的常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. (4)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论 (1)公共弦方程:两圆相交时公共弦所在直线的方程由两圆方程相减得到. (2)两个圆系方程 ①过直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R). ②过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)(该圆系不含圆C2,解题时,注意检验圆C2是否满足题意,以防漏解). 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(　√　) (2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(　×　) (3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(　×　) (4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(　√　) 2.(选择性必修一P96·例5变式)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是(　　) A.外离 B.相交 C.相切 D.内含 【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1, O2:x2+(y-8)2=64, 所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, |O1O2|==6, 则|O1O2|=6<r2-r1=7,所以两圆内含. 3.(选择性必修一P93·练习T3变式)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(　　) A. B. C.2 D. 【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=,圆的半径r=,解直角三角形得,半弦长为,所以弦长等于. 4.过点P(,1)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________.  【解析】可得切线方程为x+(1-1)(y-1)=2, 即x=. 答案:x= 考点突破强技能 考点一 直线与圆的位置关系……题组练通 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为(　　) A.相切　 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心　 D.相离 【解析】选B.圆心为(0,0),到直线y=x+1,即x-y+1=0的距离d==,而0<<1,但是圆心不在直线y=x+1上,所以直线与圆相交,但直线不过圆心. 2.(一题多法)直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0的位置关系为(　　) A.相交、相切或相离　 B.相交或相切 C.相交　 D.相切 【解析】选C.法一:直线kx-y+2-k=0的方程可化为k(x-1)-(y-2)=0,该直线恒过定点(1,2). 因为12+22-2×1-8<0, 所以点(1,2)在圆x2+y2-2x-8=0的内部, 所以直线kx-y+2-k=0与圆x2+y2-2x-8=0相交. 法二:圆的方程可化为(x-1)2+y2=32,所以圆的圆心为(1,0),半径为3.圆心到直线kx-y+2-k=0的距离为=≤2<3,所以直线与圆相交. 3.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交,则点P(a,b)(　　) A.在圆上　 B.在圆外 C.在圆内　 D.以上都有可能 【解析】选B.直线与圆有两个不同的交点,则圆心到直线的距离小于半径, 即<1,即a2+b2>1, 据此可得,点P(a,b)与圆的位置关系是点在圆外. 4.(多选题)已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则以下命题中正确的有(　　) A.直线l恒过定点(3,1) B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C恒相交 D.直线l与圆C相离 【解析】选AC.将直线l的方程整理为x+y-4+m(2x+y-7)=0,由解得则无论m为何值,直线l过定点(3,1),因为(3-1)2+(1-2)2<25,所以点(3,1)在圆内,故直线l与圆C恒相交,故AC正确. 5.(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(　　) A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切 B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离 C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离 D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切 【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系,意在考查基本运算求解能力. 【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d=,若点A(a,b)在圆C上, 则a2+b2=r2,所以d==|r|, 则直线l与圆C相切,故A正确; 若点A(a,b)在圆C内, 则a2+b2<r2,所以d=>|r|, 则直线l与圆C相离,故B正确; 若点A(a,b)在圆C外, 则a2+b2>r2,所以d=<|r|, 则直线l与圆C相交,故C错误; 若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2,所以d==|r|,直线l与圆C相切,故D正确. 解题技法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法:利用d与r的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断. (3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. 考点二 直线与圆的位置关系的应用 角度1　弦长问题 【例1】(1)(2024·全国甲卷)已知a,b,c成等差数列,直线ax+by+c=0与圆C:x2+(y+2)2=5交于A,B两点,则|AB|的最小值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 【解析】选C.因为a,b,c成等差数列,所以a-2b+c=0,所以直线ax+by+c=0恒过点(1,-2),设点P的坐标为(1,-2),则点P在圆C:x2+(y+2)2=5内, 所以当PC⊥AB时,|AB|取得最小值,此时|PC|=1,|AB|=2=4. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线x-my+1=0与圆C:(x-1)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为__________________________.  【解析】设点C到直线AB的距离为d,由弦长公式得|AB|=2, 所以S△ABC=×d×2=, 解得:d=或d=, 由d==, 所以=或=, 解得:m=±或m=±2. 答案:2(2,-2,,-中任意一个皆可以) 解题技法 直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:利用圆的半径r,圆心到直线的距离d,弦长l之间的关系r2=d2+()2,整理出弦长公式为l=2. (2)代数法:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后,直接用两点间距离公式计算弦长. (3)弦长公式法:设直线l:y=kx+b与圆的交点为(x1,y1),(x2,y2),将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得到弦长l=|x1-x2|= . 【训练1】　(1)已知圆C:x2+2x+y2-1=0,直线mx+n(y-1)=0与圆C交于A,B两点.若△ABC为直角三角形,则(　　) A.mn=0 B.m-n=0 C.m+n=0 D.m2-3n2=0 【解析】选A.因为圆C:x2+2x+y2-1=0,圆心为C(-1,0),半径为r=,即|CA|=|CB|=,因为△ABC为直角三角形,所以|AB|==2, 设圆心C(-1,0)到直线mx+n(y-1)=0的距离为d,d==, 由弦长公式|AB|=2得d=1,所以=1,化简得mn=0. (2)已知圆M的方程为x2+y2-6x-8y=0,过点P(0,4)的直线l与圆M相交的所有弦中,弦长最短的弦为AC,弦长最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为(　　) A.30 B.40 C.60 D.80 【解析】选B.圆M的标准方程为(x-3)2+(y-4)2=25, 即圆的圆心为M(3,4),半径为5, 由(0-3)2+(4-4)2=9<25,知点P(0,4)在圆内, 则最短的弦是以P(0,4)为中点的弦, 所以25=()2+9,所以|AC|=8,过P(0,4)最长的弦BD为直径,所以|BD|=10,又AC⊥BD,所以S四边形ABCD=·|AC|·|BD|=40. 角度2　切线问题 【例2】(1)经过点(2,4)且与圆x2+y2=4相切的直线的方程为________________.  【解析】由题意可知圆x2+y2=4的圆心为O(0,0),半径r=2,因为22+42=20>4,所以点(2,4)在圆x2+y2=4外,当直线斜率不存在时,直线方程为x=2,此时圆心O(0,0)到直线x=2的距离d=2=r,符合题意;当直线斜率存在时,设为k,则直线方程为y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,可得=2,解得k=,所以直线方程为3x-4y+10=0.综上所述,切线方程为x=2或3x-4y+10=0. 答案:x=2或3x-4y+10=0 (2)已知点P(+1,2-),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4. ①求过点P的圆C的切线方程; ②求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长. 【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2. ①因为(+1-1)2+(2--2)2=4, 所以点P在圆C上. 又kPC==-1, 所以过点P的切线的斜率为-=1, 所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-)=1×[x-(+1)],即x-y+1-2=0. ②因为(3-1)2+(1-2)2=5>4, 所以点M在圆C外. 当过点M的直线的斜率不存在时, 直线方程为x=3,即x-3=0. 又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,所以直线x=3是圆的切线; 当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0, 由圆心C到切线的距离d'==r=2,解得k=. 所以切线方程为y-1=(x-3), 即3x-4y-5=0. 综上,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0. 因为|MC|=,所以过点M的圆C的切线长为==1. 解题技法 当切线方程斜率存在时,圆的切线方程的求法 (1)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k. (2)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k. 【训练2】　(1)(一题多法)(2023·新高考Ⅰ卷)过点(0,-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α,则sin α=(　　) A.1 B. C. D. 【解析】选B.法一:因为x2+y2-4x-1=0,即(x-2)2+y2=5,可得圆心C(2,0),半径r=, 过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B, 因为|PC|==2, 则|PA|==, 可得sin∠APC==, cos∠APC==, 则sin∠APB=sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=, cos∠APB=cos 2∠APC =cos2∠APC-sin2∠APC=()2-()2=-<0,即∠APB为钝角, 所以sin α=sin (π-∠APB)=sin∠APB=; 法二:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=, 过点P(0,-2)作圆C的切线,切点为A,B,连接AB, 可得|PC|==2, 则|PA|=|PB|==, 因为|PA|2+|PB|2-2|PA|·|PB|cos∠APB =|CA|2+|CB|2-2|CA|·|CB|cos∠ACB, 且∠ACB=π-∠APB,则3+3-6cos∠APB=5+5-10cos (π-∠APB), 即3-3cos∠APB=5+5cos∠APB, 解得cos∠APB=-<0, 即∠APB为钝角,则cos α=cos (π-∠APB)=-cos∠APB=, 且α为锐角,所以sin α==; 法三:圆x2+y2-4x-1=0的圆心C(2,0),半径r=, 若切线斜率不存在,则切线方程为x=0,则圆心到切点的距离d=2<r,不合题意; 若切线斜率存在,设切线方程为y=kx-2, 即kx-y-2=0, 则=,整理得k2+8k+1=0, 且Δ=64-4=60>0, 设两切线斜率分别为k1,k2,则k1+k2=-8,k1k2=1, 可得|k1-k2|==2, 所以tan α==, 即=,可得cos α=, 则sin2α+cos2α=sin 2α+=1, 且α∈(0,),则sin α>0,解得sin α=. (2)由直线x-y+4=0上的一点向圆O:x2+y2=1引切线,则切线长的最小值为__________.  【解析】圆O:x2+y2=1的圆心坐标为O(0,0),半径为1,由直线上的点P向圆O:x2+y2=1引切线,连接PO,要使切线长最小,则|PO|最小,当PO垂直于直线x-y+4=0时,|PO|min==2,因此切线长的最小值为=. 答案: (3)若直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则直线l的方程为______________.  【解析】根据题意,圆M:x2+y2+4x-1=0,即(x+2)2+y2=5,其圆心为M(-2,0).直线l:ax+by-3=0与圆M:x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),连接MP,则P在直线l上,且MP与直线l垂直,b≠0.kMP==2,则有-=-,则有b=2a,又P在直线l上,则有-a+2b-3=0,解得a=1,b=2.则直线l的方程为x+2y-3=0. 答案:x+2y-3=0 考点三 圆与圆的位置关系 【例3】(1)(多选题)已知圆C1:(x-3)2+y2=1,C2:x2+(y-a)2=16,则下列结论正确的有(　　) A.若圆C1和圆C2外离,则a>4 B.若圆C1和圆C2外切,则a=±4 C.当a=0时,圆C1和圆C2有且仅有一条公切线 D.当a=-2时,圆C1和圆C2相交 【解析】选BCD.C1(3,0),C2(0,a),|C1C2|=,r1=1,r2=4. 若C1和C2外离,则|C1C2|=>r1+r2=5,解得a>4或a<-4,故A错误; 若C1和C2外切,|C1C2|==5,解得a=±4,故B正确; 当a=0时,|C1C2|=3=r2-r1,C1和C2内切,故C正确; 当a=-2时,3<|C1C2|=<5,C1和C2相交,故D正确. (2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0. ①判断两圆公切线的条数; ②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度. 【解析】①两圆的标准方程分别为 C1:(x-1)2+(y+5)2=50, C2:(x+1)2+(y+1)2=10, 则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=5; 圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=. 又|C1C2|=2,r1+r2=5+, r1-r2=5-, 所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交, 所以两圆有两条公切线. ②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3, 设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2, 得50=45+l2,解得l=,所以公共弦长2l=2. 解题技法 圆与圆的位置关系问题的解题策略 (1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和以及差的绝对值的大小关系判断. (2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到. (3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d,半弦长,半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解. 【训练3】　(1)若圆x2+y2+4x-4y=0和圆x2+y2+2x-8=0相交于M,N两点,则线段MN的长度为(　　) A.4 B. C. D. 【解析】选C.x2+y2+4x-4y=0,① x2+y2+2x-8=0,② 由①-②可得x-2y+4=0. 所以两圆的公共弦所在直线的方程是x-2y+4=0, 因为圆x2+y2+4x-4y=0的圆心坐标为(-2,2),半径为2,所以圆心到公共弦的距离d=,则|MN|=. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程______________.  【解析】如图,因为圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径r1=1,圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心为A(3,4),半径r2=4, 所以|OA|=5,r1+r2=5,所以|OA|=r1+r2,所以两圆外切,公切线有三种情况: ①易知公切线l1的方程为x=-1. ②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称. 易知过两圆圆心的直线l的方程为y=x, 由得 由对称性可知公切线l2过点(-1,-). 设公切线l2的方程为y+=k(x+1), 则点O(0,0)到l2的距离为1, 所以1=,解得k=, 所以公切线l2的方程为y+=(x+1), 即7x-24y-25=0. ③还有一条公切线l3与直线l:y=x垂直, 设公切线l3的方程为y=-x+t, 易知t>0,则点O(0,0)到l3的距离为1, 列方程解得t=或t=-(舍去), 所以公切线l3的方程为y=-x+, 即3x+4y-5=0. 综上,所求直线方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0. 答案:x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(答案不唯一,只需写出上述三个方程中的一个即可) - 15 - 学科网（北京）股份有限公司 $