核心素养测评(第7章 第44讲 第1课时 线线角与线面角)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:70分) 四十九　线线角与线面角 基础保分练 一、单选题 1.(5分)已知向量m,n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量.若cos<m,n>=-,则直线l与平面α所成的角为 (　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】选A.由于cos<m,n>=-, 所以<m,n>=120°, 所以直线l与平面α所成的角为30°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=,BC=2,点D为BC的中点,则异面直线AD与A1C所成的角为 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(5分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥AB,PA⊥AD,AD=1,AB=, △PAB是等腰三角形,点E是棱PB的中点,则异面直线EC与PD所成角的余弦值是 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】选B.因为四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥AB,PA⊥AD, AB∩AD=A, 所以PA⊥平面ABCD,以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(5分)过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作平面α,使α∥平面A1B1CD,A1D1和D1C1的 中点分别为E和F,则直线EF与平面α所成角的正弦值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.如图,连接A1C1,EF,B1C,取B1C的中点G,连接A1G,C1G.易得EF∥A1C1. 因为α∥平面A1B1CD,EF∥A1C1,所以直线EF与平面α所成角即为A1C1与平面A1B1CD 所成角.易得C1G⊥B1C,CD⊥C1G,且B1C∩CD=C,所以C1G⊥平面A1B1CD,所以 ∠C1A1G为A1C1与平面A1B1CD所成的角.设正方体的棱长为2, 则C1G=,A1C1=2,所以sin∠C1A1G===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、多选题 5.(5分)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,则 (　　) A.直线BC1与DA1所成的角为90° B.直线BC1与CA1所成的角为90° C.直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45° D.直线BC1与平面ABCD所成的角为45° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】选ABD.如图,连接B1C,BC1, 因为DA1∥B1C,所以直线BC1与B1C所成的角即为直线BC1与DA1所成的角, 因为四边形BB1C1C为正方形,则B1C⊥BC1,故直线BC1与DA1所成的角为90°, A正确; 连接A1C,因为A1B1⊥平面BB1C1C,BC1⊂平面BB1C1C,则A1B1⊥BC1,因为B1C⊥BC1,A1B1∩B1C=B1,所 以BC1⊥平面A1B1C,又A1C⊂平面A1B1C,所以BC1⊥CA1,故B正确; 连接A1C1,设A1C1∩B1D1=O,连接BO,因为BB1⊥平面A1B1C1D1,C1O⊂平面A1B1C1D1,则C1O⊥B1B,因 为C1O⊥B1D1,B1D1∩B1B=B1,所以C1O⊥平面BB1D1D,所以∠C1BO为直线BC1与平面BB1D1D所成 的角,设正方体棱长为1,则C1O=,BC1=,sin∠C1BO==,所以直线BC1与平面BB1D1D所成的 角为30°,故C错误; 因为C1C⊥平面ABCD,所以∠C1BC为直线BC1与平面ABCD所成的角,易得∠C1BC=45°,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、填空题 7.(5分)(2024·东北三省三校模拟)如图,四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD, 且PA=AB=2,M是线段PB的中点,则异面直线DM与PA所成角的正切值为.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】四边形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=AB=2,M是线段PB的中点, 所以以A为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图, 则D(0,0,2),P(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点, 且AE=AB,则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 四、解答题 9.(10分)如图,该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径BC=4,AB=AC, ∠BAC=90°,D为半圆弧的中点.若异面直线BD和AC所成角的大小为,求: (1)AA1的长; 【解析】(1)连接A1D,由题意得A1,D关于平面B1BCC1对称, 以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)该几何体的体积; 【解析】(2)V=·AB·AC·h+·π·()2·h=×2×2×2+×π×22×2=8+4π. (3)直线BD和AB所成角的大小. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(10分)(一题多法)如图,已知多面体ABC-A1B1C1,AA1,BB1,CC1均垂直于平面ABC, ∠ABC=120°,A1A=4,CC1=1,AB=BC=BB1=2. (1)证明:AB1⊥平面A1B1C1; 【解析】(1)依题意,可知AA1⊥AB,AA1⊥AC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,CC1⊥BC,CC1⊥AC. 由AB=2,AA1=4,BB1=2,易得AB1=A1B1=2,所以A1+A=A,故AB1⊥A1B1. 由BC=2,BB1=2,CC1=1,易得B1C1=. 由AB=BC=2,∠ABC=120°,得AC=2. 由CC1⊥AC,得AC1=, 所以A+B1=A,故AB1⊥B1C1. 又因为A1B1∩B1C1=B1,A1B1,B1C1⊂平面A1B1C1,所以AB1⊥平面A1B1C1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值. 【解析】(2)法一:如图,过点C1作C1D⊥A1B1,交线段A1B1的延长线于点D,连接AD. 由AB1⊥平面A1B1C1,AB1⊂平面ABB1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1. 由C1D⊥A1B1,平面A1B1C1∩平面ABB1=A1B1,C1D⊂平面A1B1C1,得C1D⊥平面ABB1. 所以∠C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角. 由AA1=4,CC1=1,AC=2,AA1⊥AC,CC1⊥AC,易得A1C1=, 由B1C1=,A1B1=2,A1C1=, 得cos∠C1A1B1=,则sin∠C1A1B1=, 所以C1D=A1C1sin∠C1A1B1=, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 故sin∠C1AD==. 因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是. 法二:由题知BB1⊥平面ABC,CC1⊥平面ABC,所以BB1∥CC1, 因为CC1⊄平面ABB1,BB1⊂平面ABB1, 所以CC1∥平面ABB1. 过C点作CH⊥AB交AB的延长线于点H,易得CH⊥平面ABB1,且CH=. 所以C1到平面ABB1的距离d=. 记AC1与平面ABB1所成的角为θ, 所以sin θ===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 创新提分练 11.(5分)空间直角坐标系Oxyz中,经过点P(x0,y0,z0),且法向量为m=(A,B,C)的平面方程 为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为n=(a,b,c)(abc≠0)的 直线l的方程为==.阅读上面的内容并解决下面问题:现给出平面α的方 程为2x-7y+z-4=0,经过(0,0,0)的直线l的方程为==,则直线l与平面α所成角的正弦 值为 (　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】选A.由题意得,直线l的一个方向向量为n1=(2,3,-1),平面α的一个法向量为m1=(2,-7,1), 设直线l与平面α所成角的大小为θ, 则sin θ=|cos<n1,m1>|===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(5分)手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力,使学生在德、智、 体、美、劳等方面得到全面发展,某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子 模型,它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形,其直观图如图所示, A1F=B1F=2,AB=AA1=2AD=4,P,Q,M,N分别是棱AB,C1E,BB1,A1F的中点,则异面直 线PQ与MN所成角的余弦值是.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】选B.由题意可知,AB,AC,AA1两两互相垂直,以A为坐标原点,AB,AC,AA1所在直线分 别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),A1(0,0,),C(0,,0),D(,,0), 所以=,,0),=(0,,-), 所以|cos<,>|==, 所以异面直线AD与A1C所成的角为. 因为AD=1,AB=,△PAB是等腰三角形,点E是棱PB的中点,所以E(,0,),C(,1,0),P(0,0,),D(0,1,0), =(,1,-),=(0,1,-), 设异面直线EC与PD所成角为θ, 则cos θ===. 所以异面直线EC与PD所成角的余弦值为. 6.(5分)(2024·邢台模拟)在△ABC中,B=,AB=2,BC=3,E为AC的中点,点F在线段 BC上,且CF=2BF,将△ABC以直线BC为轴顺时针转一周围成一个圆锥,D为底面 圆上一点,满足=π,则 (　　) A.BA⊥BD B.在上的投影向量是 C.直线EF与直线CD所成角的余弦值为 D.直线EF与平面ACD所成角的正弦值为 【解析】选ABD.△ABC旋转一周后所得圆锥的顶点为C,底面圆心为B,半径AB=2, 所以圆的周长为4π,所以所对的圆心角∠ABD=,A正确;易知B正确;以B为坐标原点,建立如图 所示的空间直角坐标系, 则A(0,2,0),D(2,0,0),C(0,0,3),E(0,1,),F(0,0,1), 所以=(0,-1,-),=(2,0,-3),=(0,2,-3), 所以cos<,>==,C错误; 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则令z=2,则n=(3,3,2). 设直线EF与平面ACD所成的角为θ, 则sin θ==,D正确. 所以=(1,1,-2),=(2,0,0), 则cos<,>===. 设异面直线DM与PA所成角为θ, 则cos θ=cos<,>=, 所以sin θ==, 所以tan θ==, 所以异面直线DM与PA所成角的正切值为. 【解析】如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0), 所以=(0,3,1),=(1,1,-1),=(0,3,-1). 设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z), 则 即取y=1,得n=(2,1,3). 所以|cos<,n>|==,所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为. 设AA1=h,h>0,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,0,0),D(2,2,h), 所以=(2,0,h),=(2,0,0), 因为异面直线BD和AC所成角的大小为, 所以==, 解得h=2. 【解析】(3)由(1)得=(2,0,2), =(0,2,0), 因为·=0, 所以直线BD和AB所成角的大小为. 法三:分别取AC,A1C1中点O,O1,连接OO1,OB. 由题知OB,OC,OO1两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系. 在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°, 所以AC=2,OB=1,所以A(0,-,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,,1). 所以=(0,2,1),=(1,,0),=(0,0,2). 设平面ABB1的一个法向量n=(x,y,z), 由得 令y=-1,可得n=(,-1,0). 设直线AC1与平面ABB1所成角为θ, 则sin θ=|cos<,n>|==. 圆学子梦想 铸金字品牌 【解析】如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直 角坐标系, 因为A1F=B1F=2,AB=AA1=2AD=4,所以P(2,2,0),Q(0,3,5),M(2,4,2),N(2,1,5), 所以=(-2,1,5),=(0,-3,3), 所以cos<,>===, 因为异面直线PQ与MN所成角为锐角,所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是. - 1 - $