核心素养测评(第7章 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系)(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 四十四　空间点、直线、平面之间的位置关系 基础保分练 一、单选题 1.(5分)下列说法正确的是(　　) A.三点可以确定一个平面 B.一条直线和一个点可以确定一个平面 C.四边形是平面图形 D.两条相交直线可以确定一个平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选D.对于A,不共线的三点确定一个平面,故A错误; 对于B,经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面,故B错误; 对于C,空间四边形不是平面图形,故C错误; 对于D,由基本事实(公理)推论可知,经过两条相交直线,有且只有一个平面,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(5分)若a∥α,b∥β,α∥β,则a,b的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交 D.平行或异面或相交 【解析】选D.如图①②③所示,a,b的关系分别是平行、异面、相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(5分)如图,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必经过(　　) A.点A B.点B C.点C但不过点M D.点C和点M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选D.因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ. 又α∩β=l,M∈l,所以M∈β. 根据基本事实3可知,M在γ与β的交线上. 同理可知,点C也在γ与β的交线上. 所以γ与β的交线必经过点C和点M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(5分)(2025·大连模拟)如图,两个正方形ABCD,ADEF不在同一个平面内,点P,Q分别为线段EF,CD的中点,则直线FQ与PB的位置关系是(　　) A.相交 B.平行 C.异面 D.不确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选C.如图,取AB的中点G,连接GQ,GF,EQ,则GQ∥AD,又AD∥EF,所以GQ∥EF,则G,Q,E,F确定平面GQEF,又FQ⊂平面GQEF,P∈平面GQEF,P∉FQ,B∉平面GQEF,所以直线FQ与PB是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段EB的中点,则(　　) A.DM≠EN,且直线DM、EN是异面直线 B.DM=EN,且直线DM、EN是异面直线 C.DM≠EN,且直线DM、EN是相交直线 D.DM=EN,且直线DM、EN是相交直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选D.连接BD, 因为点N为正方形ABCD的中心, 所以N是BD的中点, 所以DM,EN⊂平面BDE,所以DM与EN相交, 因为四边形ABCD是正方形,所以BC⊥CD, 又因为平面ECD⊥平面ABCD, 平面ECD∩平面ABCD=CD, 所以BC⊥平面ECD, 因为EC,CD⊂平面ECD,所以BC⊥EC,BC⊥CD, 又因为△ECD是等边三角形,所以EC=CD, 所以△ECB≌△DCB,所以EB=DB,又因为M是BE的中点,所以EN=DM. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【变式备选】 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是CC1的中 点,N是C1D1的中点,则下列说法正确的是(　　) A.ON=BM,且直线ON,BM是异面直线 B.ON=BM,且直线ON,BM是相交直线 C.ON≠BM,且直线ON,BM是异面直线 D.ON≠BM,且直线ON,BM是相交直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选A.根据题意,设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,取BC的中点P,连接C1P,OP,   由于OP∥NC1且OP=NC1,则四边形OPC1N是平行四边形,则有ON∥PC1且ON=PC1,在四边形BCC1B1中,边长为2a,P为BC的中点,M是CC1的中点,BM与PC1相交且BM=PC1==a,故ON=BM,且直线ON,BM是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(5分)(一题多法)(2021·全国乙卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为(　　) A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选D.法一:如图,连接C1P, 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,且P为B1D1的中点,所以C1P⊥B1D1, 又C1P⊥BB1,BB1∩B1D1=B1,BB1, B1D1⊂平面B1BD1,所以C1P⊥平面B1BD. 又BP⊂平面B1BD,所以C1P⊥BP. 连接BC1,则AD1∥BC1, 所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角. 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则在Rt△C1PB中,C1P=B1D1=,BC1=2, sin∠PBC1==,所以∠PBC1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 法二:如图所示,连接BC1,A1B,A1P,PC1, 则易知AD1∥BC1, 所以直线PB与AD1所成的角等于直线PB与BC1所成的角(或其补角). 根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点,易知A1,P,C1三点共线,且P为A1C1的中点. 易知A1B=BC1=A1C1, 所以△A1BC1为等边三角形, 所以∠A1BC1=,又P为A1C1的中点, 所以可得∠PBC1=∠A1BC1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 二、多选题 7.(5分)(2024·泰州模拟)已知直线l与平面α相交于点P,则(　　) A.α内不存在直线与l平行 B.α内有无数条直线与l垂直 C.α内所有直线与l是异面直线 D.至少存在一个过l且与α垂直的平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选ABD.如图,对于A,直线l与平面α相交于点P,所以平面α内不存在直线与l平行,故A正确;   对于B,平面α内存在与l在平面α的射影PO垂直的直线n,平面α内与n平行的直线都与l垂直,有无数条,故B正确; 对于C,平面α内过点P的直线m与直线l相交,不是异面直线,故C错误; 对于D,取直线l上除交点P外的一点A,过该点作平面α的垂线AO,则平面POA垂直于平面α,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M,则下列结论正确的是(　　) A.C1,M,O三点共线 B.C1,M,O,C四点共面 C.C1,O,A,M四点共面 D.D1,D,O,M四点共面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选ABC.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为DB的中点,直线A1C交平面C1BD于点M, 在选项A中,因为直线A1C交平面C1BD于点M, 所以M∈平面C1BD,M∈直线A1C, 又A1C⊂平面ACC1A1,所以M∈平面ACC1A1, 因为O为DB的中点,BD⊂平面C1BD, 所以O∈平面C1BD,且O∈平面ACC1A1, 又C1∈平面C1BD,且C1∈平面ACC1A1, 所以C1,M,O三点共线,故选项A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 在选项B中,因为C1,M,O三点共线, 所以C1,M,O,C四点共面,故B正确; 在选项C中,因为C1,M,O三点共线, 所以C1,M,O,A四点共面,故C正确; 在选项D中,因为直线OM∩CC1=C1,DD1∥CC1, 所以D1,D,O,M四点不共面,故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 三、填空题 9.(5分)如图为正方体表面的一种展开图,则图中的AB,CD,EF,GH在原正方体中互为 异面直线的有___对.  3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】画出该正方体的直观图如图所示,   易知异面直线有(AB,GH),(AB,CD),(GH,EF),共3对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(5分)如图,已知在空间四边形ABCD中,AD=BC,M,N分别为AB,CD的中点,且直线BC与MN所成的角为30°,则直线BC与AD所成的角为____.  60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】如图,取BD的中点E,连接EN,EM, 则EN∥BC,ME∥AD, 故∠ENM(或其补角)为BC与MN所成的角, ∠MEN(或其补角)为BC与AD所成的角. 由AD=BC,知ME=EN, 所以∠EMN=∠ENM=30°, 所以∠MEN=180°-30°-30°=120°, 即BC与AD所成的角为60°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【误区警示】 求异面直线所成的角时,应注意的是作出的角有时无法判断是否为锐角(或直角),也有可能是钝角,若是钝角,此角的补角才是所求角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 四、解答题 11.(10分)如图,在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1,AB,BC的中点.求证: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)E,F,G,H四点共面; 【证明】(1)连接AC,A1C1,如图所示, 因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台,所以A1C1∥AC,又E,F,G,H分别为棱A1B1,B1C1, AB,BC的中点,所以EF∥A1C1,GH∥AC,则EF∥GH,所以E,F,G,H四点共面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)EG,FH,BB1相交于一点. 【证明】(2)因为A1C1≠AC,所以EF≠GH,所以EFHG为梯形,则EG与FH必相交.设EG∩FH=P,因为EG⊂平面AA1B1B,所以P∈平面AA1B1B,因为FH⊂平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C, 又平面AA1B1B∩平面BB1C1C=BB1, 所以P∈BB1,则EG,FH,BB1相交于一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(10分)如图所示,三棱锥P-ABC中, PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,E是PC的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1)求证AE与PB是异面直线; 【解析】(1)假设AE与PB共面,设平面为α, 因为A∈α,B∈α,E∈α, 所以平面α即为平面ABE, 所以P∈平面ABE, 这与P∉平面ABE矛盾, 所以AE与PB是异面直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)求异面直线AE与PB所成角的余弦值. 【解析】(2)取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥PB,所以∠AEF(或其补角)就是异面直线AE与PB所成的角. 因为∠BAC=60°,PA=AB=AC=2, PA⊥平面ABC, 所以AF=,AE=,EF=, cos∠AEF===, 故异面直线AE与PB所成角的余弦值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 创新提分练 13.(5分)(多选题)在通用技术课上,某小组将一个直三棱柱ABC-A1B1C1展开,得到的平面图如图所示,其中AB=4,AC=3,BC=AA1=5,M是BB1上的点,则在直三棱柱ABC-A1B1C1中(　　) A.AM与A1C1是异面直线 B.AC⊥A1M C.平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D.A1M+MC的最小值是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】选ABD.由题设可得直三棱柱,如图①所示.由直三棱柱的结构特征知,AM与A1C1是异面直线,故A正确;因为AA1⊥AC,BA⊥AC,且AA1∩BA=A,则AC⊥平面AA1B1B,因为A1M⊂平面AA1B1B,所以AC⊥A1M,故B正确;由图①所示知,平面AB1C将三棱柱截成四棱锥B1-ACC1A1和三棱锥B1-ABC,一个五面体和一个四面体,故C错误;将平面AA1B1B和平面CC1B1B展开成一个平面,如图②所示,当A1,M,C共线时, A1M+MC取得最小值,且最小值为,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14.(5分)我国古代大多数城门楼的底座轮廓大致为上、下两面互相平行,且都是矩形的六面体(如图),现从某城楼中抽象出一几何体ABCD-EFGH,其中ABCD是边长为4的正方形,EFGH为矩形,上、下底面与左、右两侧面均垂直,EF=4,FG=2, AE=BF=CG=DH,且平面ABCD与平面EFGH的距离为4,则异面直线BG与CH所成角 的余弦值为______.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】如图,把此六面体补成正方体,连接AH,AC,由题可知AH∥BG, 所以∠AHC是异面直线BG与CH所成角或其补角,在△AHC中,AH==5, CH==,AC=4, 则cos∠AHC===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $