第7章 第44讲 第1课时 线线角与线面角(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第44讲　空间角与距离 第1课时　线线角与线面角 复习目标 1.能用向量方法解决直线与直线的夹角、直线与平面的夹角问题. 2.体会向量法在研究空间角问题中的应用. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　异面直线所成角 设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则 [注意点]异面直线方向向量夹角的余弦值可能为负值,异面直线所成角的余弦值一定为非负值. 项目 a与b的夹角β l1与l2所成的角θ 范围 _____ _______ 求法 __________ cos θ=|cos β|= (0,π)    cos β= 返回 知识点2　直线与平面所成的角 (1)范围:________. (2)向量求法:设直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,直线AB与平面α所成 的角为θ,则sin θ=__________=________. [注意点]不平行于平面的直线与平面所成的角为锐角或直角,其正弦值等于直线 的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值.  [0,] |cos<u,n>|   返回 基础自测 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角. (　 ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角. (　 ) (3)若直线的方向向量为u,平面的法向量为n,则线面角θ满足sin θ=cos <u,n>. (　 ) 类型 回源教材 澄清盲点 题号 2,4 1,3 × × × 返回 2.(选择性必修一P38T1变式)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,D1是A1B1的中点,BC=CA=CC1,则BD1与AC1所成角的余弦值是 (　　) A. B. C. D. 返回 返回 3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于158°,则直线l与平面α所成的角为__________.  【解析】设直线l与平面α所成的角为θ, 则sin θ=|cos 158°|=sin 68°. 又因为0°≤θ≤90°,所以θ=68°. 答案:68° 返回 4.(选择性必修一P43T10变式)设M,N分别是正方体ABCD-A'B'C'D'的棱BB'和B'C'的中点,则直线MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为__________.  返回 返回 考点突破 强技能 返回 考点一异面直线所成的角 【例1】(1)(一题多法)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是BC1的中点,则异面直线PD与A1B所成角的余弦值是 (　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选A.法一:连接A1C1,取A1C1的中点O, 连接PO,DO,如图所示, O,P分别是A1C1,BC1的中点,PO∥A1B, 则∠DPO是异面直线PD与A1B所成角或其补角. 正方体棱长为2,面对角线长为2. 由正方体的结构可知,Rt△DCP中, DC=2,PC=, 则DP==, 同理DO=.在△DPO中,DO=DP=,OP=A1B=, 返回 由余弦定理可知, cos∠DPO===. 所以异面直线PD与A1B所成角的余弦值是. 返回 返回 [变式]本例的正方体中,若M,N分别是BD和AD的中点,求直线B1M与直线D1N所成角的余弦值. 返回 返回 (2)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,平面PCD⊥底面ABCD,且AB=4, BC=2,PC=PD=2,则异面直线PB与AC所成角的余弦值为____________.  【解析】如图,过点P作PO⊥DC于点O,因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面ABCD=DC,所以PO⊥平面ABCD,又因为四边形ABCD为矩形,故以O为坐标原点,CD,OP所在直线分别为x轴,z轴,过点O且与AD平行的直线为y轴,建立空间直角坐标系, 返回 返回 解题技法 利用空间向量求两异面直线所成角的步骤 (1)建系:建立适当的空间直角坐标系. (2)找方向向量:求出两条异面直线的方向向量的坐标. (3)计算:利用向量的夹角公式求出两异面直线方向向量的夹角的余弦值. (4)结论:结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角. 返回 【训练1】　如图,矩形ABCD 是圆柱O1O2的轴截面,AB=AD=2,点E在上底面圆 周上,且=2,F为线段BC的中点,则异面直线AE与DF所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选D.连接O1O2,过点E作EE1∥O1O2交下底面于点E1,连接O2E1,则=2,∠E1O2A=. 以O2为坐标原点,在下底面中,过点O2作AB的垂线为x轴,分别以O2B,O2O1所在的直线为y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则由已知可得A(0,-1,0),D(0,-1,2),F(0,1,1),E1(,-,0),E(,-,2). 返回 返回 【加练备选】 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,点 E,F分别是棱AB,BB1的中点,则直线EF和BC1所成的角为______.  返回 返回 考点二定义法求直线与平面所成的角 【例2】如图所示,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB, AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60°. (1)求证:平面BED⊥平面AED; (2)求直线EF与平面BED所成角的正弦值. 返回 【解析】(1)在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=, 则∠ADB=90°,即BD⊥AD. 又因为平面AED⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, 平面AED∩平面ABCD=AD, 所以BD⊥平面AED. 又因为BD⊂平面BED, 所以平面BED⊥平面AED. 返回 (2)因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角. 如图,过点A作AH⊥DE于点H,连接BH. 又平面BED∩平面AED=ED, 由(1)知AH⊥平面BED, 所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH. 在△ADE中,AD=1, DE=3,AE=, 由余弦定理得cos∠ADE=, 返回 所以sin∠ADE=, 因此,AH=ADsin∠ADE=. 在Rt△AHB中,sin∠ABH==. 所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为. 返回 解题技法 定义法求线面角的步骤 (1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线,或过斜线上一点作平面的垂线,确定垂足的位置. (2)连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影,斜线与其射影所成的锐角即为所求的角. (3)将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形),通过解三角形(可能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值,如sin θ=.其中,θ为线面角,h为点B到平面α的距离,l为斜线段AB的长,如图. 返回 【训练2】　如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,∠A=60°,沿对角线BD将△ABD折起到△PBD的位置,使得平面PBD⊥平面BCD,连接PC,则PD与平面PBC所成角的正弦值为__________.  返回 【解析】在△ABD中,由余弦定理得BD=,则AB2+BD2=AD2,所以AB⊥BD,则PB⊥BD, 因为平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,所以PB⊥平面BCD,因为PB⊂平面 PBC,所以平面PBC⊥平面BCD.如图,过点D作DE⊥BC于点E,易证DE⊥平面PBC,连接PE, 则∠DPE即为直线PD与平面PBC所成的角,在△PDE中,PD=2,DE==, 所以sin∠DPE==,所以PD与平面PBC所成角的正弦值为. 答案: 返回 考点三向量法求直线与平面所成的角 【例3】(2024·潍坊模拟)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,下底面ABCD是平行四边形,∠ABC=120°,AB=2A1B1=2,BC=8,A1A=4,DD1⊥DC,M为BC的中点. (1)求证:平面CDD1C1⊥平面D1DM; (2)若D1D=4, (i)求证:D1D⊥平面ABCD; (ii)求直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值. 返回 【解析】(1)在▱ABCD中,由∠ABC=120°,得∠DCM=60°,而DC=2,CM=4, 在△DCM中,由余弦定理,得 DM==2, 则DM2+CD2=CM2,即DM⊥CD, 又CD⊥D1D,DD1∩DM=D, DD1,DM⊂平面D1DM, 因此CD⊥平面D1DM,而CD⊂平面CDD1C1, 所以平面CDD1C1⊥平面D1DM. 返回 (2)(i)在四棱台ABCD-A1B1C1D1中, 由AB=2A1B1,得AD=2A1D1=8, 所以A1D1=4, 在梯形ADD1A1中,AD=8,DD1=4, 过A1作A1E∥D1D交AD于点E, 则AE=4,A1E=4,又AA1=4,显然AE2+A1E2=A,则A1E⊥AD,即D1D⊥AD, 又D1D⊥CD,AD∩CD=D, AD,CD⊂平面ABCD,于是D1D⊥平面ABCD. 返回 返回 解题技法 利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤 (1)建系:建立适当的空间直角坐标系; (2)找向量:求直线的方向向量m和平面的法向量n; (3)计算:求线面角θ的正弦值,即sin θ=|cos<m,n>|; (4)结论:结合直线与平面所成角的范围得到所求角. 返回 【训练3】　(2024·茂名模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=, BB1=,B1C⊥平面ABC,N为A1B1的中点,M为线段AC上的动点. (1)当M为中点时,求证:MN∥平面BCC1B1; (2)当CM=时,求直线MN与平面BC1M所成角的正弦值. 返回 返回 返回 返回 返回 【加练备选】 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,O是AD的中点,点E在PC上,且AP∥平面BOE. (1)求的值; (2)若PO⊥平面ABCD,OE⊥PC,AB=2,∠BAD=60°,求直线OE与平面PBC所成角的正弦值. 返回 【解析】(1)连接AC与BO交于点F,连接EF, 因为底面ABCD是菱形,O是AD的中点, 所以AO∥BC,且AO=BC,所以AF=FC. 因为AP∥平面BOE,AP⊂平面APC, 平面APC∩平面BOE=EF, 所以AP∥EF, 所以==,所以=; 返回 (2)因为底面ABCD是菱形,O是AD的中点,∠BAD=60°,所以BO⊥AD. 因为OP⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,BO⊂平面ABCD,所以OP⊥AD,OP⊥BO,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 返回 返回 返回 【解析】选A.以点C为原点,以,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 设BC=CA=CC1=2,则A(2,0,0),B(0,2,0),D1(1,1,2),C1(0,0,2), 所以=(1,-1,2),=(-2,0,2), 所以cos<,>===, 所以BD1与AC1所成角的余弦值为. 【解析】建系如图,设AB=2,则M(2,2,1),N(1,2,2),B(2,2,0),A'(2,0,2),C(0,2,0), 则=(-1,0,1), =(0,-2,2),=(-2,0,0). 设平面A'BCD'的法向量为n=(x,y,z), 故 令z=1,则y=1,x=0, 所以n=(0,1,1), 所以MN与平面A'BCD'所成角的正弦值为 |cos<,n>|==. 答案: 法二:以D为原点,,,分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(2,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),P(1,2,1), 有=(0,2,-2),=(1,2,1), cos<,>===, 所以异面直线PD与A1B所成角的余弦值是. 【解析】以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则N(1,0,0),D1(0,0,2),M(1,1,0),B1(2,2,2), 所以=(-1,-1,-2), =(1,0,-2), 所以·=-1+4=3, =,=, 所以cos<,>==, 所以B1M与D1N所成角的余弦值为. 则A(2,2,0),C(-2,0,0),B(-2,2,0),P(0,0,2), 所以=(-2,2,-2),=(-4,-2,0),所以·=8-4+0=4,||=4,||=2, 设异面直线PB与AC所成的角为θ,所以cos θ=|cos <,>|===. 答案: 所以=(,,2),=(0,2,-1). 所以|cos<,>|===, 所以异面直线AE与DF所成角的余弦值为. 【解析】分别以直线BA,BC,BB1为x,y,z轴,建立空间直角坐标系(如图). 设AB=1,则B(0,0,0),E(,0,0),F(0,0,),C1(0,1,1), 所以=(-,0,),=(0,1,1). 于是cos<,>===, 所以直线EF和BC1所成的角为60°. 答案:60° (ii)以D为坐标原点,以,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),C(0,2,0),C1(0,1,4),M(2,0,0),=(-2,2,0), =(0,-1,4), 设平面BCC1B1的法向量为n=(x,y,z),则, 令z=,得n=(4,4,), 而=(2,0,0),设DM与平面BCC1B1所成角的大小为θ,因此sin θ=|cos <,n>|= ==,所以直线DM与平面BCC1B1所成角的正弦值为. 【解析】(1)如图,在平面ABC内作CA的垂线CD, 因为B1C⊥平面ABC, 所以AC,B1C,DC两两互相垂直. 依题意,以C为坐标原点,分别以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为AB⊥BC,AB=BC=,所以AC==2. 因为BC⊂平面ABC,B1C⊥平面ABC, 所以B1C⊥BC,B1C==2. 易知A(2,0,0),B(1,1,0), 所以当M为AC中点时,点M的坐标为(1,0,0),B1(0,0,2),C1(-1,-1,2). 因为=, 所以点A1的坐标为(1,-1,2). 所以N(,-,2), 所以=(-1,1,0),= (-,-,2). 因为AB⊂平面ABC,B1C⊥平面ABC, 所以B1C⊥AB. 又AB⊥BC,BC∩B1C=C, BC,B1C⊂平面BCC1B1, 所以AB⊥平面BCC1B1. 因为·=0,MN⊄平面BCC1B1, 所以MN∥平面BCC1B1. (2)M(,0,0),则=(-,-,2),=(,1,0),=(-,-1,2). 设平面BC1M的法向量为m=(a,b,c). 所以 令a=3,则所以m=(3,-1,2). 设直线MN与平面BC1M所成的角为α. 由题意可得sin α=|cos<m,>|===. 则O(0,0,0),A(1,0,0),B(0,,0),C(-2,,0). 设P(0,0,h),h>0,则=(-2,,-h), 所以=+=+=(-,,). 因为OE⊥PC,所以·=+1-=0, 解得h=. 所以=(-,,),=(-2,0,0), =(0,,-). 圆学子梦想 铸金字品牌 设n=(x,y,z)为平面PBC的法向量, 则,得, 取z=2,所以n=(0,,2)为平面PBC的一个法向量. 因为|cos<n,>|==,所以直线OE与平面PBC所成角的正弦值是. - 16 - $