核心素养测评(第7章 第40讲 空间直线、平面的平行)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 四十五　空间直线、平面的平行 基础保分练 一、单选题 1.(5分)下列关于线、面的命题中不正确的是(　　) A.平行于同一平面的两个平面一定平行 B.平行于同一直线的两条直线一定平行 C.垂直于同一直线的两条直线一定平行 D.垂直于同一平面的两条直线一定平行 【解析】选C.垂直于同一直线的两条直线不一定平行,还可能相交或异面.本题可以以正方体为例证明. 2.(5分)α和β是两个不重合的平面,在下列条件中可判定平面α与β平行的是(　　) A.l∥α,l∥β B.α内不共线的三点到β的距离相等 C.l,m是平面α内的直线且l∥β,m∥β D.l,m是两条异面直线且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β 【解析】选D.对于A,α和β可平行也可相交,故A错误;对于B,必须是α内不共线的三点,且在β的同侧到β的距离相等,才可判定平面α与平面β平行,故B错误;对于C,当l,m是平面α内的两条平行直线时,α与β可能相交,故C错误;对于D,过直线l,m分别作平面与平面α,β相交,设交线分别为l1,m1与l2,m2,由l∥α,l∥β得l∥l1,l∥l2,从而l1∥l2,则l1∥β,同理m1∥β,因为l1与m1相交,所以α∥β. 3.(5分)设α,β是两个不同的平面,m,l是两条不同的直线,且α∩β=l,则“m∥l”是“m∥β且m∥α”的(　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选C.当m∥l时,m可能在α内或者β内,故不能推出m∥β且m∥α,所以充分性不成立; 当m∥β且m∥α时,设存在直线n⊂α,n⊄β,且n∥m,因为m∥β,所以n∥β,根据直线与平面平行的性质定理,可知n∥l,所以m∥l,即必要性成立,故“m∥l”是“m∥β且m∥α”的必要不充分条件. 4.(5分)如图,已知P为四边形ABCD外一点,E,F分别为BD,PD上的点,若EF∥平面PBC,则(　　) A.EF∥PA B.EF∥PB C.EF∥PC D.以上均有可能 【解析】选B.由线面平行的性质定理可知EF∥PB. 5.(5分)已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,则直线MN与直线EF、直线MN与平面ABB1A1的位置关系分别为(　　) A.平行、平行 B.异面、平行 C.平行、相交 D.异面、相交 【解析】选B.因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为AC,B1C1的中点,E,F分别为BC,B1B的中点,所以EF⊂平面BCC1B1,MN∩平面BCC1B1=N,N∉EF,所以由异面直线的定义得直线MN与直线EF是异面直线. 取A1C1的中点P,连接PM,PN,如图, 则PN∥B1A1,PM∥A1A. 又PN⊄平面ABB1A1, B1A1⊂平面ABB1A1, PM⊄平面ABB1A1,A1A⊂平面ABB1A1, 所以PN∥平面ABB1A1,PM∥平面ABB1A1. 因为PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN, 所以平面PMN∥平面ABB1A1. 因为MN⊂平面PMN, 所以MN∥平面ABB1A1. 【变式备选】 在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为该棱柱的九条棱中某条棱的中点,若A1C∥平面BC1D,则D为(　　) A.棱AB的中点 B.棱AA1的中点 C.棱BC的中点 D.棱A1B1的中点 【解析】选D.对于A:当D为棱AB的中点时,A1C与AC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故A错误; 对于B:当D为棱AA1的中点时,A1C与DC1相交,故A1C与平面BC1D不平行,故B错误; 对于C:当D为棱BC的中点时,A1C与平面BC1D不平行,故C错误; 对于D:如图,当D为棱A1B1的中点时,取AB的中点E,连接CE,A1E, 由A1D=BE,A1D∥BE,可得四边形BEA1D为平行四边形,即有A1E∥BD, 由A1E⊄平面BDC1,BD⊂平面BDC1, 所以A1E∥平面BDC1, 同理可得CE∥平面BDC1. 又CE∩A1E=E,CE,A1E⊂平面A1EC, 所以平面A1CE∥平面BC1D. 由于A1C⊂平面A1CE, 则A1C∥平面BC1D. 6.(5分)如图,各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为线段A1B,B1C上的动点,且MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条 【解析】选D.如图,任取线段A1B上一点M,过M作MH∥AA1,交AB于点H,过H作HG∥AC交BC于点G,过G作CC1的平行线,与CB1一定有交点N,则平面MHGN∥平面ACC1A1, 则MN∥平面ACC1A1,则这样的MN有无数条. 二、多选题 7.(5分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是棱A1C1,BC的中点,则下列结论中正确的是(　　) A.CC1∥平面A1ABB1 B.AF∥平面A1B1C1 C.EF∥平面A1ABB1 D.AE∥平面B1BCC1 【解析】选ABC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为CC1∥AA1,CC1⊄平面A1ABB1,AA1⊂平面A1ABB1,所以CC1∥平面A1ABB1,A正确; 因为平面ABC∥平面A1B1C1,AF⊂平面ABC,所以AF∥平面A1B1C1,B正确; 取AB中点G,连接A1G,GF(图略), 因为G,F分别是棱AB,BC的中点, 所以GF􀰿AC.又A1E􀰿AC, 所以GF∥A1E,且GF=A1E,所以四边形GFEA1为平行四边形,所以EF∥A1G. 又EF⊄平面A1ABB1,A1G⊂平面A1ABB1, 所以EF∥平面A1ABB1,C正确; 取AC中点H,连接C1H(图略),易证得四边形AHC1E为平行四边形,所以EA∥C1H,C1H与平面B1BCC1相交,所以AE与平面B1BCC1相交,D不正确. 8.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,====2,则下列说法正确的是(　　) A.BD1∥GH B.BD与EF异面 C.EH∥平面ABCD D.平面EFGH∥平面A1BCD1 【解析】选BCD.如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1, 根据题意,由==2可得,EF∥A1B,且===. 同理可得GH∥CD1,FG∥BC,且=. 由GH∥CD1,而CD1∩BD1=D1,所以BD1不可能平行于GH,即A错误; 易知BD与EF不平行,且不相交,由异面直线定义可知,BD与EF异面,即B正确; 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥CD1,A1B=CD1,所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形, 所以EH∥FG.又BC∥FG,所以EH∥BC.又EH⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以EH∥平面ABCD,即C正确; 由EF∥A1B,EF⊄平面A1BCD1,A1B⊂平面A1BCD1,所以EF∥平面A1BCD1. 又BC∥FG,FG⊄平面A1BCD1,BC⊂平面A1BCD1,所以FG∥平面A1BCD1. 又EF∩FG=F,且FG,EF⊂平面EFGH, 所以平面EFGH∥平面A1BCD1,即D正确. 三、填空题 9.(5分)在三棱柱ABC-A1B1C1中,若点D,D1分别是AC,A1C1上的点,且平面BC1D∥平面AB1D1,则的值为________.  【解析】连接A1B交AB1于点O,连接OD1, 由平面BC1D∥平面AB1D1,且平面A1BC1∩平面BC1D=BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O, 所以BC1∥D1O,同理可得AD1∥DC1, 所以==1,即D1为线段A1C1的中点,所以D为线段AC的中点,即=1. 答案:1 10.(5分)如图所示,四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是棱A1B1,B1C1的中点,P是棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交底面ABCD于PQ,Q在CD上,则PQ=________.  【解析】因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,MN⊂平面A1B1C1D1, 所以MN∥平面ABCD. 又平面PMNQ∩平面ABCD=PQ, 所以MN∥PQ. 因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点, 所以MN∥A1C1∥AC, 所以PQ∥AC.又AP=, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体, 所以CQ=,从而DP=DQ=, 所以PQ===a. 答案:a 四、解答题 11.(10分)如图,五面体ABCDEF中,正方形ABCD的边长为2,AB=2EF,EF∥AB,点P在线段DE上,且DP=2PE,Q为BC的中点.求证:BE∥平面APQ. 【证明】如图,连接BD交AQ于点M,连接PM, 由四边形ABCD是正方形, 易得△BMQ∽△DMA,因为BQ=AD, 所以BM=DM. 又EP=DP,所以PM∥BE. 又PM⊂平面APQ,BE⊄平面APQ,所以BE∥平面APQ. 12.(10分)如图,四边形ABCD与四边形ADEF均为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证: (1)BE∥平面DMF; 【证明】(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,因为四边形ADEF为平行四边形, 所以O为AE的中点, 连接MO,则MO为△ABE的中位线, 所以BE∥MO, 又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF, 所以BE∥平面DMF. (2)平面BDE∥平面MNG. 【证明】(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥NG, 又DE⊄平面MNG,NG⊂平面MNG, 所以DE∥平面MNG, 因为M为AB的中点,N为AD的中点, 所以MN为△ABD的中位线, 所以BD∥MN, 又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG, 所以BD∥平面MNG, 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线, 所以平面BDE∥平面MNG. 创新提分练 13.(5分)(多选题)如图,向透明塑料制成的长方体容器ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器一边AB于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面几个结论,其中正确的是(　　) A.没有水的部分始终呈棱柱形 B.水面EFGH所在四边形的面积为定值 C.随着容器倾斜度的不同,A1C1始终与水面所在平面平行 D.当容器倾斜如图③所示时,AE·AH为定值 【解析】选AD.由于AB固定,所以在倾斜的过程中,始终有CD∥HG∥EF∥AB,且平面AEHD∥平面BFGC,故有水的部分始终呈棱柱形(三棱柱或四棱柱),且AB为棱柱的一条侧棱,没有水的部分也始终呈棱柱形,故A正确;对于水面EFGH所在四边形,从题图②、题图③可以看出EF,GH长度不变,而EH,FG的长度随倾斜度变化而变化,所以水面EFGH所在四边形的面积是变化的,故B错误;假设A1C1与水面所在的平面始终平行,又C1D1与水面所在的平面始终平行,则长方体上底面A1B1C1D1与水面所在的平面始终平行,这就与倾斜时两个平面不平行矛盾,故C错误;水量不变时,棱柱AEH-BFG的体积是定值,又该棱柱的高AB不变,且VAEH-BFG=AE·AH·AB,所以AE·AH=,即AE·AH是定值,故D正确. 14.(5分)我国古代的数学著作《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=2,M,N分别是BB1和A1C1的中点,则平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积为________.  【解析】延长AN,与CC1的延长线交于点P, 则P∈平面BB1C1C, 连接PM,与B1C1交于点E,连接NE,得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形, 由题意解三角形可得NE=ME=,AM=AN=,MN=,所以△AMN中MN边上的高h1==, △EMN中MN边上的高 h2==. 所以平面AMN截“堑堵”ABC-A1B1C1所得截面图形的面积S=S△AMN+S△EMN=MN·(h1+h2)=××(+)=. 答案: - 3 - 学科网（北京）股份有限公司 $