第7章 第40讲 空间直线、平面的平行(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第40讲　空间直线、平面的平行 复习目标 1.了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系的定义. 2.理解空间中有关平行的性质定理和判定定理,并加以证明. 3.能运用已获得的结论证明空间中有关平行关系的简单命题. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　直线与平面平行 (1)直线与平面平行的定义 直线l与平面α____________,则称直线l与平面α平行. 没有公共点 返回 (2)判定定理与性质定理 项目 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果平面____一条直线与此平面____的一条直线平行,那么该直线与此平面平行 _____, _____, ______ ⇒______ 性质 定理 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与______平行 ______ ______ _______ ⇒a∥b [注意点]a∥b,b⊂α /⇒a∥α,因为a可能在平面α内. 外 内 a⊄α b⊂α a∥b a∥α 交线 a∥α, a⊂β, α∩β=b 返回 知识点2　平面与平面平行 (1)平面与平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. 返回 (2)判定定理与性质定理 项目 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 如果一个平面内的两条____ ________与另一个平面平行, 那么这两个平面平行 ________________ __________⇒α∥β 性质 定理 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面______,那么两条______平行 _______________ ____⇒a∥b [注意点]α∥β,a⊂α,b⊂β /⇒a∥b,因为a与b可能是异面直线. 相 交直线 a⊂β,b⊂β,a∩b=P, a∥α,b∥α α∥β,α∩γ=a,β∩γ =b 相交 交线 返回 常用结论 1.垂直于同一条直线的两个平面平行,即若a⊥α,a⊥β,则α∥β. 2.平行于同一个平面的两个平面平行,即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. 3.如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,即若α∥β,a⊂α,则a∥β. 4.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 返回 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)若a,b是两条直线,且a∥b,则a平行于经过b的任何平面.(　 　) (2)若直线a和平面α满足a∥α,则a与α内的任何直线平行.(　 　) (3)平面α内有无数条直线与平面β平行,平面α与平面β平行.(　 　) (4)若两个平面平行,则分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　 　) × × × √ 返回 2.(必修第二册P137例2变式)在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则直线AC和平面DEF的位置关系是(　　) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定 【解析】选A.如图,由=得AC∥EF,又因为EF⊂平面DEF,AC⊄平面DEF,所以AC∥平面DEF. 返回 3.(必修第二册P138例3变式)如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置关系是(　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 返回 【解析】选B.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,因为AB⊂平面ABC,A1B1⊄平面ABC, 所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE,所以DE∥A1B1,所以DE∥AB. 返回 4.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为________cm.  返回 【解析】过点D作直线AB的平行线分别交平面β与平面γ于点M,N,连接AD,BM,CN,ME,NF,如图所示,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF, 所以==.因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm, 所以=,解得BC= cm, 所以AC=AB+BC=2+=(cm). 答案: 返回 考点突破 强技能 返回 考点一与线、面平行有关命题的真假判定……题组练通 1.(2025·盐城模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则(　　) A.MN∥PD B.MN∥PA C.MN∥AD D.以上均有可能 【解析】选B.因为MN∥平面PAD,MN⊂平面PAC,平面PAD∩平面PAC=PA, 所以MN∥PA. 返回 2.设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是(　　) A.若m∥α,n∥α,则m∥n B.若m∥α,m∥β,则α∥β C.若m∥n,m∥α,n⊄α,则n∥α D.若m∥α,m∥β,则α∥β 返回 【解析】选C.由题意,作长方体ABCD-A1B1C1D1,如图所示, 对于A,当平面α为平面ABCD,m=A1B1,n=B1C1时,显然m∥α,n∥α,但m∩n=B1,故A错误; 对于B,当平面α为平面ABCD,平面β为平面A1ADD1,m=B1C1时,显然m∥α,m∥β,但α∩β=AD,故B错误; 对于C,因为m∥α,所以∃a⊂α,m∥a,因为m∥n,所以a∥n,因为a⊂α,n⊄α,所以n∥α,故C正确; 对于D,当平面α为平面ABCD,平面β为平面AA1D1D,m=B1C1时,显然m∥α,m∥β,但α∩β=AD,故D错误. 返回 3.(2025·武汉模拟)已知不重合的平面α,β及不重合的直线m,n,则(　　) A.若m∥α,α∥β,则m∥β B.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β C.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β D.若m∥α,α∥β,n⊂β,则m∥n 【解析】选B.对于A,若m∥α,α∥β,则m∥β或m⊂β,故A错误; 对于B,若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,当n∥α时,若n⊥β,则α⊥β;当n⊂α时,若n⊥β,则α⊥β也成立,故B正确; 返回 对于C,若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β或α∩β,反例如图所示,可以说明符合条件时,两个平面有相交的可能,故C错误; 返回 对于D,如图所示,m,n可能异面,故D错误. 返回 解题技法 判断与平行关系相关命题的真假 (1)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断. (2)特别注意定理所要求的条件是否完备,图形是否有特殊情况,通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确. 返回 考点二直线与平面平行的判定与性质 角度1　直线与平面平行的判定 【例1】(一题多法)如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点,且PE∶EA=BF∶FD.求证:EF∥平面PBC. 返回 【证明】法一:连接AF并延长交BC于点G,连接PG. 因为BC∥AD,所以=. 又因为=,所以=, 所以EF∥PG. 又因为PG⊂平面PBC,EF⊄平面PBC,所以EF∥平面PBC. 返回 法二:过点F作FM∥AD,交AB于点M,连接EM. 因为FM∥AD,AD∥BC,所以FM∥BC. 又因为FM⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以FM∥平面PBC. 由FM∥AD得=.又因为=,所以=,所以EM∥PB. 因为PB⊂平面PBC,EM⊄平面PBC,所以EM∥平面PBC. 因为EM∩FM=M,EM,FM⊂平面EFM,所以平面EFM∥平面PBC. 因为EF⊂平面EFM,所以EF∥平面PBC. 返回 解题技法 1.线面平行的证明方法 (1)定义法:一般用反证法. (2)判定定理法:关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行,证明时注意用符号语言叙述证明过程. (3)性质法:即两平面平行时,其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面. 2.构造平行直线的常用方法 (1)构建三角形或梯形的中位线:可直接利用线段的中点、等腰三角形三线合一或利用平行四边形对角线的交点找中点,从而构建中位线. (2)构建平行四边形:可以利用已知的平行关系(如梯形的上下底边平行)或构建平行关系(如构造两条直线同时平行于已知直线),从而构建平行四边形. 返回 【训练1】　(2025·汕头模拟节选)多面体ABCDEN的底面为梯形,AB∥CD, AB=2CD=2,EA=ED=BC,∠BCD=2∠CBD=90°,且四边形BDEN为矩形,点P为线段EN上一点(异于点E,N). 若点P为线段EN中点,求证:CP∥平面DAE. 返回 【证明】由条件可知∠CBD=∠ABD=45°,所以BC=CD=,BD=2, 则AD==2=, 即△ADB为等腰直角三角形,所以∠ADC=135°. 取BD的中点F,连接CF,PF,所以∠DCF=45°⇒CF∥AD. 因为AD⊂平面DAE,CF⊄平面DAE, 所以CF∥平面DAE. 又因为四边形BDEN为矩形,点P为线段EN中点,所以PF∥DE, 同理有PF∥平面DAE,而PF∩CF=F,PF,CF⊂平面CFP,所以平面CFP∥平面DAE. 因为CP⊂平面CFP,所以CP∥平面DAE. 返回 角度2　直线与平面平行的性质 【例2】如图所示,已知四边形ABCD是正方形,四边形ACEF是矩形,EF⊄平面ABCD,M是EF的中点. (1)求证:AM∥平面BDE; (2)若平面ADM∩平面BDE=l,平面ABM∩平面BDE=m,试分析l与m的位置关系,并证明你的结论. 返回 【解析】(1)记AC与BD的交点为O,连接OE,OM(图略).因为O,M分别是AC,EF的中点,四边形ACEF是矩形,所以四边形AOEM是平行四边形,所以AM∥OE. 因为OE⊂平面BDE,AM⊄平面BDE, 所以AM∥平面BDE. (2)l∥m,证明如下:由(1)知,AM∥平面BDE. 因为AM⊂平面ADM, 平面ADM∩平面BDE=l, 所以l∥AM. 因为AM⊂平面ABM,平面ABM∩平面BDE=m,所以m∥AM,所以l∥m. 返回 解题技法 应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线. 返回 【训练2】　如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形. 求证:AB∥平面EFGH. 返回 【证明】因为四边形EFGH为平行四边形, 所以EF∥HG. 因为HG⊂平面ABD,EF⊄平面ABD, 所以EF∥平面ABD. 又EF⊂平面ABC,平面ABD∩平面ABC=AB,所以EF∥AB. 又EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH, 所以AB∥平面EFGH. 返回 考点三平面与平面平行的判定与性质 角度1　平面与平面平行的判定 【例3】如图,在几何体ABCDEF中,已知四边形ABCD是正方形,ED∥FC, AD=ED=2FC=4,M,N,Q分别为AD,CD,EB的中点,P为ED上靠近点D的四等分点. (1)证明:FQ∥平面ABCD. (2)证明:平面PMN∥平面EBF. 返回 【证明】(1)如图,连接AC,BD,设AC与BD相交于点O,连接OQ. 因为四边形ABCD是正方形, 所以O为BD的中点, 又Q为EB的中点, 于是OQ∥ED∥FC,OQ=ED=FC, 即四边形OQFC为平行四边形, 则QF∥OC, 而QF⊄平面ABCD,OC⊂平面ABCD, 所以FQ∥平面ABCD. 返回 (2)取ED的中点H,连接AH,CH,HF,因为EH=HD=FC,且ED∥FC, 所以四边形HDCF,EHCF都为平行四边形,有EF∥HC,HF∥CD∥AB,HF=CD=AB, 于是四边形AHFB为平行四边形, 即有AH∥BF, 而P为ED上靠近点D的四等分点,则P为HD的中点, 又N为CD的中点,则PN∥HC, 因此EF∥PN.又EF⊂平面EBF, PN⊄平面EBF,则PN∥平面EBF. 同理PM∥AH∥BF,又BF⊂平面EBF,PM⊄平面EBF,则PM∥平面EBF. 因为PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN, 所以平面PMN∥平面EBF. 返回 解题技法 证明面面平行的常用方法 (1)利用面面平行的判定定理. (2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α,l⊥β⇒α∥β). (3)利用面面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行(α∥β,β∥γ⇒α∥γ). 返回 【训练3】　如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,求证: (1)EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 返回 【证明】(1)连接SB,如图所示: 因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB. 又因为SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1, 所以EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD,如图所示, 因为F,G分别是DC,SC的中点, 所以FG∥SD. 又因为SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1, 所以FG∥平面BDD1B1. 由(1)得EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G, 所以平面EFG∥平面BDD1B1. 返回 角度2　平面与平面平行的性质 【例4】如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,点E在棱AA1上,点F在棱CC1上,G在棱BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是棱B1C1上一点. (1)求证:E,B,F,D1四点共面; (2)若平面A1GH∥平面BED1F,求证:H为B1C1的中点. 返回 【证明】(1)如图,在DD1上取一点N使得DN=1,连接CN,EN,则AE=DN=1,CF=ND1=2. 因为CF∥ND1,所以四边形CFD1N是平行四边形,所以D1F∥CN. 同理四边形DNEA是平行四边形, 所以EN∥AD,且EN=AD. 又BC∥AD,且AD=BC, 所以EN∥BC,EN=BC, 所以四边形CNEB是平行四边形, 所以CN∥BE,所以D1F∥BE, 所以E,B,F,D1四点共面. 返回 (2)因为平面A1GH∥平面BED1F, 平面BB1C1C∩平面A1HG=HG, 平面BB1C1C∩平面BED1F=BF, 所以BF∥HG, 所以∠B1GH=∠FBG=∠CFB. 在Rt△BCF中,tan∠CFB==, 在Rt△HB1G中,tan∠B1GH==B1H, 所以B1H=,即H为B1C1 的中点. 返回 解题技法 当已知两平面平行时,可以得出线面平行,如果要得出线线平行,必须是与第三个平面的交线平行. 返回 【训练4】　如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF. (1)求证:平面OEF∥平面PCD. (2)若平面ABCD∩平面OEF=l,求证:AB∥l. 返回 【证明】(1)因为E,F分别是棱PA,PB的中点, 所以EF∥AB.因为四边形ABCD为菱形,所以AB∥CD,所以EF∥CD. 又CD⊂平面PCD,EF⊄平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 又O是BD的中点,所以FO∥PD. 又PD⊂平面PCD,FO⊄平面PCD, 所以FO∥平面PCD. 因为FO∩EF=F,FO,EF⊂平面OEF, 所以平面OEF∥平面PCD. 返回 (2)由(1)可知平面OEF∥平面PCD, 又平面ABCD∩平面OEF=l, 平面ABCD∩平面PCD=CD, 所以CD∥l.又因为四边形ABCD为菱形, 所以AB∥CD,故AB∥l. 返回 微拓展截面问题 多面体的截面问题是高考的热点,主要考查截面形状的判断、截面周长或面积,解决这类问题的难点就是准确作出截面.作截面的三种常用方法: 1.直接法,解题关键是利用截面的顶点在几何体的棱上; 2.作平行线法,解题关键是利用截面与几何体的两个平行平面相交,或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行; 3.延长交线得交点,解题关键是利用截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上. 返回 [典例](1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是(　　) A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 【解析】选C.先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点,再确定截面与几何体的棱的交点.设直线C1M,CD相交于点P,直线C1N,CB相交于点Q,连接PQ交直线AD于点E,交直线AB于点F,则五边形C1MEFN为所求截面图形. 返回 (2)(2025·石家庄模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,M,N分别为棱AA1,CC1的中点,点Q是棱A1D1上靠近点D1的三等分点,则平面MNQ截该正方体所得截面的面积为(　　) A. B.2 C.10 D.12 【解析】选B.如图所示, M,N分别是AA1,CC1的中点,则MN∥A1C1∥AC,作QE∥A1C1,交C1D1于E,连接EN, 并延长交DC的延长线于点K,连接QM,并延长交DA的延长线于点T,连接TK交AB于点G,交BC于点F,则六边形QENFGM为过M,N,Q三点的截面. 返回 由面面平行的性质定理得TK∥QE,从而有TK∥AC,A1Q=2,D1Q=1,则D1E=D1Q=1,C1E=A1Q=2,因为N是CC1的中点,C1E∥CK,得△C1EN≌△CKN,所以CK=C1E=2,又因为TK∥AC,所以CF=CK=2,同理AG=2,BG=BF=1,QE=, MN=3,EN==,梯形QENM是等腰梯形,且梯形QENM与梯形FGMN全等,高为h==,截面面积S=2×(QE+MN)h=2. 返回 (3)如图,正方体A1C的棱长为1,点M在棱A1D1上,A1M=2MD1,过M的平面α与平面A1BC1平行,且与正方体各面相交得到截面多边形,则该截面多边形的周长为________.  返回 【解析】在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时,只需要ME∥BC1,如图所示,   因为A1M=2MD1,故该截面与正方体的棱交点分别位于靠近D1,A,C的三等分点处,故可得截面为MIHGFE,设正方体的棱长为3a,则ME=2a,MI=a,IH=2a,HG=a,FG=2a,EF=a,所以截面MIHGFE的周长为ME+EF+FG+GH+HI+IM=9a,又因为正方体A1C的棱长为1,即3a=1,故截面多边形的周长为3. 答案:3 返回 $