强基培优9 数列的新定义创新题(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦数列新定义创新题，依据高考评价体系梳理递推关系、等差等比数列、求和中的新定义等核心考点，结合2022年全国乙卷、2024年新高考Ⅰ卷等真题，分析考点权重，归纳选填与解答常考题型，构建针对性备考体系。 课件亮点在于“真题解析+素养导向”，如以2022年全国乙卷例1展示特值法与常规解法，2024年新高考Ⅰ卷例5培养逻辑推理与抽象能力，通过“读懂题意-特殊分析-规律转化”策略突破易错点，助力学生掌握答题技巧，教师可精准教学提升备考效率。

强基培优9 数列的新定义创新题 高考考情 新定义数列题是设计一个陌生的数学情境,或定义一个概念,或规定一种运算,通过阅读相关信息,根据题目引入新内容进行解答的一类数列题型,解决方案及流程: (1)读懂题意,理解新定义数列的含义; (2)特殊分析,例如先对n=1,2,3,…的情况讨论; (3)通过特殊情况寻找新定义的数列的规律及性质,以及新定义数列与已知数列(如等差与等比数列)的关系,仔细观察,探求规律,注重转化,合理设计解题方案,最后利用等差、等比数列有关知识来求解. 返回 题型一　数列新定义问题——选填题 类型一 递推关系中的新定义 【例1】(一题多法)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后,继续进行深空探测,成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星,为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值,用到数列{bn}:b1=1+,b2=1+,b3=1+,…,以此类推,其中αk∈N*(k=1,2,…).则(　　) A.b1<b5 B.b3<b8 C.b6<b2 D.b4<b7 返回 【解析】选D.法一(常规解法): 因为αk∈N*(k=1,2,…), 所以α1<α1+,>,得到b1>b2; 同理α1+>α1+,可得b2<b3,b1>b3, 又因为>,α1+<α1+, 故b2<b4,b3>b4;以此类推,可得b1>b3>b5>b7>…,b7>b8,故A错误; b1>b3>b8,故B错误; 返回 >,得b2<b6,故C错误; α1+>α1+,得b4<b7,故D正确. 法二(特值法): 不妨设αk=1,则b1=2,b2=,b3=,b4=,b5=,b6=,b7=,b8=,b4<b7,故D正确. 返回 类型二 等差数列中的新定义 【例2】定义“等方差数列”:如果一个数列从第二项起,每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等方差数列,这个常数叫做该数列的方公差.设数列{an}是由正数组成的等方差数列,且方公差为2,a13=5,则数列{}的前n项和Sn=(　　) A. B. C.-1 D.-1 返回 【解析】选A.由题意可得-=2,则数列{}是以为首项,2为公差的等差数列,则=+2(n-1),由a13=5,故=+2(13-1)=25,即a1=1(负值舍去), 故=1+2(n-1)=2n-1,故an=, 则== ==(-), 故Sn=(-+-+…+-)=. 返回 类型三 等比数列中的新定义 【例3】若数列{xn}满足xn+1=xn-,则称数列{xn}为牛顿数列,若f(x)=x2,数列{xn}为牛顿数列,且x1=,xn≠0,数列{xn}的前n项和为Sn,则满足Sn≤的最大正整数n的值为________.  返回 【解析】因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,则xn+1=xn-=xn-=xn, 又因为x1=,且xn≠0,所以{xn}是首项为x1=,公比q=的等比数列, 则Sn==1-()n, 令Sn=1-()n≤,则2n≤2 024, 因为y=2x在定义域内单调递增,且210=1 024<2 024,211=2 048>2 024, 所以n≤10,所以最大正整数n的值为10. 答案:10 返回 类型四 数列求和中的新定义 【例4】定义为n个正数p1,p2,…,pn的“均倒数”,若已知数列{an}的前n项的“均倒数”为,又bn=,则++…+=(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选D.根据“均倒数”的定义,有=, 故a1+a2+…+an=n(3n+2)=3n2+2n, 故a1+a2+…+an-1=3(n-1)2+2(n-1),两式相减得an=6n-1,当n=1时,a1=3+2=5也符合上式,故an=6n-1. 所以bn==n,易知=-, 故++…+=1-+-+…+-=. 返回 题型二　数列新定义问题(规范答题) 【例5】(2024·新高考Ⅰ卷)(17分)设m为正整数, 数列a1,a2,…,a4m+2 是公差不为0的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的4个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列. (1) 写出所有的(i,j), 1≤i<j≤6,使数列a1,a2,…,a6是(i,j)——可分数列; (2) 当m≥3时, 证明: 数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列; (3) 从1,2,…,4m+2 中一次任取两个数i和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列的概率为Pm,证明:Pm>. 返回 解题分析 信息读取 信息联想 1 称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列 基于题干语言表述,初步掌握引入的新定义 2 写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)——可分数列 通过m=1时的最简情形,探究抽象出一类符合题意的(i,j)的情形 3 当m≥3时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列 通过m=3时的最简情形,探究抽象出另一类符合题意的(i,j)的情形,并进一步体会m=3时的可分就是m≥3时的可分 4 记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列的概率为Pm,证明:Pm> 由目标Pm>,联想至少应找出的符合题意的(i,j)的种数 返回 标准答案 (1)(1,2),(1,6),(5,6).…………[3分] [①思维要点]所有的(i,j):立足于穷举,全面排查,不重不漏 (2)数列a1,a2,…,a4m+2的前14项a1,a2,…,a14中删去a2和a13后剩余的12项可被平均分为以下3组: a1,a4,a7,a10; a3,a6,a9,a12; a5,a8,a11,a14. …………[6分] 由题设知这3组中的4个数都能构成等差数列. 返回 [②思维要点]当m≥3时:先从最简起点m=3出发,然后再自然地过渡到m≥4时 当m≥4时,数列a1,a2,…,a4m+2从第15项开始每连续4项分为一组,共可得m-3组,每组中的4个数仍能构成等差数列. 所以当m≥3时,数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)——可分数列. …………[8分] (3)由题意,数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列⇔1,2,…,4m+2是(i,j)——可分数列. [③思维要点]简化研究对象:发现通过对数列的变换,数列1,2,…,4m+2成为最简且等价的研究对象 从4m+2个数中任取两个数i和j(i<j)有=8m2+6m+1种. …………[10分] 返回 ①首先证明(4p+1,4q+2)(p<q)一定符合题意,其中p,q∈N,且q≤m. [④思维要点]基于(1)的启发:此类(i,j)来源于(1)的推广,论证起来只需其余4m项每连续4项一组即可 当p<q时,易知,4p+1与4q+2之间共有4q+2-(4p+1)-1=4(q-p)个数, 按由小到大的顺序,每4个数一组,每组的4个数都能构成等差数列; 4p+1之前共有4p个数,按由小到大的顺序,每4个数一组,每组的4个数都能构成等差数列; 4q+2之后共有4(m-q)个数,按由小到大的顺序,每4个数一组,每组的4个数都能构成等差数列. 所以(4p+1,4q+2)(p<q)一定符合题意. 返回 同理易证,(4p+1,4q+2)(p=q)同样符合题意. 此时,这样的(i,j)共有+=种. …………[12分] ②其次证明(4p+2,4q+1)(p<q-1)一定符合题意,其中p,q∈N,且q≤m. [⑤思维要点]基于(2)的启发:此类(i,j)来源于(2)的推广,且应注意p=q-1时不一定符合题意 同样,4p+1之前共有4p个数,按由小到大的顺序,每4个数一组,每组的4个数都能构成等差数列;4q+2之后共有4(m-q)个数,按由小到大的顺序,每4个数一组,每组的4个数都能构成等差数列.故只需证明4p+1,4p+3,4(p+1),…,4q,4q+2共4(q-p)个数,可被平均分为q-p组,且每组的4个数都能构成等差数列. …………[13分] 返回 [⑥思维要点]基于(2)中的充分延展归纳,从而得到如下的构造方式 令t=q-p,t≥2,则只需证明1,3,4,…,4t,4t+2,可被平均分为t组,且每组的4个数都能构成等差数列. 事实上,可将1,3,4,…,4t,4t+2划分为如下t组: (1,1+t,1+2t,1+3t), (3,3+t,3+2t,3+3t), (4,4+t,4+2t,4+3t),…, (t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2). 易知,上述各组的4个数都能构成等差数列. 所以(4p+2,4q+1)(p<q-1)一定符合题意.…………[14分] 返回 此时,这样的(i,j)共有-m=种. …………[15分] [⑦思维要点]基于古典概型概率求法,估算出概率的范围 由①②可知,符合题意的(i,j)至少有+=m2+m+1种.………[16分] 综上,Pm≥=>.…………[17分] 返回 解题反思 1.本题的命题特点 (1)以等差数列为知识背景,创新设问方式,设置数学新定义,搭建思维平台,引导学生积极思考,在思维过程中领悟数学方法,自主选择路径和策略分析问题、解决问题. (2)重点考查的是数学思维方式、思维品质、逻辑推理素养探究能力等,“聚焦主干知识内容和重要原理、方法,着重考查数学学科核心素养,回归课标,重视教材. 2.本题的得分关键 (1)本题的思维障碍点主要集中在对前两问所涉及具体情形的抽象领会上,(3)问得以解决的两类情况既蕴含在其中,又不仅限于其中.例如本题第三问解决的一个易错点是误认为(4p+2,4q+1)(p=q-1)是符合题意的. 返回 (2)从思维品质上看,面对新的情境、陌生问题,通过有逻辑的尝试、试验,从具体到抽象、从特殊到一般进行探索,适当利用图、表呈现中间结果以便发现规律、得出猜想,然后再进行推理论证,这样的解题路径彰显出创造性思维品质,成为我们努力的方向. 返回 $