第7章 第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦空间点线面位置关系核心考点，以四个基本事实为根基，串联推论、位置关系、等角定理及异面直线所成角，构建“概念—判定—应用”逻辑知识链。通过教材梳理夯实基础，基础自测澄清盲点，考点突破结合例题精讲与解题技法总结，形成系统复习路径。 资料采用分层训练与方法创新设计，基础题巩固概念，变式题深化理解，加练题拓展能力，培养学生空间观念与推理意识。如异面直线所成角考点，通过平移法转化为三角形内角求解，落实数学思维，助力教师精准把控节奏，提升学生空间几何应考能力。

第39讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 复习目标 1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义. 2.了解四个基本事实和一个定理. 3.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题. 教材梳理夯基础 主干知识 知识点1　四个基本事实 基本 事实1 文字语言 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面. 符号语言 符号:A,B,C三点不共线⇒存在唯一的α,使A,B,C∈α. 基本 事实2 文字语言 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 符号语言 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α. 基本 事实3 文字语言 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 P∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l. 基本 事实4 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行. 符号语言 a∥b,b∥c⇒a∥c. 知识点2　基本事实的三个推论 推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 知识点3　空间直线、平面之间的位置关系 项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 a∥b a∥α α∥β 相交关系 图形 语言 符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l 其他关系 图形 语言 - 符号 语言 a,b是 异面直线 a⊂α - [注意点](1)直线在平面外分直线与平面平行和直线与平面相交两种情况. (2)两条直线没有公共点分直线与直线平行和直线与直线异面两种情况. 知识点4　等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 知识点5　异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,把a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)范围:. [注意点]两异面直线所成的角,归结到一个三角形内角时,容易忽视这个三角形的内角可以等于两异面直线所成的角,也就可以等于其补角. 常用结论 1.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行. 2.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直. 3.过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. 4.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　×　) (2)若a,b是两条直线,α,β是两个平面,且a⊂α,b⊂β,则a,b是异面直线.(　×　) (3)如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.(　×　) (4)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么b与c不可能是平行直线.(　√　) (5)若直线a不平行于平面α,且a⊄α,则α内的所有直线与a异面.(　×　) 2.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中,与直线BC1成异面直线的条数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选C.与直线BC1成异面直线的有A1B1,AC,AA1,共3条. 3.(必修第二册P148练习T3变式)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=AD=AA1,E是棱DD1的中点,则直线A1C1与AE所成的角的大小为________.  【解析】如图,连接AC,EC,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,显然A1C1∥AC,则∠EAC为直线A1C1与AE所成的角,由E为DD1的中点,且AD=AA1,则DE=AD=DC,即AC=AE=CE,故△ACE为等边三角形,则∠EAC=. 答案: 4.(必修第二册P134例1变式)如图,在三棱锥A􀆼BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则 (1)当AC,BD满足条件____________时,四边形EFGH为菱形;  (2)当AC,BD满足条件____________时,四边形EFGH为正方形.  【解析】(1)因为四边形EFGH为菱形,所以EF=EH,因为EF=AC,EH=BD,所以AC=BD. (2)因为四边形EFGH为正方形, 所以EF=EH且EF⊥EH. 因为EF∥AC,EH∥BD, 且EF=AC,EH=BD, 所以AC=BD且AC⊥BD. 答案:(1)AC=BD　(2)AC=BD且AC⊥BD 考点突破强技能 考点一基本事实及其应用 【例1】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBFE于R点,则P,Q,R三点共线; (3)DE,BF,CC1三线交于一点. 【证明】(1)因为EF是△D1B1C1的中位线, 所以EF∥B1D1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 所以EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 设平面AA1C1C为α、平面BDEF为β. 因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点. 同理,P也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. (3)因为EF∥BD且EF<BD, 所以DE与BF相交, 设交点为M,则由M∈DE,DE⊂平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1, 同理,点M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点M. 解题技法 1.点、线共面的判断方法 (1)纳入平面法:要证明“点共面”或“线共面”,可先由部分点或直线确定一个平面,再证其余点或直线也在这个平面内. (2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合. (3)证明四点共面常通过证明四点组成的四边形为平行四边形或梯形来解决. 2.证明空间点共线问题的方法 (1)一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点,再根据基本事实3证明这些点都在这两个平面的交线上. (2)选择其中两点确定一条直线,然后证明其余点也在该直线上. 【训练1】　如图,已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,BC的中点,G,H分别在CD和AD上,且满足==2.求证: (1)E,F,G,H四点共面; (2)EH,FG,BD三线交于一点. 【证明】(1)因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC. 又因为=, 所以GH∥AC. 所以EF∥GH, 所以E,F,G,H四点在同一平面内, 即E,F,G,H四点共面. (2)因为E,F分别为AB,BC的中点, 所以EF∥AC,EF=AC. 由题意知==2,HG∥AC,HG=AC,所以四边形EFGH为梯形,直线EH和FG必相交,设交点为M, 即EH∩FG=M, 因为EH⊂平面ABD, 所以点M∈平面ABD, 同理可得点M∈平面BCD. 又因为平面ABD∩平面BCD=BD, 所以点M∈BD, 所以EH,FG,BD三线交于一点. 【加练备选】 已知空间中不过同一点的三条直线a,b,l,则“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】选A.空间中不过同一点的三条直线a,b,l,若a,b,l共面,则a,b,l两两相交,或a,b,l有两条直线平行另一条直线与之相交,或三条直线两两平行,所以必要性不成立.若a,b,l两两相交,则a,b,l共面,充分性成立.故“a,b,l两两相交”是“a,b,l共面”的充分不必要条件. 考点二空间点、线、面位置关系的判断……题组练通 1.下列推断中,不正确的是(　　) A.M∈α,M∈β,α∩β=l⇒M∈l B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β=AB C.l⊄α,A∈l⇒A∉α D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α,β重合 【解析】选C.对于A,因为M∈α,M∈β,α∩β=l,由基本事实3可知M∈l,故A正确,不符合题意; 对于B,A∈α,A∈β,B∈α,B∈β,故直线AB⊂α,AB⊂β,即α∩β=AB,故B正确,不符合题意; 对于C,若l∩α=A,则有l⊄α,A∈l,但A∈α,故C错误,符合题意; 对于D,有三个不共线的点在平面α,β中,故α,β重合,故D正确,不符合题意. 2.空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是(　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 【解析】选D.根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况, 由图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况. 3.若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内,l是平面α与平面β的交线,则下列命题正确的是(　　) A.l与l1,l2都不相交 B.l与l1,l2都相交 C.l至多与l1,l2中的一条相交 D.l至少与l1,l2中的一条相交 【解析】选D.由于l与直线l1,l2分别共面,故直线l与l1,l2要么都不相交,要么至少与l1,l2中的一条相交.若l∥l1,l∥l2,则l1∥l2,这与l1,l2是异面直线矛盾.故l至少与l1,l2中的一条相交. 若l与l1,l2中的一条相交,如图①所示,l1与l2是异面直线,l1与l平行,l2与l相交,故A,B不正确;若l与l1,l2都相交,如图②所示,l1与l2是异面直线,l1,l2都与l相交,故C不正确. 4.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,以下四个结论中正确的是(　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线AM与BN是平行直线 C.直线BN与MB1是异面直线 D.直线AM与DD1是异面直线 【解析】选CD.CC1⊂平面CDD1C1,M∈平面CDD1C1,A∉平面CDD1C1,M∉CC1,可知AM与CC1为异面直线,故A错误;取DD1的中点P,连接AP(图略),易知BN∥AP,AP∩AM=A,可知BN与AM不平行,故B错误;BN⊂平面BCC1B1,B1∈平面BCC1B1,M∉平面BCC1B1,B1∉BN,可知BN与MB1异面,故C正确;点D,D1,M均在平面DCC1D1内,点A在平面DCC1D1外,且M∉DD1,所以AM与DD1是异面直线,故D正确. 解题技法 点、线、面位置关系的判定 (1)点、线、面位置关系的判定:注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断,常借助正方体模型直观感知并认识空间点、线、面的位置关系. (2)两条直线异面的判定:反证法或利用异面直线的判定定理. 【加练备选】 如图,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________.(填序号)  【解析】题图①中,直线GH∥MN;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此GH与MN共面;题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面,所以题图②④中GH与MN异面. 答案:②④ 考点三异面直线所成的角 【例2】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.如图,连接BD1,交DB1于点O,取AB的中点M,连接DM,OM.易知O为BD1的中点,所以AD1∥OM,则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.因为在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,AD1==2, DM==,DB1==, 所以OM=AD1=1,OD=DB1=,于是在△DMO中,由余弦定理, 得cos∠MOD==. 故异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. [变式1](变条件,变设问)若将本例中条件“AA1=”变为“AA1=2”,其他条件不变,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为________.  【解析】如图,连接A1C1,BC1,易证BC1∥AD1,则∠A1BC1(或其补角)为异面直线A1B与AD1所成的角.由AB=BC=1,AA1=2,易得A1C1=,A1B=BC1=,所以cos∠A1BC1==.故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为. 答案: [变式2](变条件,变设问)若将本例中条件“AA1=”变为“异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为”,则AA1的值为________.  【解析】设AA1=t,因为AB=BC=1,所以A1C1=,A1B=BC1=. 因为AD1∥BC1, 所以∠A1BC1为异面直线A1B与AD1所成的角(或其补角), 所以|cos∠A1BC1|=||==, 解得t=3,则AA1=3. 答案:3 解题技法 平移法求异面直线所成角的步骤 (1)一作:用三角形中位线、平行四边形性质等作平行线,依据定义作出异面直线所成的角; (2)二证:证明作出的角是异面直线所成的角; (3)三求:解三角形,求出所作的角. [提醒]如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 【训练2】　(2024·呼和浩特模拟)如图,已知正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为棱PA的中点,则异面直线BE与PC所成角的余弦值为(　　) A. B.- C. D.- 【解析】选C.连接AC,取AC的中点O,连接BO,EO,设PC=2, 由题意知,EO∥PC, 则异面直线BE与PC所成角为∠BEO(或其补角),在△BOE中,EO=PC=1, OB=AC=,BE=PA=, 则cos∠BEO===, 则异面直线BE与PC所成角的余弦值为. 【加练备选】 在直三棱柱ABC􀆼A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分别为AC,BC的中点,则异面直线C1D与B1E所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设AB=2,取A1B1的中点F,连接C1F,DF,DE,则B1F=A1B1, 因为D,E分别为AC,BC的中点, 所以DE∥AB,DE=AB, 因为A1B1∥AB,A1B1=AB, 所以DE∥B1F,B1F=DE, 所以四边形DEB1F为平行四边形, 所以DF∥B1E, 所以∠C1DF为异面直线C1D与B1E所成的角或补角. 因为AB⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分别为AC,BC的中点,所以DF=B1E==, C1F==,C1D==, 所以cos∠C1DF===. - 8 - 学科网（北京）股份有限公司 $