核心素养测评(第6章 第34讲 等比数列)(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

核心素养测评　(时间:45分钟　分值:80分) 三十九　等比数列 基础保分练 一、单选题 1.(5分)在等比数列{an}中,a1=1,a3=4,则a7=(　　) A.-128 B.128 C.-64 D.64 【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q,则q2==4,所以a7=a1q6=a1(q2)3=1×43=64. 2.(5分)(2025·武汉模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a4=,S3-a1=,则S4=(　　) A. B. C. D. 【解析】选D.设等比数列{an}的公比为q(q>0且q≠1),因为S3-a1=a2+a3=+=,a4=,所以q=,所以a1==1,S4=S3+a4=1++=. 3.(5分)“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选B.若a=b=c=0,满足b2=ac,但是a,b,c不成等比数列,所以充分性不成立, 若a,b,c成等比数列,则b2=ac,故必要性成立, 因此“b2=ac”是“a,b,c成等比数列”的必要不充分条件. 4.(5分)(2025·佛山模拟)已知各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,a2a4=9,9S4=10S2,则a2+a4的值为(　　) A.30 B.10 C.9 D.6 【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q, 因为{an}是各项均为正数的等比数列, 则a1>0,q>0, 因为=a2a4=9,所以a3=3. 又因为9S4=10S2, 则9(a1+a2+a3+a4)=10(a1+a2), 可得9(a3+a4)=a1+a2, 所以=q2=,解得q=, 故a2+a4=+a3q=10. 5.(5分)(2025·南京模拟)数列{an}满足an+1=,a1=2,则数列{log2an}的前8项和为(　　) A.63 B.127 C.255 D.256 【解析】选C.由an+1=,a1=2,得log2a1=1, log2an+1=2log2an, 因此数列{log2an}是首项为1,公比为2的等比数列,数列{log2an}的前8项和为=255. 6.(5分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S8+S24=140,且S24=13S8,则S16=(　　) A.40 B.-30 C.30 D.-30或40 【解析】选A.因为S8+S24=140,且S24=13S8, 所以S8=10,S24=130,故q≠±1, 所以==+q8+1=13,即+q8-12=0,解得q8=3或q8=-4(舍去), 由等比数列性质可知,S8,S16-S8,S24-S16成等比数列,公比为q8=3, 所以S16-10=10×q8=30,解得S16=40. 二、多选题 7.(5分)(2025·沈阳模拟)已知等比数列{an}中,a3+a4=40,a3-a5=30,则(　　) A.公比为 B.a2 023=16a2 025 C.当n≥6时,an< D.{an}的前10项积为1 【解析】选ABD.对于A项,设等比数列{an}的公比为q, 由,得,解得,故A正确; 对于B项,a2 025=a2 023q2=a2 023,则a2 023=16a2 025,故B正确; 对于C项,an=a3qn-3=211-2n,当n≥6时,11-2n≤-1,则an≤2-1=,故C错误; 对于D项,由a5a6=2×=1,可得{an}的前10项积为=1,故D正确. 8.(5分)(2025·济南模拟)已知Sn为数列{an}的前n项和,若Sn=3an+n,则(　　) A.a1= B.数列{an-1}为等比数列 C.an=1-()n D.Sn=3-3·()n+n 【解析】选BCD.A:当n=1时,S1=3a1+1,解得a1=-,故A错误; B:因为Sn=3an+n,当n≥2时,Sn-1=3an-1+n-1, 将两式相减可得an=3an-3an-1+1, 即an=an-1-, 则an-1=(an-1-1),因为a1=-, 所以a1-1=-, 所以数列{an-1}为首项为-,公比为的等比数列,故B正确; C:由B可得an-1=-·()n-1=-()n,所以an=1-()n,故C正确; D:Sn=3an+n=3-3·()n+n,故D正确. 三、填空题 9.(5分)(2025·永州模拟)已知等比数列{an},其前n项和为Sn,若a2=8,S3=28,则a3=4或16.  【解析】设等比数列的首项为a1,公比为q,由题意可知,解得或所以a3=a1q2=16或a3=4. 10.(5分)等比数列{an}的首项a1=-1,前n项和为Sn,若=,则公比q=-.  【解析】由=,a1=-1, 知公比q≠1,=-. 由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-,所以q=-. 四、解答题 11.(10分)在数列{an}中,已知a1=1,an+1=2an+2n-3. (1)若bn=an+2n-1,证明:数列{bn}是等比数列. 【解析】(1)因为an+1=2an+2n-3,bn=an+2n-1, 所以===2. 又b1=a1+2-1=2,所以数列{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列. (2)求数列{an}的前n项和Sn. 【解析】(2)由(1)可知,bn=2n,则an=2n-2n+1, Sn=21-1+22-3+…+2n-2n+1=21+22+…+2n-(1+3+…+2n-1) =-=2n+1-n2-2. 12.(10分)(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an+1-3. (1)求{an}的通项公式; 【解析】(1)因为2Sn=3an+1-3,所以2Sn+1=3an+2-3, 两式相减可得2an+1=3an+2-3an+1,即3an+2=5an+1,所以等比数列{an}的公比q=, 又因为2S1=3a2-3=5a1-3,所以a1=1,an=. (2)求数列{Sn}的前n项和. 【解析】(2)因为2Sn=3-3,所以Sn=(an+1-1)=[()n-1], 设数列{Sn}的前n项和为Tn,则Tn=×-n=×()n-n-. 创新提分练 13.(5分)数学中有许多美丽的错误,法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想:形如Fn=+1(n=0,1,2,…)的数都是素数,这就是费马素数猜想.后来善于发现的欧拉算出第5个费马数不是素数,从而否定了这一猜想.现设an=mlog2(Fn-1)(n=1,2,3,…),m为常数,Sn表示数列{an}的前n项和,若S6=126,则a5=32.  【解析】因为Fn=+1,所以an=mlog2(Fn-1)=mlog2=m·2n,则S6=m(2+22+…+26) =m=126m=126,所以m=1,则an=2n,所以a5=25=32. 14.(5分)(2025·南昌模拟)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3)=2,φ(4)=2,则数列{}的前n项和为[1-()n].  【解析】由题意可知,小于2n的所有正奇数都与2n互质,共有2n-1个,所以φ(2n)=2n-1, 小于3n且大于0的所有与3n不互质的数是3的倍数,故与3n互质的数共有3n-3n-1=2×3n-1, 即φ(3n)=2×3n-1, 所以=×()n-1, 则其前n项和为S=×[()0+()1+…+()n-1]=×=[1-()n]. - 6 - 学科网（北京）股份有限公司 $