第6章 第32讲 数列的概念及表示(课件PPT)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的概念及表示”专题，覆盖数列定义、表示法、an与Sn关系、递推公式及单调性等核心考点。依据高考评价体系梳理高频考点，通过教材梳理夯实基础，考点突破归纳由前几项写通项、已知Sn求an等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“题组练通+解题技法”模式，如例6用函数法和不等式组法求数列最值，培养数学思维与逻辑推理能力。包含易错点分析（如an与Sn关系忽略n=1情况）和真题变式训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可精准把握考点，助力高效复习。

教材梳理 夯基础 考点突破 强技能 第32讲　数列的概念及表示 第六章 数列 复习目标 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 3.能够利用an与Sn的关系求数列的通项公式. 4.能根据数列递推关系求数列的项或通项公式. 返回 教材梳理 夯基础 返回 主干知识 知识点1　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照____________排列的一列数 数列的项 数列中的__________ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 如果数列{an}的第n项an与_______之间的对应关系可以用一个 式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前 n项和,记作Sn,即Sn= ____________ 确定的顺序 每一个数 序号n a1+a2+…+an 返回 知识点2　数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数______ 无穷数列 项数______ 项与项 间的大 小关系 递增数列 an+1___an 其中n∈N* 递减数列 an+1___an 常数列 an+1___an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项 有限 无限 > < = 返回 知识点3　数列的表示法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点______画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用______表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an与an+1的关系式或a1,a2和an-1,an,an+1的关系式等表示数列的方法 函数法 an=f(n),n∈N* (n,an) 公式 返回 [注意点](1)并不是所有的数列都有通项公式. (2)数列的通项公式不唯一. 常用结论 1.若数列{an}的前n项和为Sn,通项公式为an,则an=n∈N*. 2.在数列{an}中,若an最大,则(n≥2,n∈N*);若an最小,则(n≥2,n∈N*). 3.若an+k=an(k∈N*),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期. 返回 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 2,3 1 4 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)数列5,2,0与2,0,5是同一个数列.(　 　) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(　 　) (3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　 　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an=Sn-.(　 　) × √ × × 返回 2.(选择性必修第二册P4例1(1)改编)数列{an}:1,3,6,10,x,21,28,…中,由给出的数之间的关系可知x的值为(　　) A.12 B.15 C.17 D.18 【解析】选B.各项乘2,变为1×2,2×3,3×4,…,故数列的通项公式为an=,故x=a5=15. 返回 3.(选择性必修第二册P8练习T3变式)在数列{an}中,a1=1,=1+,则a5=(　　) A.2 B. C. D. 【解析】选D.由题意得,令n=1,可得a2=1+=2; 令n=2,可得a3=1+=1+=; 令n=3,可得a4=1+=1+=; 令n=4,可得a5=1+=1+=. 返回 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=________.  【解析】当n=1时,a1=S1=2. 当n≥2时,an=Sn-=n2+1-[(n-1)2+1]=2n-1.显然当n=1时,不满足上式, 故an= 答案: 返回 考点突破 强技能 返回 考点一 通项公式的探索及应用……题组练通 【例1】根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式an. (1)-1,7,-13,19,…; (2)5,55,555,5 555,…; (3)1,0,,0,,0,,0,…; (4),1,,,…. 返回 【解析】(1)各项的正负可通过(-1)n或(-1调节,各项的绝对值的排列规律为后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5). (2)将原数列改写为×9,×99,×999,…,易知数列9,99,999,…的通项公式bn=10n-1,故原数列的一个通项公式为an=(10n-1). (3)把原数列改写成,,,,,,,,…,分母依次为1,2,3,…,而分子1,0,1,0,…周期性出现,因此原数列的一个通项公式为an=. 返回 (4)将原数列改写为,,,,…,分子3,5,7,9,…是序号的2倍加1,所以分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,故原数列的一个通项公式为an=. 返回 解题技法 根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征: (1)分式中分子、分母的特征; (2)相邻项的变化特征; (3)拆项后的特征; (4)各项符号特征等.并对此进行归纳、联想. 返回 题|组|进|阶 1.数列,,,,…的一个通项公式是(　　) A.an= B.an= C.an=- D.an=1- 【解析】选C.根据题意可知,=1-,=-,=-,=-,…,所以an=-. 返回 2.(2025·合肥模拟)数列-2,,-,,…的通项公式可以为(　　) A.an=(-1)n B.an=(-1)n C.an=(-1)n-1 D.an=(-1)n+1 【解析】选B.对于选项A:令n=1,可得-,不符合题意; 对于选项B:代入检验均可,符合题意; 对于选项C:令n=1,可得,不符合题意; 对于选项D:令n=1,可得2,不符合题意. 返回 3.已知数列1,,,,3,…,按此规律,3是该数列的(　　) A.第11项 B.第12项 C.第13项 D.第14项 【解析】选D.因为根据数列1,,,,3,…, 所以an= (n∈N*), 又3=, 所以=,解得n=14. 返回 4.(多选题)数列1,2,1,2,…的通项公式可能为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 返回 【解析】选ACD.对于A,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故A中通项公式正确;对于B,当n为奇数时,an==2,当n为偶数时,an==1,故B中通项公式不正确;对于C,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故C中通项公式正确;对于D,当n为奇数时,an==1,当n为偶数时,an==2,故D中通项公式正确. 返回 考点二 由an与Sn的关系求通项公式 角度1　只含Sn,求通项公式an 【例2】已知Sn是数列{an}的前n项和,根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2; (2)Sn=3n-1. 【解析】(1)当n=1时,a1=S1=2×12+3×1+2=7. 当n≥2时,an=Sn-=(2n2+3n+2)-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1, 又a1=7不符合上式, 所以an= 返回 (2)当n=1时,a1=S1=31-1=2, 当n≥2时,an=Sn-=(3n-1)-(-1)=2×,又a1=2符合上式, 所以an=2×(n∈N*). 返回 解题技法 已知Sn的关系式求解an的方法 已知数列{an}的前n项和Sn,求通项公式an的步骤: (1)当n=1时,a1=S1. (2)当n≥2时,根据Sn写出,得到an=Sn-. (3)如果a1也满足当n≥2时,an=Sn-,那么数列{an}的通项公式为an=Sn-;如果a1不满足当n≥2时,an=Sn-,那么数列{an}的通项公式要分段表示,为an= 返回 【训练1】　已知Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=-1,则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2n B.an= C.an=2n-1 D.an=2n+1 【解析】选B.当n≥2时,=2n-1,an=Sn-=-1-2n+1=2n;当n=1时,a1=S1=-1=3,不符合an=2n,则an= 返回 角度2　既含Sn又含an,求通项公式an 【例3】(1)数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,=3Sn(n≥1),则an=(　　) A.3×4n B.3×4n+1 C. D. 返回 【解析】选C.由=3Sn,得an=3(n≥2).两式相减,得-an=3an(n≥2),即=4an(n≥2).又由a1=1,得a2=3a1=3,a2≠4a1,所以当n≥2时,an=a2×=3×. 所以an= 返回 (2)已知Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,+2Sn=2n+1,则S2 026=(　　) A.2 024 B.2 025 C.2 026 D.2 027 【解析】选C.当n=1时,a2+2S1=2+1,得a2=1.当n≥2时,由+2Sn=2n+1得an+2=2n-1,两式相减可得-an+2an=2,即an+=2,所以an=1,可得Sn=n,所以S2 026=2 026. 返回 解题技法 既含Sn又含an的求解方法 先利用an=消去Sn或an,整理成关于an或Sn的递推关系式,再转化为其他模型求解. 返回 【训练2】　(1)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1且=2Sn+1,则a5=(　　) A.101 B.81 C.32 D.16 【解析】选B.当n=1时,a2=2S1+1=3,当n≥2时,=2Sn+1,① an=2+1,② 由①-②得-an=2an,=3an,n≥2,且n=1时也满足,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列,故a5=1×34=81. 返回 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,首项a1=-,且满足Sn++2=an(n≥2),则a3=(　　) A. B.- C.- D. 【解析】选C.由Sn++2=an(n≥2)可得Sn++2=Sn-Sn-1⇒Sn=-, 由a1=-可得S2=-=-, S3=-=-, a3=S3-S2=--(-)=-. 返回 【加练备选】 (2025·深圳模拟)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3且当n≥2时,2an=Sn·,则{an}的通项公式an=____________.  【解析】当n≥2时,由2an=Sn·可得, 2Sn-2=Sn·,化为-=-. 因为==,所以{}是首项为,公差为-的等差数列, 所以=-(n-1)=-n+, 返回 所以Sn=. 当n≥2时,an=Sn-=, 又因为a1=3不符合上式, 故an= 答案: 返回 考点三 数列的性质 角度1　数列的单调性 【例4】设数列{an}的通项公式为an=n2+bn,若数列{an}是单调递增数列,则实数b的取值范围为(　　) A.(-3,+∞) B.(-2,+∞) C.[-2,+∞) D.[-3,+∞) 返回 【解析】选A.由题意可得an+1-an>0恒成立,即(n+1)2+b(n+1)-n2-bn=2n+1+b>0, 即b>-2n-1. 又n≥1,-2n-1≤-3,故b∈(-3,+∞). 返回 【训练3】　(多选题)已知数列{an}中各项均为正数,且-an+1=an(n=1,2,3,…),给出下列四个结论,其中正确结论为(　　) A.对任意的n∈N*,都有an>1 B.数列{an}可能为常数列 C.若0<a1<2,则当n≥2时,a1<an<2 D.若a1>2,则数列{an}为递减数列 返回 【解析】选BCD.对于A,在数列{an}中,-an+1=an,则an+1(an+1-1)=an, 又对于任意的n∈N*都有an>0, 则an+1-1>0,即an+1>1, 即对于任意的n≥2,都有an>1, 但a1的值大小不确定,故A错误; 对于B,不妨设数列{an}可能为常数列, 则an=an+1, 又-an+1=an,则-an=an,则an=2, 即a1=2时,数列{an}为常数列,故B正确; 返回 对于C,0<a1<2,则0<-a2<2,因为数列{an}中各项均为正数, 即0<a2<2,同理,当n≥2,都有0<an<2, 又an+1-an=2an+1-=an+1(2-an+1)>0,所以数列{an}为递增数列, 即当n≥2时,a1<an<2,故C正确; 对于D,an+1-an=2an+1-=an+1(2-an+1), 又a1>2,则-a2>2,即a2>2, 同理,当n≥2,都有an>2, 所以an+1-an=2an+1-=an+1(2-an+1)<0, 即an+1<an,所以数列{an}为递减数列,故D正确. 返回 角度2　数列的周期性 【例5】(2025·珠海模拟)若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=(n≥3且n∈N*),则a2 026的值为(　　) A.3 B.2 C. D. 【解析】选C.因为a1=2,a2=3,an=(n≥3且n∈N*), 所以a3==,a4==,a5==,a6==,a7==2,a8==3,…, 所以数列{an}具有周期性,且T=6,所以a2 026=a337×6+4=a4=. 返回 解题技法 关于数列的周期性 对于数列的周期性问题,先根据给出的关系式求出数列的若干项,再通过观察,归纳出数列的周期,进而求出有关项的值或前n项和. 返回 【训练4】　已知首项为2的数列{an}满足4an+1-5an+1an-2an=2,当{an}的前n项和Sn≥16时,则n的最小值为(　　) A.40 B.41 C.42 D.43 【解析】选B.由题意得a1=2,4a2-5a2a1-2a1=2,解得a2=-1, 同理4a3-5a3a2-2a2=2,解得a3=0, 4a4-5a4a3-2a3=2,解得a4=, 4a5-5a5a4-2a4=2,解得a5=2, 故数列{an}的一个周期为4,且a1+a2+a3+a4=2-1+0+=,故S40=10(a1+a2+a3+a4)= 15,S41=10(a1+a2+a3+a4)+2=17,故n的最小值为41. 返回 角度3　数列的最值 【例6】(1)(2025·马鞍山模拟)已知an=,则这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是(　　) A.a1,a50 B.a1,a100 C.a49,a50 D.a49,a100 返回 【解析】选C.an===2-, 当1≤n≤49,n∈N*时,2n-99<0,an=2->2,且随着n的变大,an变大, 当50≤n≤100,n∈N*时,2n-99>0,an=2-<2,且随着n的变大,an变大, 故这个数列的前100项中的最大项与最小项分别是a49,a50. 返回 (2)(一题多法)已知数列{an}的通项公式为an=,则此数列的最大项为(　　) A. B. C. D. 返回 【解析】选D.法一:an+1-an=-=·, 当n<8时,an+1-an>0,即an+1>an; 当n=8时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>8时,an+1-an<0,即an+1<an, 所以a1<a2<a3<…<a8=a9>a10>a11>…, 所以数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9==. 返回 法二:设数列{an}的第n项最大,则 即 解得8≤n≤9,又n∈N*,则n=8或n=9, 故数列{an}有最大项,为第8项和第9项,且a8=a9=. 返回 解题技法 求数列的最大项与最小项的常用方法 1.将数列视为当x∈N*时函数f(x)所对应的函数值,根据f(x)的类型作出相应的函数图象,或利用求函数最值的方法求出f(x)的最值,进而求出数列的最大(小)项. 2.通过通项公式an研究数列的单调性,利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 返回 【训练5】　(1)已知数列{an}的通项公式为an=,其最大项和最小项的值分别为(　　) A.1,- B.0,- C.,- D.1,- 【解析】选A.因为n∈N*,所以当1≤n≤3时,an=<0,且递减;当n≥4时,an=>0,且递减.又a1==-,所以最小项为a3==-,最大项为a4==1. 返回 (2)(一题多法)数列{bn}满足bn=,则当n=____________时,bn取最大值为____________.  【解析】法一:bn-=-=, 所以当n≤4时,bn>,单调递增, 当n≥5时,bn<,单调递减, 故当n=4时,bn取最大值,(bn)max=b4=. 返回 法二:令得 解得≤n≤. 又n∈N*,故n=4, 故当n=4时,bn取最大值,(bn)max=b4=. 答案:4　 返回 $