第6章 第35讲 求通项公式(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案聚焦数列求通项公式核心考点，涵盖累加法、累乘法及构造法（含aₙ₊₁=paₙ+q等三类递推模型），按“方法类型—变形策略—通项求解”逻辑架构知识体系。通过考点梳理（例1-5）、解题技法总结（表格归纳）、真题训练（训练1-5）三环节，帮助学生突破递推关系转化难点，体现复习的系统性与针对性。 教案采用“方法建模+分层突破”策略，如构造法中引导学生用待定系数法将aₙ₊₁=paₙ+q转化为等比数列（例3），累加法结合裂项相消求和（例1），培养数学思维与符号表达能力。设置基础巩固到综合应用的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第35讲　求通项公式 考点突破　强技能 考点一累加法求通项公式 【例1】(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+,则an等于(　　) A. B. C. D. 【解析】选B.由题意可得an+1-an==-,所以当n≥2时,a2-a1=1-, a3-a2=-,…,an-=-,上式累加可得,an-a1=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-)= 1-+-+…+-=1-.又a1=1,所以an=2-=.当n=1时,a1=1满足上式,所以an=. (2)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则an=____________.  【解析】由条件知an+1-an=n+1, 则an=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)+a1=(2+3+4+…+n)+2=. 答案: 解题技法 累加法求通项公式 类型 an+1=an+f(n),变形为an+1-an=f(n) 要点 利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2,n∈N*)求解 【训练1】　(1)若数列{an}满足an=an-1+(n≥2且n∈N+),a1=,则a2 026=(　　) A. B. C. D. 【解析】选C.由an=an-1+可得an-an-1==-, 则有an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=-+-+…+-+=1-=. 故a2 026=. (2)已知数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,则an=____________.  【解析】当n≥2时,an-an-1=2n-1,所以a2-a1=3,a3-a2=5,a4-a3=7,…,an-an-1=2n-1,这n-1个式子相加得an-a1==(n-1)(n+1),解得an=n2(n≥2),当n=1时,a1=12=1成立,所以an=n2. 答案:n2 考点二 累乘法求通项公式 【例2】已知a1=2,an=n(an+1-an),则数列{an}的通项公式an=(　　) A.n B.n+1 C.2n D.()n 【解析】选C.由an=n(an+1-an),得(n+1)an=nan+1,即=,则=,=, =,…,=,由累乘法可得=n,因为a1=2,所以an=2n,当n=1时,也符合上式. 解题技法 累乘法求通项公式 类型 an+1=f(n)an,变形为=f(n) 要点 利用恒等式an=a1···…·(an≠0,n≥2,n∈N*)求解 【训练2】　(1)已知数列{an}满足=,a1=1,则数列{an}的通项公式是(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 【解析】选A.因为=,所以=,=,…,=,=,=,所以××…×××=××…×××,即=,又a1=1,所以an=,当n=1时,也符合上式. (2)已知数列a1,,…,,…是首项为1,公比为2的等比数列,则log2an=____________.  【解析】由题意知,a1=1,=1×2n-1=2n-1(n≥2),所以an=××…××a1= 2n-1×2n-2×…×1=(n≥2),当n=1时,a1=1也符合此式,所以log2an=. 答案: 考点三 构造法求通项公式 角度1　形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0) 【例3】(1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2 026等于(　　) A.22 025-1 B.42 025-1 C.22 025+1 D.42 025+1 【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2),所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.所以an=4n-1-1,所以a2 026=42 025-1. (2)在数列{an}中,a1=1,且=+2,则an=____________.  【解析】因为=+2,等式两边同时加1整理得+1=3(+1),又因为a1=1,所以+1=2,所以{+1}是首项为2,公比为3的等比数列.所以+1=2·3n-1,所以an=. 答案: 解题技法 类型 已知a1且an+1=qan+b 要点 构造an+1+k=q(an+k),转化为等比数列{an+k} 【训练3】　若a1=1,an+1=2an-3,则通项公式an=____________.  【解析】由an+1=2an-3,得an+1-3=2(an-3).所以数列{an-3}是以-2为首项,2为公比的等比数列,则an-3=-2×,即an=-2n+3. 答案:-2n+3 角度2　an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1) 【例4】(1)已知数列{an}中,a1=3,an+1=3an+2·,n∈N*.则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=(2n+1)·3n B.an=(n-1)·2n C.an=(2n-1)·3n D.an=(n+1)·2n 【解析】选C.由an+1=3an+2·得=+,所以-=2,即数列{}是首项为1,公差为2的等差数列,所以=2n-1, 故an=(2n-1)·3n. (2)(一题多法)在数列{an}中,a1=,an+1=an+()n+1,则an=____________.  【解析】法一(构造数列): an+1+λ()n+1=[an+λ()n], 化简成原式结构得an+1=an-λ()n+1, 对应项系数相等得λ=-3, 令bn=an-3×()n,b1=a1-3×()1=-, 所以数列{bn}是以-为首项,为公比的等比数列,则bn=-×()n-1, 所以an=-. 法二:将an+1=an+()n+1两边同乘2n+1, 得2n+1·an+1=(2n·an)+1. 令bn=2n·an,则bn+1=bn+1,又回到了构造一的方法,根据待定系数法, 得bn+1-3=(bn-3), 所以数列{bn-3}是首项为 b1-3=2×-3=-,公比为的等比数列, 所以bn-3=-·()n-1,即bn=3-2·()n, 所以an==-. 法三:将an+1=an+()n+1 两边分别除以()n+1,得=3nan+()n+1. 令bn=3n·an,则=bn+()n+1, 所以bn-bn-1=()n,bn-1-=()n-1,…,b2-b1=()2.将以上各式叠加,得 bn-b1=()2+…+()n-1+()n. 又b1=3a1=3×==1+, 所以bn=1++()2+…+()n-1+()n==2×()n+1-2, 所以an==-. 答案:- 解题技法 类型 形如an=pan-1+qn,可先处理qn 要点 ①两边同时除以qn,得=p·+1. ②构造成=·+1. ③设bn=,从而变成bn=·bn-1+1. 【训练4】　(1)在数列{an}中,a1=2,an+1-2an=3n-1,则an=____________.  【解析】因为an+1-2an=3n-1, 即=·+1,所以-3=-3), 所以=.因为a1=2,所以-3=3, 故{-3}是以3为首项,为公比的等比数列, 所以-3=3×()n-1,所以an=2n-1+3n-1. 答案:2n-1+3n-1 (2)已知数列{an}满足a1=1,且an=an-1+()n(n≥2),则数列{an}的通项公式an=____________.  【解析】因为an=an-1+()n(n≥2),所以3nan=3n-1an-1+1(n≥2),即3nan-3n-1·an-1=1(n≥2).又a1=1,31·a1=3,所以数列{3nan}是以3为首项,1为公差的等差数列,所以3nan=3+(n-1)×1=n+2,所以数列{an}的通项公式an=. 答案: 角度3　倒数为特殊数列(an+1=型) 【例5】已知数列{an}中,a1=1,=(n∈N*),则数列{an}的通项公式为an=____________.  【解析】因为=(n∈N*), 所以=+1, 设+t=3(+t), 所以3t-t=1,解得t=, 所以+=3(+), 又+=1+=, 所以数列{+}是以为首项,3为公比的等比数列,所以+=×3n-1=, 所以an=. 答案: 解题技法 类型 形如an+1= 要点 ①两边同时取倒数转化为=·+的形式. ②化为=pbn+q型. ③求出的表达式,再求an. 【训练5】　已知a1=2,an+1=(n∈N*),则通项公式an=____________.  【解析】因为an+1=,a1=2,所以an≠0,所以=+,即-=.又a1=2,所以=,所以{}是首项为,公差为的等差数列,所以=+(n-1)×=,即an=. 答案:     - 4 - 学科网（北京）股份有限公司 $