第3章 第16讲 导数的概念及其意义、导数的运算(配套Word)-【高考快车道】2026年高考数学大一轮专题复习总复习基础版（人教A版）

该高中数学高考复习教案围绕导数的概念、几何意义及运算核心考点，按“概念-几何意义-公式法则-复合函数”逻辑架构知识点，通过教材梳理夯基础、基础自测辨盲点、考点突破讲技法、真题训练强应用的教学流程，帮助学生构建系统知识网络，突破导数定义理解和切线方程求解等难点。 教案突出“易错辨析+分层突破”特色，如在导数几何意义教学中，设计“在点P处切线”与“过点P切线”对比例题，引导学生用数学思维分析切点差异，通过设元推理培养逻辑严谨性。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合微拓展公切线问题，助力学生在有限时间内提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第三章 一元函数的导数及其应用 第16讲　导数的概念及其意义、导数的运算 复习目标 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2.通过函数图象,理解导数的几何意义. 3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(形如f(ax+b))的导数. 教材梳理　夯基础 主干知识 知识点1　导数的概念 (1)如果当Δx→0时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f'(x0)或y',即f'(x0)==. (2)当x=x0时,f'(x0)是一个唯一确定的数.这样,当x变化时,y=f'(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y', 即f'(x)=y'=. [注意点]f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数),不一定为0,(f(x0))'是函数值f(x0)的导数,且(f(x0))'=0. 知识点2　导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). [注意点]求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别. 知识点3　基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R,且α≠0) f'(x)=α f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 知识点4　导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x); [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); []'=(g(x)≠0); [cf(x)]'=cf'(x). 知识点5　复合函数的定义及其导数 (1)一般地,对于两个函数y=f(u)和u=g(x),如果通过中间变量u,y可以表示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数,记作y=f(g(x)). (2)复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. [注意点]在复合函数求导中要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量的求导,不能混淆. 常用结论 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 基础自测 类型 回源教材 澄清盲点 结论应用 题号 3,4 1 2 1.(易错辨析)正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的瞬时变化率. (　√　) (2)函数f(x)=sin(-x)的导数f'(x)=cos x. (　×　) (3)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0). (　×　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　×　) 【解析】(2)f(x)=sin(-x)=-sin x,则f'(x)=-cos x,错误. (3)求f'(x0)时,应先求f'(x),再代入求值,错误. (4)函数y=x2与x=0这条直线只有一个公共点,但它们相交,错误. 2.已知函数f(x)满足以下三个条件:①f(x)的导函数f'(x)为奇函数;②f(0)≠0;③在区间[-2,-1]上单调递增,则f(x)的一个解析式为f(x)=____________.  【解析】由条件①知f(x)为偶函数,可设f(x)=ax2+c,因为f(0)≠0,所以c≠0, 又f(x)在区间[-2,-1]上单调递增,所以a<0, 因此满足条件的一个解析式为f(x)=-x2+1. 答案:-x2+1(答案不唯一) 3.(选择性必修第二册P81T6改编)已知函数f(x)满足f(x)=f'()cos x-sin x,则f'()=________.  【解析】f'(x)=-f'()sin x-cos x, 令x=,得f'()=-f'()-, 解得f'()=1-. 答案:1- 4.(选择性必修第二册P78T3改编)曲线f(x)=ex+在x=1处的切线方程为______________.  【解析】由题意得,f'(x)=ex-, 所以f'(1)=e-1, 又f(1)=e+1,所以切点为(1,e+1),切线斜率k=f'(1)=e-1, 即函数f(x)在x=1处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2. 答案:y=(e-1)x+2 考点突破　强技能 考点一导数的概念 【例1】(1)已知函数f(x)可导,则=(　　) A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2) 【解析】选B.因为函数f(x)可导, 所以f'(x)=, 所以=f'(2). (2)一个质点做直线运动,其位移y(单位:m)与时间t(单位:s)满足关系式y=t4+(3t-1)3,则当t=1时,该质点的瞬时速度为 (　　) A.16 m/s B.40 m/s C.9 m/s D.36 m/s 【解析】选B.y'=4t3+3(3t-1)2×3,当t=1时,y'=4+9×4=40,故当t=1时,该质点的瞬时速度为40 m/s. (3)函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为____________,在x=2处的导数为____________.  【解析】函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为=3;因为f'(x)=2x,所以f(x)在x=2处的导数为2×2=4. 答案:3　4 (4)已知函数f(x)=sin x+4x,则=____________.  【解析】因为f'(x)=cos x+4,所以f'(π)=3, 所以 =2 =2f'(π)=6. 答案:6 解题技法 导数定义的探究 (1)利用导数定义求函数的导数时,先算函数值的变化量Δy,再算比值=,再求极限y'=. (2)在导数定义中,x在x0处的变化量是相对的,可以是Δx,也可以是2Δx,-Δx等,做题时要将分子分母中变化量统一为一种. (3)导数定义=f'(x0),即=f'(x0). 考点二导数的运算 【例2】求下列函数的导数: (1)y=x2sin x; (2)y=ln; (3)y=; (4)y=xsin(2x+)cos(2x+). 【解析】(1)y'=(x2)'sin x+x2(sin x)' =2xsin x+x2cos x. (2)y'=·()'=. (3)y'=()'= =-. (4)因为y=xsin(2x+)cos(2x+) =xsin(4x+π)=-xsin 4x, 所以y'=-sin 4x-x·4cos 4x =-sin 4x-2xcos 4x. 解题技法 导数的计算方法 (1)连乘形式:先展开化为多项式的形式,再求导. (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数或较为简单的分式函数,再求导. (3)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导. (4)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形式,再求导. (5)复合函数:确定复合关系,由外向内逐层求导. 【训练1】　求下列函数的导数: ①y=(3x3-4x)(2x+1); ②f(x)=; ③f(x)=; ④f(x)=cos(3x2-). 【解析】①法一:y=(3x3-4x)(2x+1)=6x4+3x3-8x2-4x, 所以y'=24x3+9x2-16x-4. 法二:y'=(3x3-4x)'·(2x+1)+(3x3-4x)(2x+1)'=(9x2-4)(2x+1)+(3x3-4x)·2=24x3+9x2-16x-4. ②f'(x)= (+)' =()'+()' =+ = =. ③设y=,u=1-2x2, 则f'(x)= ()'(1-2x2)'=(-)·(-4x) =-(1-2x2(-4x)=2x(1-2x2. ④f'(x)=-sin(3x2-)(3x2-)' =-6xsin(3x2-). 考点三导数的几何意义 角度1　求切线方程 【例3】(1)(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选A.f(x)=,则f'(x)=, 故f'(0)=3,所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=3x+1, 令x=0,解得y=1,令y=0, 解得x=-, 故所求三角形的面积为××1=. (2)(金榜原创·易错对对碰) 已知曲线f(x)=x3-4x2+5x-4. ①曲线在点(2,f(2))处的切线方程为__________;  ②曲线过点(2,f(2))的切线方程为______________.  【解析】①因为f'(x)=3x2-8x+5, 所以f'(2)=1, 又f(2)=-2,所以曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(-2)=x-2, 即x-y-4=0. 答案:x-y-4=0 ②设切点坐标为(x0,-4+5x0-4), 因为f'(x0)=3-8x0+5, 所以切线方程为y-(-2)=(3-8x0+5)(x-2), 又切线过点(x0,-4+5x0-4), 所以-4+5x0-2=(3-8x0+5)(x0-2), 整理得(x0-2)2(x0-1)=0, 解得x0=2或x0=1, 所以曲线f(x)过点(2,f(2))的切线方程为x-y-4=0或y+2=0. 答案:x-y-4=0或y+2=0 解题技法 求曲线过点P的切线方程的方法 (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f'(x0)(x-x0); (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1,f(x1)); 第二步:写出过点P'(x1,f(x1))的切线方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1); 第三步:将点P的坐标(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 角度2　求切点坐标 【例4】(1)已知曲线f(x)=x2+x的一条切线的斜率是3,则切点的横坐标为______________.  (2)过点(0,-1)作曲线f()=ln x(x>0)的切线,则切点坐标为____________.  【解析】(1)由题意得,f'(x)=x+1,因为曲线f(x)的一条切线的斜率是3,所以令f'(x)=x+1=3,解得x=2,所以切点的横坐标为2. 答案:2 (2)由题意得f(x)=ln x2=2ln x,则f'(x)=,设切点坐标为(x0,2ln x0),显然(0,-1)不在曲线f(x)上,则=,解得x0=,则切点坐标为(,1). 答案:(,1) 解题技法 求切点坐标的思路 已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,再让导数等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标. 角度3　求参数的值(范围) 【例5】(2025·沧州模拟)已知函数f(x)=aln x+x2的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0,则a+b= (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 【解析】选B.因为f(x)=aln x+x2,所以f'(x)=+2x.又f(x)的图象在x=1处的切线方程为3x-y+b=0,所以f'(1)=a+2=3,解得a=1,则f(x)=ln x+x2,所以f(1)=1,将点(1,1)代入切线方程得3-1+b=0,解得b=-2,故a+b=-1. 解题技法 利用导数的几何意义求参数的方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围. [提醒](1)注意曲线上横坐标的取值范围; (2)谨记切点既在切线上又在曲线上. 【训练2】　(1)函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,2] B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(0,+∞) 【解析】选B.函数f(x)=ln x+ax的图象存在与直线2x-y=0平行的切线, 即f'(x)=+a=2在(0,+∞)上有解, 即a=2-.因为x>0,所以2-<2,所以a的取值范围是(-∞,2). (2)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为__________,__________.  【解析】因为y=ln |x|,当x>0时y=ln x,设切点为(x0,ln x0),由y'=,所以y'=,所以切线方程为y-ln x0=(x-x0), 又切线过坐标原点,所以-ln x0=(-x0),解得x0=e,所以切线方程为y-1=(x-e),即y=x; 当x<0时y=ln(-x),设切点为(x1,ln(-x1)),由y'=,所以y'=,所以切线方程为y-ln(-x1)=(x-x1), 又切线过坐标原点,所以-ln(-x1)=(-x1),解得x1=-e,所以切线方程为y-1=(x+e),即y=-x. 答案:y=x　y=-x (3)(2025·衡阳模拟)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,且曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线与直线x+y=0垂直,则切点P(x0,f(x0))的坐标为____________.  【解析】因为f(x)=x3+(a-1)x2+ax,所以f'(x)=3x2+2(a-1)x+a. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x)恒成立, 即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax恒成立, 所以a=1,f'(x)=3x2+1, 令3+1=1,得x0=0,f(x0)=0, 所以切点P(x0,f(x0))的坐标为(0,0). 答案:(0,0) 微拓展两曲线的公切线 确定两曲线的公切线问题,切点是切线的核心,解决这类问题的关键是设出切点的坐标,用好相切的特征,即若两个函数的图象有相同的切线,则需根据函数与切线在切点处的函数值相等以及两函数在切点处的导函数的函数值也相等,构建方程(组)加以求解. 拓展一　求两曲线的公切线 [典例1](1)已知函数f(x)=+,g(x)=3ln x,若直线l与曲线y=f(x)及y=g(x)均相切,且切点相同,则公切线l的方程为________________.  【解析】设切点坐标为(x0,y0), 由得 解得x0=e,所以g(x0)=3ln x0=3,故切线方程为y-3=(x-e),即y=x. 答案:y=x (2)(2025·潍坊模拟)已知f(x)=ex-1(e为自然对数的底数),g(x)=ln x+1,请写出f(x)与g(x)图象的一条公切线的方程为____________.  【解析】设公切线与f(x)的图象相切于点(m,em-1),与g(x)的图象相切于点 (n,ln n+1), 因为f'(x)=ex,g'(x)=,所以公切线的斜率k=em=,所以公切线的方程为y-em+1=em(x-m)或y-ln n-1=(x-n),整理得y=emx-(m-1)em-1或y=x+ln n, 所以 即 所以(m-1)em+1-m=(m-1)(em-1)=0,解得m=1或m=0,所以公切线的方程为y=ex-1或y=x. 答案:y=ex-1(或y=x) 拓展二　与公切线有关的参数问题 [典例2](1)(多选题)(2025·保定模拟)若直线y=3x+m是曲线y=x3(x>0)与曲线y=-x2+nx-6(x>0)的公切线,则 (　　) A.m=-2 B.m=-1 C.n=6 D.n=7 【解析】选AD.设直线y=3x+m与曲线y=x3(x>0)相切于点(a,a3),与曲线y=-x2+nx-6(x>0)相切于点(b,3b+m),对于函数y=x3(x>0),y'=3x2,则3a2=3(a>0),解得a=1,所以13=3+m,即m=-2.对于函数y=-x2+nx-6(x>0),y'=-2x+n,则-2b+n=3(b>0).又-b2+nb-6=3b-2,所以-b2+b(3+2b)-6=3b-2,又b>0,所以b=2,n=7. (2)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=____________.  【解析】设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点(x1,ln x1+2),与曲线y=ln(x+1)相切于点(x2,ln(x2+1)),则切线分别为y-(ln x1+2)=(x-x1),y-ln(x2+1)=(x-x2), 这两条切线表示同一条直线, 所以 解得x1=, 所以b=ln x1+1=1-ln 2. 答案:1-ln 2 - 9 - 学科网（北京）股份有限公司 $